1.20: Задачі слів для лінійних рівнянь

Проблеми слова є важливими додатками лінійних рівнянь. Почнемо з прикладів перекладу англійського речення або фрази в алгебраїчний вираз.

Приклад 18.1

Переведіть словосполучення в алгебраїчний вираз:

а) Двічі змінна додається до 4

Рішення: Ми називаємо змінну\(x .\) Двічі змінна\(2 x .\) Додавання\(2 x\) до 4 дає:

\[4 + 2x\nonumber\]

б) Триразове число віднімається з 7.

Рішення: Триразове число\(3 x .\) нам потрібно відняти\(3 x\) від 7. Це означає:\

\[7-3 x\nonumber\]

в) 8 менше числа.

Рішення: Число позначається\(x .8\) меншим, ніж\(x\) середнє, що нам потрібно відняти від нього 8. Отримуємо:

\[x-8\nonumber\]

Наприклад, 8 менше 10\(10-8=2\).

г) Відняти\(5 p^{2}-7 p+2\) від\(3 p^{2}+4 p\) і спростити.

Рішення: Нам потрібно розрахувати\(3 p^{2}+4 p\) мінус\(5 p^{2}-7 p+2:\)

\[\left(3 p^{2}+4 p\right)-\left(5 p^{2}-7 p+2\right)\nonumber\]

Спрощення цього виразу дає:

\[\left(3 p^{2}+4 p\right)-\left(5 p^{2}-7 p+2\right)=3 p^{2}+4 p-5 p^{2}+7 p-2 =-2 p^{2}+11 p-2\nonumber\]

д) Сума грошей, віддана\(x\)\(y\) копійками і кварталами.

Рішення: Кожен копійки коштує 10 центів, так що це дає загальну суму\(10 x\) центів. Кожен квартал коштує 25 центів, так що це дає в цілому\(25 y\) центів. Додавання двох сум дає загальну суму

\[10 x+25 y \text{ cents or } .10x + .25y \text{ dollars}\nonumber\]

Тепер ми маємо справу зі словами задачі, які безпосередньо описують рівняння за участю однієї змінної, яку ми можемо потім вирішити.

Приклад 18.2

Вирішіть такі проблеми зі словами:

а) П'ять разів невідоме число дорівнює 60. Знайдіть номер.

Рішення: Переводимо задачу на алгебру:

\[5x = 60\nonumber\]

Ми вирішуємо це для\(x\):

\[x=\frac{60}{5}=12\nonumber\]

б) Якщо 5 віднімається з двічі невідомого числа, різниця -\(13 .\) Знайти число.

Рішення: Переклад задачі в алгебраїчне рівняння дає:

\[2x − 5 = 13\nonumber\]

Ми вирішуємо це для\(x\). Спочатку додайте 5 в обидві сторони.

\[2x = 13 + 5, \text{ so that } 2x = 18\nonumber\]

Ділення на 2 дає\(x=\frac{18}{2}=9\).

в) Число, віднімане з 9, дорівнює 2-кратному числу. Знайдіть номер.

Рішення: Переводимо задачу на алгебру.

\[9 − x = 2x\nonumber\]

Вирішуємо це наступним чином. Для початку додаємо\(x\):

\[9 = 2x + x \text{ so that } 9 = 3x\nonumber\]

Тоді відповідь\(x=\frac{9}{3}=3\)

г) Помножити невідоме число на п'ять дорівнює додаванню дванадцяти до невідомого числа. Знайдіть номер.

Рішення: У нас є рівняння:

\[5x = x + 12.\nonumber\]

Віднімання\(x\) дає

\[4x = 12.\nonumber\]

Розділення обох сторін на 4 дає відповідь:\(x=3\).

д) Додавання дев'яти до числа дає той самий результат, що і віднімання семи з триразового числа. Знайдіть номер.

Рішення: Додавання 9 до числа записується так, як\(x+9,\) при відніманні 7 з трьох разів число записується як\(3 x-7\). Тому ми отримуємо рівняння:

\[x + 9 = 3x − 7.\nonumber\]

Вирішуємо для\(x\) шляхом додавання 7 по обидва боки рівняння:

\[x + 16 = 3x.\nonumber\]

Потім віднімаємо\(x:\)

\[16 = 2x.\nonumber\]

Після поділу на\(2,\) отримуємо відповідь\(x=8\)

Наступні проблеми слова розглядають реальні програми. Вони вимагають моделювання заданої ситуації у вигляді рівняння.

Приклад 18.3

Вирішіть такі проблеми зі словами:

а) Через інфляцію ціна буханки хліба зросла на\(5 \%\). Скільки коштує буханець хліба зараз, коли його ціна була в\(\$ 2.40\) минулому році?

Рішення: Розраховуємо підвищення цін, як у\(5 \% \cdot \$ 2.40 .\) нас є

\[5 \% \cdot 2.40=0.05 \cdot 2.40=0.1200=0.12\nonumber\]

Ми повинні додати підвищення ціни до старої ціни.

\[2.40+0.12=2.52\nonumber\]

Тому нова ціна\(\$ 2.52\).

б) Щоб виконати роботу, троє працівників отримують зарплату\(\$ 12\) за годину. Якщо загальна оплата роботи була\(\$ 180,\) тоді, скільки годин три працівники витратили на роботу?

Рішення: Позначаємо кількість годин по\(x\). Потім загальна ціна розраховується як ціна за годину, що\((\$ 12)\) разів на кількість робочих, на кількість годин,\((3) .\) отримуємо рівняння.

\[12 \cdot 3 \cdot x=180\nonumber\]

Спрощення цієї врожайності

\[36 x=180\nonumber\]

Поділ на 36 дає

\[x=\frac{180}{36}=5\nonumber\]

Тому трьом працівникам знадобилося 5 годин для роботи.

в) Фермер розрізає 300 футовий паркан на два шматки різного розміру. Довший шматок повинен бути в чотири рази довше, ніж коротший шматок. Скільки тривають ці дві частини?

\[x+4 x=300\nonumber\]

Поєднуючи подібні терміни зліва, отримуємо

\[5 x=300\nonumber\]

Діливши на 5, отримаємо, що

\[x=\frac{300}{5}=60\nonumber\]

Тому коротший шматок має довжину 60 футів, тоді як довший шматок має чотири рази цю довжину, тобто\(4 \times 60\) ноги\(=240\) ноги.

г) Якщо 4 блоки важать 28 унцій, скільки блоків важать 70 унцій?

Рішення: Ми позначаємо вагу блоку,\(x .\) якщо 4 блоки важать,\(28,\) то блок важить\(x=\frac{28}{4}=7\)

Скільки важать блоків\(70 ?\) Ну, нам потрібно тільки знайти\(\frac{70}{7}=10 .\) Отже, відповідь\(10 .\)

Примітка. Вирішити цю задачу можна, встановивши і вирішивши дробове рівняння\(\frac{28}{4}=\frac{70}{x}\). Розв'язування таких рівнянь розглядається в главі 24.

д) Якщо прямокутник має довжину, яка на три більше, ніж удвічі більше ширини, а периметр - 20 дюймів, які розміри прямокутника?

Рішення: Позначаємо ширину по\(x\). Тоді довжина дорівнює\(2 x+3\). Периметр 20 дюймів з одного боку і\(2(\) довжина\()+2(\) ширини\()\) з іншого. Отже, у нас є

\[20=2 x+2(2 x+3)\nonumber\]

Розподіл і збір подібних термінів дають

\[20=6 x+6\nonumber\]

Віднімання 6 з обох сторін рівняння і подальше ділення обох сторін отриманого рівняння на 6 дає:

\[20-6=6 x \Longrightarrow 14=6 x \Longrightarrow x=\frac{14}{6} \text { in }=\frac{7}{3} \text { in }=2 \frac{1}{3} \text { in. }\nonumber\]

f) Якщо коло має окружність 4in, який його радіус?

Рішення: Ми знаємо,\(C\) що\(C=2 \pi r\) де окружність і\(r\) радіус. Так що в даному випадку

\[4=2 \pi r\nonumber\]

Розділення обох сторін на\(2 \pi\) дає

\[r=\frac{4}{2 \pi}=\frac{2}{\pi} \text { in } \approx 0.63 \mathrm{in}\nonumber\]

г) Периметр рівностороннього трикутника становить 60 метрів. Скільки триває кожна сторона?

Рішення: Нехай\(x\) дорівнює стороні трикутника. Тоді периметр є, з одного боку,\(60,\) а з іншого боку\(3 x .\) Так\(3 x=60\) і ділення обох сторін рівняння на 3 дає\(x=20\) метри.

h) Якщо садівник повинен\(\$ 600\) витратити на паркан, який коштує\(\$ 10\) за лінійний фут, а територія, яку потрібно огороджувати, є прямокутною і повинна бути вдвічі довшою, ніж вона широка, які розміри найбільшого огородженого за площею?

Рішення: Периметр прямокутника є\(P=2 L+2 W\). \(x\)Дозволяти бути шириною прямокутника. Тоді довжина дорівнює\(2 x .\) периметру\(P=2(2 x)+2 x=6 x\). Найбільший периметр\(\$ 600 /(\$ 10 / f t)=60\) футів. Так\(60=6 x\) і ділення обох сторін на 6 дає\(x=60 / 6=10\). Отже, розміри становлять 10 футів на 20 футів.

i) Трапеція має площу 20,2 квадратних дюйма з однією основою розміром 3,2 дюйма і висотою 4 дюйма. Знайдіть довжину іншої основи.

Рішення:\(b\) Дозволяти довжина невідомої основи. Площа трапеції - з одного боку 20,2 квадратних дюйма. З іншого боку, це\(\frac{1}{2}(3.2+b) \cdot 4=\)\(6.4+2 b .\) так

\[20.2=6.4+2 b\nonumber\]

Множення обох сторін на 10 дає

\[202=64+20 b\nonumber\]

Віднімання 64 з обох сторін дає

\[b=\frac{138}{20}=\frac{69}{10}=6.9 \text { in }\nonumber\]

і ділення на 20 дає

Проблема виходу

Напишіть рівняння і вирішіть: Автомобіль використовує 12 галонів газу, щоб проїхати 100 миль. Скільки галонів знадобиться, щоб проїхати 450 миль?