1.19: Розв'язування лінійних рівнянь, десяткових дробів, раціональних
- Page ID
- 57971
У цьому розділі ми розглянемо певні типи лінійних рівнянь, які включають десяткові коефіцієнти або раціональні коефіцієнти. Причина, чому ми обговорюємо їх окремо, полягає в тому, що ми можемо «позбутися» десяткових чисел або знаменників у рівнянні, виконавши простий трюк.
Згадаймо зі сторінки 22, як ми множимо десяткові числа на ступені 10 (тобто\(10,100,1000, \ldots)\).
Приклад 17.1
Приклади множення на ступені 10:
- \(0.05 \times 100=5\)
- \(2.23 \times 10=22.3\)
- \(0.7 \times 100=70\)
- \(0.2 \times 10=2\)
Давайте розглянемо наступне лінійне рівняння з десятковими коефіцієнтами:
\[0.02 y+0.1 y=2.4\nonumber\]
Крок\(1 .\) Подивіться на всі десяткові числа в даному рівнянні: 0.02,0.1 і 2.4
Крок 2. Виберіть число\((s)\) з найбільшим десятковим знаком\((s)\) і порахуйте, скільки: 0.02 має два знака після коми.
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на\(100(1\) і два нулі), тому що найбільша кількість десяткових знаків дорівнює двом.
\(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 \times(0.02 y+0.1 y) &= 100 \times(2.4) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 100 \times 0.02 y+100 \times 0.1 y &= 100 \times 2.4 \\ \Longrightarrow 2 y+10 y & = 240 \end{align*}\)
Крок 4. Приступайте до вирішення лінійного рівняння як зазвичай.
\[2 y+10 y=240\nonumber\]
\[\Longrightarrow 12 y=240\nonumber\]
\[\Longrightarrow y=\frac{240}{12}\nonumber\]
\[\Longrightarrow y=\frac{12 \cdot 20}{12}\nonumber\]
\[\Longrightarrow y=20\nonumber\]
Приклад 17.2
Розв'яжіть задане рівняння:
а)\(1.4=0.2 x+4\)
Крок 1. Подивіться на всі десяткові числа в даному рівнянні: 1.4 і 0.2
Крок 2. Виберіть число (и) з найбільшою кількістю десяткових знаків і порахуйте, скільки: 1.4 і 0.2 обидва мають один десятковий знак. \
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на\(10(1\) і один нуль), тому що найбільша кількість десяткових знаків дорівнює одиниці.
\(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 10 \times(1.4) &= 10 \times(0.2 x+4) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 10 \times 1.4 &= 10 \times 0.2 x+10 \times 4 \\ 14 & = 2 x+40 \end{align*}\)
Крок 4. Приступайте до вирішення лінійного рівняння як зазвичай.
\[14=2 x+40\nonumber\]
\[-40 \quad-40\nonumber\]
\[\Longrightarrow-26=2 x\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{-26}{2}=\frac{2 x}{2}\nonumber\]
\[\Longrightarrow-13=x\nonumber\]
б)\(0.7+0.28 x=1.26\)
Крок 1. Подивіться на всі десяткові числа в даному рівнянні: 0,7,0,28 і 1,26
Крок 2. Виберіть число (и) з найбільшою кількістю десяткових знаків і порахуйте, скільки: 0.28 і 1.26 обидва мають два знака після коми.
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на\(100(1\) і два нулі), тому що найбільша кількість десяткових знаків дорівнює двом.
\(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }100: \quad 100 \times(0.7+0.28 x) &= 100 \times(1.26) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 100 \times 0.7+100 \times 0.28 x &= 100 \times 1.26 \\ 70+28 x & = 126 \end{align*}\)
Крок 4. Приступайте до вирішення лінійного рівняння як зазвичай.
\[70+28 x=126\nonumber\]
\[-70 \quad-70\nonumber\]
\[\Longrightarrow 28 x=56\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{28 x}{28}=\frac{56}{28}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=2\nonumber\]
в)\(0.5 x-0.235=0.06\)
Крок 1. Подивіться на всі десяткові числа в даному рівнянні: 0,5, 0,235 і 0,06.
Крок 2. Виберіть число (и) з найбільшою кількістю десяткових знаків і порахуйте, скільки: 0.235 має три знака після коми.
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на 1000 (1 і три нулі), оскільки найбільша кількість десяткових знаків дорівнює трьом.
\(\begin{align*} \text{Multiply both sides by }1000: \quad 1000 \times(0.5 x-0.235) &= 1000 \times(0.06) \\ \text{Distribute}: \quad \quad \quad \quad 1000 \times 0.5 x-1000 \times 0.235 &= 1000 \times 0.06 \\ 500 x-235 & = 60 \end{align*}\)
Крок 4. Приступайте до розв'язання лінійного рівняння як зазвичай
\[500 x-235=60\nonumber\]
\[+235 \quad+235\nonumber\]
\[\Longrightarrow 500 x=295\nonumber\]
\[\Longrightarrow \frac{500 x}{500}=\frac{295}{500}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{5 \cdot 59}{5 \cdot 100}\nonumber\]
\[\Longrightarrow x=\frac{59}{100}\nonumber\]
В останньому прикладі ми могли б поступити наступним чином. Запис рівняння з використанням дробів дає
\[\frac{5}{10} x-\frac{235}{1000}=\frac{6}{100}\nonumber\]
Зверніть увагу, що у наведеному вище прикладі ми помножимо на 1000, який є найменш спільним знаменником (знаменники є\(10,1000,\) і 100). Ми отримуємо
\[\frac{1000 \cdot 5}{10} x-\frac{1000 \cdot 235}{1000}=\frac{1000 \cdot 6}{100}\nonumber\]
Спрощення дає
\[100 \cdot 5 x-235=10 \cdot 6, \text { or equivalently, } 500 x-235=60\nonumber\]
Це підводить нас до кроку 4 вище.
Ми можемо використовувати цей метод для розв'язання лінійного рівняння за участю дробів. Давайте розглянемо пару прикладів.
Приклад 17.3
Розв'язування лінійних рівнянь з раціональними
а) Вирішити\(\frac{1}{2}-\frac{3}{5} x=\frac{1}{6}\).
Ми могли б просто розглядати це, як в останньому розділі, але арифметика включає в себе дроби. Відніміть\(\frac{1}{2}\) з обох сторін (зазначивши, що\(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=\)\(\left.-\frac{1}{3}\right)\)
\[-\frac{3}{5} x=-\frac{1}{3}\nonumber\]
Тепер множимо обидві сторони на\(-\frac{5}{3}\) дає
\[x=\left(-\frac{5}{3}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{9}\nonumber\]
Але ми також могли б продовжити очищення дробів:
Крок 1. Перерахуйте знаменники. Знаменниками є 2, 5 і 6.
Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник. Найменш спільний знаменник - 30.
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на РК (30) і спростіть:
\[\frac{30 \cdot 1}{2}-\frac{30 \cdot 3}{5} x=\frac{30 \cdot 1}{6} \Longrightarrow 15-18 x=5\nonumber\]
Крок 4. Вирішуйте як завжди. Віднімаємо 15 з обох сторін:
\[-18 x=-10\nonumber\]
Ділення на -18 дає
\[x=\frac{-10}{-18}=\frac{5}{9}\nonumber\]
б) Вирішити\(2-\frac{5 x}{3}=\frac{3 x}{5}-\frac{1}{6}\)
Крок 1. Визначте знаменники 3, 5 і 6.
Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник 30.
Крок 3. Помножте обидві сторони рівняння на 30 і спростіть.
\[30 \cdot 2-\frac{30 \cdot 5 x}{3}=\frac{30 \cdot 3 x}{5}-\frac{30 \cdot 1}{6} \Longrightarrow 60-50 x=18 x-5\nonumber\]
Крок 4. Вирішуйте як завжди. Додавання\(50 x\) в обидві сторони дає
\[60=68 x-5\nonumber\]
Додавання 5 до обох сторін дає
\[65=68 x\nonumber\]
Поділ на 68 дає
\[x=\frac{65}{68}\nonumber\]
Проблема виходу
Вирішити:\(0.03 x+2.5 =4.27\)