11.2 Арифметика з комплексними числами
- Page ID
- 54419
Ідея комплексного числа може бути важко осягнути, особливо коли ви починаєте думати про абсолютну цінність. У минулому ви, можливо, думали про абсолютне значення числа як про саме число або його позитивну версію. Як слід думати про абсолютне значення комплексного числа?
Арифметичні операції з комплексними числами
Комплексні числа дотримуються всіх тих же правил, що і дійсні числа для операцій додавання, віднімання, множення і ділення. Є кілька важливих ідей, які слід пам'ятати при роботі зі складними числами:
1. При спрощенні ви повинні пам'ятати, щоб поєднувати уявні частини з уявними частинами і реальні частини з реальними частинами. Наприклад,\(4+5 i+2-3 i=6+2 i\)
2. Якщо в кінцевому підсумку ви отримаєте комплексне число в знаменнику дробу, усуньте його, множивши і чисельник, і знаменник на складний сполучений знаменника.
3. Повноваження\(i\) є:
- \(i=\sqrt{-1}\)
- \(i^{2}=-1\)
- \(i^{3}=-\sqrt{-1}=-i\)
- \(i^{4}=1\)
- \(i^{5}=i\)
- \(\ldots\)і візерунок повторюється
Розглянемо це складний вислів:
\((2+3 i)(1-5 i)-3 i+8\)
Спочатку помножте два біноміали, а потім об'єднайте уявні частини з уявними частинами, а реальні частини з реальними частинами.
\(=2-10 i+3 i-15 i^{2}-3 i+8\)
\(=10-10 i+15\)
\(=25-10 i\)
Зверніть увагу, що потужність вище 1 of\(i\) може бути спрощена за допомогою шаблону вище.
Комплексна площина встановлюється так само, як і правильна\(x, y\) площина, за винятком того, що дійсні числа підраховуються горизонтально, а комплексні числа підраховуються вертикально. Нижче наведено число,\(4+3 i\) нанесене в комплексній числовій площині. Зверніть увагу, як точка чотири одиниці більше і три одиниці вгору.
Абсолютне значення комплексного числа\(|4+3 i|\) like визначається як відстань від комплексного числа до початку. Ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб отримати абсолютне значення. В даному випадку,\(|4+3 i|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5\).
Приклади
Раніше вас запитали, як думати про абсолютне значення комплексного числа. Хороший спосіб подумати про абсолютне значення для всіх чисел - визначити його як відстань від числа до нуля. У випадку комплексних чисел, де окреме число фактично є координатою на площині, нуль є початком.
Обчислити наступну потужність вручну і використовувати калькулятор для підтримки вашої роботи.
\((\sqrt{3}+2 i)^{3}\)
\((\sqrt{3}+2 i) \cdot(\sqrt{3}+2 i) \cdot(\sqrt{3}+2 i)\)
\(=(3+4 i \sqrt{3}-4)(\sqrt{3}+2 i)\)
\(=(-1+4 i \sqrt{3})(\sqrt{3}+2 i)\)
\(=-\sqrt{3}-2 i+12 i-8 \sqrt{3}\)
\(=-9 \sqrt{3}+10 i\)
TI-84 можна переключити в уявний режим, а потім обчислити саме те, що ви тільки що зробили. Зверніть увагу, що калькулятор дасть десяткове наближення для\(-9 \sqrt{3}\).
Спростіть наступний складний вираз.
\(\frac{7-9 i}{4-3 i}+\frac{3-5 i}{2 i}\)
Для додавання дробів потрібно знайти спільний знаменник.
\(\frac{(7-9 i) \cdot 2 i}{(4-3 i) \cdot 2 i}+\frac{(3-5 i) \cdot(4-3 i)}{2 i \cdot(4-3 i)}\)
\(=\frac{14 i+18}{8 i+6}+\frac{12-20 i-9 i-15}{8 i+6}\)
\(=\frac{15-15 i}{8 i+6}\)
В останню чергу усуньте уявну складову від знаменника за допомогою сполучення.
\(=\frac{(15-15 i) \cdot(8 i-6)}{(8 i+6) \cdot(8 i-6)}\)
\(=\frac{120 i-90+120+90 i}{100}\)
\(=\frac{30 i+30}{100}\)
\(=\frac{3 i+3}{10}\)
Спростити наступне комплексне число.
\(i^{2013}\)
При спрощенні комплексних чисел, не\(i\) повинні мати ступінь більше 1. Повноваження\(i\) повторення в циклі з чотирьох частин:
\(i^{5}=i=\sqrt{-1}\)
\(i^{6}=i^{2}=-1\)
\(i^{7}=i^{3}=-\sqrt{-1}=-i\)
\(i^{8}=i^{4}=1\)
Тому потрібно просто визначити, де 2013 рік знаходиться в циклі. Для цього слід визначити залишок при діленні 2013 року на 4. Залишок - 1 так\(i^{2013}=i\).
Покладіть наступне комплексне число на комплексній координатній площині і визначте його абсолютне значення.
\(-12+5 i\)
Сторони прямокутного трикутника - 5 і\(12,\) які ви повинні розпізнати як піфагорієць
потрійний з гіпотенузою 13. \(|-12+5 i|=13\).
Спростити наступні комплексні числа.
1. \(i^{252}\)
2. \(i^{312}\)
3. \(i^{411}\)
4. \(i^{2345}\)
Для кожного з наступних, нанесіть комплексне число на комплексній координатній площині і
визначити його абсолютне значення.
5. \(6-8 i\)
6. \(2+i\)
7. \(4-2 i\)
8. \(-5 i+1\)
Нехай\(c=2+7 i\) і\(d=3-5 i\)
9. Що таке\(c+d ?\)
10. Що таке\(c-d ?\)
11. Що таке\(c \cdot d ?\)
12. Що таке\(2 c-4 d ?\)
13. Що таке\(2 c \cdot 4 d ?\)
14. Що таке\(\frac{c}{d}\)?
15. Що таке\(c^{2}-d^{2} ?\)