11.1 Фундаментальна теорема алгебри
- Page ID
- 54426
Ви дізналися, що квадратик має не більше двох реальних нулів, а кубічний має максимум три реальні нулі. Можливо, ви помітили, що кількість дійсних нулів завжди менше або дорівнює ступеня многочлена. Подивившись на графік, ви можете побачити, коли парабола перетинає\(x\) вісь 0,1 або 2 рази, але яке це має відношення до комплексних чисел?
Фундаментальна теорема алгебри
Дійсне число - це будь-яке раціональне або ірраціональне число. Коли дійсне число знаходиться в квадраті, воно завжди буде давати невід'ємне значення. Комплексні числа включають дійсні числа та інший тип числа, який називається уявними числами. На відміну від дійсних чисел, уявні числа можуть давати від'ємне значення при квадраті. Квадратний корінь від'ємного визначається як уявне число\(i\).
\(i=\sqrt{-1}\)і\(i^{2}=-1\)
Комплексні числа записуються з дійсною складовою і уявною складовою. Всі комплексні числа можна записати у вигляді\(a+b i\). Коли уявна складова дорівнює нулю, число - це просто дійсне число. Це означає, що дійсні числа є підмножиною комплексних чисел.
Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що\(n^{t h}\) градусний поліном з дійсними або комплексними коефіцієнтами має, з кратністю, точно\(n\) складні коріння. Це означає, що кубічний буде мати рівно 3 кореня, деякі з яких можуть бути складними.
Візьміть наступний многочлен.
\(f(x)=x^{2}+9\)
Спочатку ви можете подумати, що це не має коренів, але Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що вона повинна мати коріння 2. Обидва коріння для цього многочлена складні.
Щоб знайти коріння для цього складного многочлена, задайте\(y=0\) і вирішуйте для\(x\). Це дасть вам два нулі.
\(\begin{aligned} 0 &=x^{2}+9\\-9 &=x^{2} \\ \pm 3 i &=x \end{aligned}\)
Таким чином, лінійна факторизація функції є:
\(f(x)=(x-3 i)(x+3 i)\)
Кратність відноситься до того, коли корінь підраховує більше одного разу. Наприклад, у наступній функції єдиний корінь відбувається за адресою\(x=3\).
\(f(x)=(x-3)^{2}\)
Фундаментальна теорема алгебри стверджує, що цей\(2^{\text {nd }}\) ступінь поліном повинен мати рівно 2 корені з кратністю. Це означає, що корінь\(x=3\) має кратність 2. Один із способів визначення кратності - просто подивитися на ступінь кожного з факторів у факторизованому поліномі.
\(g(x)=(x-1)(x-3)^{4}(x+2)\)
Ця функція має 6 коренів. Перші два кореня\(x=1\) і\(x=-2\) мають кратність 1, тому що сила кожного з їх біноміальних факторів дорівнює 1. Третій корінь\(x=3\) має кратність 4 тому, що сила його біноміального фактора дорівнює 4. Майте на увазі, що всі поліноми можуть бути записані в факторизованому вигляді, як вищезгаданий поліном, завдяки теоремі, яка називається Теорема лінійної факторизації.
Приклади
Раніше вас запитували про графіки парабол і їх співвідношенні з нулями парабол. Коли парабола не може перетнути\(x\) вісь, вона все ще має 2 коріння. Ці два корені виявляються уявними числами. Функція\(f(x)=x^{2}+4\) не перетинає\(x\) вісь, але її коріння є\(x=\pm 2 i\).
Визначте многочлен, який має наступні п'ять коренів. \(x=0,2,3, \pm \sqrt{5} i\)
Запишіть функцію в факторизованому вигляді.
\(f(x)=(x-0)(x-2)(x-3)(x-\sqrt{5} i)(x+\sqrt{5} i)\)
Коли ви множите через, буде корисно спочатку зробити складні кон'югати. Пам'ятайте, що Складні сполучення - це пари комплексних чисел з дійсними частинами, які є ідентичними і уявними частинами, які мають однакову величину, але протилежні знаки. Складні кон'югати в цьому рівнянні є\((x-\sqrt{5} i)(x+\sqrt{5} i)\).
\(f(x)=x\left(x^{2}-5 x+6\right)\left(x^{2}-5 \cdot(-1)\right)\)
\(f(x)=\left(x^{3}-5 x^{2}+6 x\right)\left(x^{2}+5\right)\)
\(f(x)=x^{5}-5 x^{4}+6 x^{3}+5 x^{3}-25 x^{2}+30 x\)
\(f(x)=x^{5}-5 x^{4}+11 x^{3}-25 x^{2}+30 x\)
Запишіть многочлен, який має такі корені: 4 (з кратністю 3), 2 (з кратністю 2) і 0.
\(f(x)=(x-4)^{3} \cdot(x-2)^{2} \cdot x\)
Внесіть наступний многочлен в його лінійну факторизацію і стан всіх його коренів.
\(f(x)=x^{4}-5 x^{3}+7 x^{2}-5 x+6\)
Ви можете використовувати поліноміальне довге ділення для отримання наступної факторизації.
\(f(x)=(x-3)(x-2)(x-i)(x+i)\)
Якщо вам потрібно місце для початку, корисно подивитися на графік полінома і помітити, що графік показує вам, де саме з'являються реальні корені.
Чи можете ви створити многочлен з дійсними коефіцієнтами, який має один уявний корінь? Чому чи чому ні?
Ні, якщо многочлен має дійсні коефіцієнти, то або він не має уявних коренів, або уявні корені йдуть парами складних кон'югатів (так що уявні частини скасовуються при множенні множників).
Для\(1-4,\) знайдіть многочлен з заданими коренями.
1.2 (з кратністю 2), 4 (з кратністю 3),\(1, \sqrt{2} i,-\sqrt{2} i\).
2. 1, -3 (з кратністю 3),\(-1, \sqrt{3} i,-\sqrt{3} i\)
3. 5 (з кратністю 2), -1 (з кратністю 2),\(2 i,-2 i\)
4. \(i,-i, \sqrt{2} i,-\sqrt{2} i\)
Для кожного многочлена, фактор в його лінійну факторизацію і стан всіх його коренів.
5. \(f(x)=x^{5}+4 x^{4}-2 x^{3}-14 x^{2}-3 x-18\)
6. \(g(x)=x^{4}-1\)
7. \(h(x)=x^{6}-12 x^{5}+61 x^{4}-204 x^{3}+532 x^{2}-864 x+576\)
8. \(j(x)=x^{7}-11 x^{6}+49 x^{5}-123 x^{4}+219 x^{3}-297 x^{2}+243 x-81\)
9. \(k(x)=x^{5}+3 x^{4}-11 x^{3}-15 x^{2}+46 x-24\)
10. \(m(x)=x^{6}-12 x^{4}+23 x^{2}+36\)
11. \(n(x)=x^{6}-3 x^{5}-10 x^{4}-32 x^{3}-81 x^{2}-85 x-30\)
12. \(p(x)=x^{6}+4 x^{5}+7 x^{4}+12 x^{3}-16 x^{2}-112 x-112\)
13. Як ви можете визначити кількість коренів, які має многочлен з його рівняння?
14. Поясніть значення терміна «кратність».
15. Многочлен з дійсними коефіцієнтами має один корінь, тобто\(\sqrt{3} i\). Який ще корінь (и) повинен мати многочлен?