11.3 Тригонометрична полярна форма комплексних чисел
- Page ID
- 54425
Ви вже знаєте, як представляти комплексні числа в комплексній площині за допомогою прямокутних координат і вже знаєте, як множити і ділити комплексні числа. Представлення цих точок і виконання цих операцій за допомогою тригонометричної полярної форми зробить ваші обчислення більш ефективними.
Які два способи множення наступних комплексних чисел?
\((1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)\)
Тригонометрична полярна форма комплексних чисел
Будь-яка точка, представлена в комплексній площині,\(a+b i\) може бути представлена у полярній формі так само, як і будь-яка точка прямокутної системи координат. Тригонометрична полярна форма комплексного числа описує розташування точки на комплексній площині з використанням кута і радіуса точки. Ви будете використовувати відстань від точки до початку як\(r\) і кут, який точка робить як\(\theta\).
Як бачите, точку також\(a+b i\) можна представити у вигляді\(r \cdot \cos \theta+i \cdot r \cdot \sin \theta\). Тригонометрична полярна форма може бути скорочена факторингом\(r\) і відзначаючи перші літери:
\(r(\cos \theta+i \cdot \sin \theta) \rightarrow r \cdot \operatorname{cis} \theta\)
Абревіатура\(r \cdot \operatorname{cis} \theta\) читається як «\(r\)поцілунок тета». Він дозволяє представляти точку у вигляді радіуса і кута.
Візьміть наступне комплексне число в прямокутному вигляді.
\(1-\sqrt{3} i\)
Щоб перетворити наступне комплексне число з прямокутної форми в тригонометричну полярну форму, знайдіть радіус, використовуючи абсолютне значення числа.
\(r^{2}=1^{2}+(-\sqrt{3})^{2} \rightarrow r=2\)
Кут можна знайти з базовим тригом і знанням, що протилежна сторона завжди
уявна складова і суміжна сторона завжди є реальною складовою.
\(\tan \theta=-\frac{\sqrt{3}}{1} \rightarrow \theta=60^{\circ}\)
При цьому тригонометрична форма дорівнює 2 цис\(60^{\circ}\).
Однією з великих переваг форми cis є те, що вона робить множення і ділення комплексних чисел.
надзвичайно легко. Наприклад:
Нехай:\(z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}, z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}\) с\(r_{2} \neq 0\).
Потім:
\(\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} &=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \\ z_{1} \div z_{2} &=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \end{aligned}\)
Для основних задач обсяг роботи, необхідний для обчислення добутків та коефіцієнтів для комплексних чисел, заданих у будь-якій формі, приблизно еквівалентний. Для більш складних питань тригонометрична полярна форма стає значно вигідною.
Приклади
Раніше вас запитали, як помножити комплексні числа\((1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)\).
У прямокутних координатах:
\((1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)=\sqrt{2}-\sqrt{2} i+\sqrt{6} i+\sqrt{6}\)
У тригонометричних полярних координатах\(1+\sqrt{3} i=2 \operatorname{cis} 60^{\circ}\) і\(\sqrt{2}-\sqrt{2} i=2\) цис\(-45^{\circ}\). Тому:
\((1+\sqrt{3} i)(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)=2 \operatorname{cis} 60^{\circ} \cdot 2 \mathrm{cis}-45^{\circ}=4\)СНД\(105^{\circ}\)
Перетворіть наступне комплексне число з тригонометричної полярної форми в прямокутну форму.
\(4 \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\)
\(4 \operatorname{cis}\left(\frac{3 \pi}{4}\right)=4\left(\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)=4\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i\right)=-2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} i\)
Розділіть наступні комплексні числа.
\(\frac{4 \text { cis } 32^{\circ}}{2 \operatorname{cis} 2^{\circ}}\)
\(\frac{4 \operatorname{cis} 32^{\circ}}{2 \operatorname{cis} 2^{\circ}}=\frac{4}{2} \operatorname{cis}\left(32^{\circ}-2^{\circ}\right)=2 \operatorname{cis}\left(30^{\circ}\right)\)
Переведіть наступне комплексне число з прямокутної форми в тригонометричну полярну форму:
8
\(8=8 \operatorname{cis} 0^{\circ}\)
Зверніть увагу, що це не має складної частини і тому не має кута.
Помножте наступні комплексні числа в тригонометричному полярному вигляді.
4\(34^{\circ} \cdot 5\) СНД\(16^{\circ} \cdot \frac{1}{2}\) СНД\(100^{\circ}\)
4\(34^{\circ} \cdot 5\) СНД\(16^{\circ} \cdot \frac{1}{2}\) СНД\(100^{\circ}\)
\(=4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot\)цис\(\left(34^{\circ}+16^{\circ}+100^{\circ}\right)=10\) СНД 150
Зверніть увагу, наскільки простіше робити продукти і частки в тригонометричній полярній формі.
Переведіть наступні комплексні числа з тригонометричної полярної форми в прямокутну форму.
1. 5 сх\(270^{\circ}\)
2. 2 см\(30^{\circ}\)
3. -4 цис\(\frac{\pi}{4}\)
4. \(6 \operatorname{cis} \frac{\pi}{3}\)
5. 2 цис\(\frac{5 \pi}{2}\)
Переведіть наступні комплексні числа з прямокутної форми в тригонометричну полярну форму.
6. \(2-i\)
7. \(5+12 i\)
8. \(6 i+8\)
9. \(i\)
Виконайте наступні розрахунки і спростіть.
10. 2 сси\(22^{\circ} \cdot \frac{1}{5} \operatorname{cis} 15^{\circ} \cdot 3 \operatorname{cis} 95^{\circ}\)
11. 9 сх\(98^{\circ} \div 3 \operatorname{cis} 12^{\circ}\)
12. \(15 \operatorname{cis} \frac{\pi}{4} \cdot 2\)СНД\(\frac{\pi}{6}\)
13. \(-2 \operatorname{cis} \frac{2 \pi}{3} \div 15 \operatorname{cis} \frac{7 \pi}{6}\)
Нехай\(z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}\) і\(z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}\) с\(r_{2} \neq 0\).
14. Використовуйте тригонометричні тотожності суми та різниці, щоб довести, що\(z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\)
15. Використовуйте тригонометричні тотожності суми та різниці, щоб довести, що\(z_{1} \div z_{2}=\frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\)