11.4 Теорема Де Муавра та n-е коріння
- Page ID
- 54420
Ви знаєте, як помножити два комплексних числа разом, і ви бачили переваги використання тригонометричної полярної форми, особливо при одночасному множенні більше двох комплексних чисел. Оскільки підвищення числа до цілого числа потужність повторюється множення, ви також знаєте, як підняти комплексне число до цілого числа. Що таке геометрична інтерпретація квадратури комплексного числа?
Теорема де Муйвра та n-е коріння
Нагадаємо, що якщо\(z_{1}=r_{1} \cdot \operatorname{cis} \theta_{1}\) і\(z_{2}=r_{2} \cdot \operatorname{cis} \theta_{2}\) з\(r_{2} \neq 0\), то\(z_{1} \cdot z_{2}=r_{1} \cdot r_{2} \cdot \operatorname{cis}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\)
Якщо\(z_{1}=z_{2}=z=r \operatorname{cis} \theta\) тоді можна визначити\(z^{2}\) і\(z^{3}\):
\(z^{2}=r \cdot r \cdot \operatorname{cis}(\theta+\theta)=r^{2} \operatorname{cis}(2 \cdot \theta)\)
\(z^{3}=r^{3} \operatorname{cis}(3 \cdot \theta)\)
Теорема Де Муавра просто узагальнює цю закономірність до степеня будь-якого натурального цілого числа.
\(z^{n}=r^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \theta)\)
Крім підняття комплексного числа до степеня, ви також можете взяти квадратні корені, кубічні корені та\(n^{\text {th }}\) коріння комплексних чисел. Припустимо, у вас є комплексне число\(z=r\) cis\(\theta\) і ви хочете взяти\(n^{t h}\) корінь\(z\). Іншими словами, ви хочете знайти число\(v=s \cdot \operatorname{cis} \beta\) таке, що\(v^{n}=z\). Зробіть деяку заміну і маніпуляції:
\(\begin{aligned} v^{n} &=z\\(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{n} &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \\ s^{n} \cdot \operatorname{cis}(n \cdot \beta) &=r \cdot \operatorname{cis} \theta \end{aligned}\)
Ви можете побачити в цей момент, що для пошуку\(s\) вам потрібно взяти\(n^{\text {th }}\) корінь\(r\). Складніша частина полягає в тому, щоб знайти кути, тому що\(n \cdot \beta\) може бути будь-який кут співтермінал з\(\theta\). Це означає, що існують\(n\) різні\(n^{\text {th }}\) коріння\(z\).
\(n \cdot \beta=\theta+2 \pi k\)
\(\beta=\frac{\theta+2 \pi k}{n}\)
Число\(k\) може бути всі числа підрахунку, включаючи нулі до\(n-1\). Так що якщо ви берете\(4^{\text {th }}\) корінь, то\(k=0,1,2,3\).
Таким чином,\(n^{t h}\) корінь комплексного числа вимагає\(n\) різних обчислень, по одному для кожного кореня:
\(v=\sqrt[n]{r} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2 \pi k}{n}\right)\)для\(\{k \in I \mid 0 \leq k \leq n-1\}\)
Щоб застосувати цю формулу, знайдіть кубовий корінь числа 8. Більшість студентів знають, що\(2^{3}=8\) і так знають, що 2 - це кубічний корінь 8. Однак вони не усвідомлюють, що є два інших кубічних кореня, яких вони відсутні. Не забудьте виписати\(k=0,1,2\) і використовувати одиницю кола, коли це можливо, щоб допомогти вам знайти всі три кубічні корені.
\(\begin{aligned} 8 &=8 \text { cis } 0=(s \cdot \operatorname{cis} \beta)^{3} \\ z_{1} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 0}{3}\right)=2 \text { cis } 0=2(\cos 0+i \cdot \sin 0)=2(1+0)=2 \\ z_{2} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 1}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1+i \sqrt{3} \\ z_{3} &=2 \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{0+2 \pi \cdot 2}{3}\right)=2 \operatorname{cis}\left(\frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=2\left(\cos \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right)=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)=-1-i \sqrt{3} \end{aligned}\)
Кубик коріння з 8 є\(2,-1+i \sqrt{3},-1-i \sqrt{3}\).
Щоб перевірити, що вони є кубічними коренями, куб їх усіх спростити.
\(z_{1}^{3}=2^{3}=8\)
\(z_{2}^{3}=(-1+i \sqrt{3})^{3}\)
\(\quad=(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)
\(\quad=(1-2 i \sqrt{3}-3) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)
\(\quad=(-2-2 i \sqrt{3}) \cdot(-1+i \sqrt{3})\)
\(\quad=2-2 i \sqrt{3}+2 i \sqrt{3}+6\)
\(\quad=8\)
Зверніть увагу, скільки кроків і можливостей для того, щоб зробити помилку при множенні
множинні терміни в прямокутній формі. При перевірці\(z_{3},\) використовуйте тригонометричну полярну форму.
\(\begin{aligned} z_{3}^{3} &=2^{3} \operatorname{cis}\left(3 \cdot \frac{4 \pi}{3}\right) \\ &=8(\cos 4 \pi+i \cdot \sin 4 \pi) \\ &=8(1+0) \\ &=8 \end{aligned}\)
Приклади
Раніше вас запитали, що таке геометрична інтерпретація квадратури складного числа. Квадратування комплексного числа дає нове комплексне число. Кут подвоюється, а величина - в квадраті, тому геометрично ви бачите обертання.
Побудуйте коріння 8 графічно і обговоріть будь-які закономірності, які ви помітили.
Три точки однаково розташовані навколо кола радіусом 2. Тільки один з пунктів\(2+0 i\), складається тільки з дійсних чисел. Інші дві точки мають як реальну, так і уявну складову, тому вони знаходяться поза\(x\) осі.
У міру того, як вам стане зручніше з корінням, ви можете просто визначити кількість точок, які потрібно рівномірно розставити навколо певного радіусного кола і знайти першу точку. Решта - всього лише логіка.
Якими бувають четверті корені 16 cis\(48^{\circ} ?\)
Буде 4 точки, кожен один\(90^{\circ}\) від одного з першим очком на 2 cis\(\left(12^{\circ}\right)\).
\(2 \operatorname{cis}\left(12^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(102^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(192^{\circ}\right), 2 \operatorname{cis}\left(282^{\circ}\right)\)
Вирішити для\(z\) шляхом знаходження n-го кореня комплексного числа.
\(z^{3}=64-64 \sqrt{3} i\)
Спочатку запишіть комплексне число у вигляді cis. Не забудьте ідентифікувати\(k=0,1,2\). Це означає, що коріння з'являться у кожного\(\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\).
\(z^{3}=64-64 \sqrt{3} i=128 \cdot \operatorname{cis} 300^{\circ}\)
\(z_{1}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(\frac{300}{3} \circ\right)=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(100^{\circ}\right)\)
\(z_{2}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(220^{\circ}\right)\)
\(z_{3}=128^{\frac{1}{3}} \cdot \operatorname{cis}\left(340^{\circ}\right)\)
Використовуйте теорему Де Муавра для оцінки наступної потужності.
\((\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6}\)
Спочатку запишіть число в тригонометричній полярній формі, потім застосуйте теорему Де Муавра і спростіть.
\(\begin{aligned}(\sqrt{2}-\sqrt{2} i)^{6} &=\left(2 \operatorname{cis} 315^{\circ}\right)^{6} \\ &=2^{6} \cdot \operatorname{cis}\left(6 \cdot 315^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(1890^{\circ}\right) \\ &=64 \cdot \operatorname{cis}\left(90^{\circ}\right) \\ &=64\left(\cos 90^{\circ}+i \cdot \sin 90^{\circ}\right) \\ &=64(0+i) \\ &=64 i \end{aligned}\)
Використовуйте теорему Де Муавра для оцінки кожного виразу. Напишіть свої відповіді в прямокутній формі.
1. \((1+i)^{5}\)
2. \((1-\sqrt{3} i)^{3}\)
3. \((1+2 i)^{6}\)
4. \((\sqrt{3}-i)^{5}\)
5. \(\left(\frac{1}{2}+\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{4}\)
6. Знайдіть куб коріння\(3+4 i\).
7. Знайдіть\(5^{\text {th }}\) коріння\(32 i\).
8. Знайдіть\(5^{\text {th }}\) коріння\(1+\sqrt{5} i\).
9. Знайдіть\(6^{\text {th }}\) коріння -64 і нанесіть їх на складну площину.
10. Використовуйте свої відповіді,\(\# 9\) щоб допомогти вам вирішити\(x^{6}+64=0\).
Для кожного рівняння: а) вкажіть кількість коренів, б) обчислити коріння, а в) представляємо коріння графічно.
11. \(x^{3}=1\)
12. \(x^{8}=1\)
13. \(x^{12}=1\)
14. \(x^{4}=16\)
15. \(x^{3}=27\)