Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.4 Параметричні інверси

Ви дізналися, що графік і його зворотне відображення один одного через лініюy=x. Ви також дізналися, що для того, щоб знайти обернену алгебраїчно, ви можете переключитиy змінніx та вирішити дляy. Параметричні рівняння насправді полегшують пошук зворотних, оскільки обидваy змінніx і засновані на третій зміннійt. Все, що вам потрібно зробити, щоб знайти зворотну множини параметричних рівнянь і перемкнути функції наx іy.

Чи завжди зворотна функція є функцією?

Обертання параметричних рівнянь

Щоб знайти обернене параметричне рівняння, ви повинні переключити функціюx з функцієюy. Це перемикає всі точки з(x,y) на,(y,x) а також має ефект візуального відображення графіка над лінієюy=x.

Подібно до зворотних регулярних функцій, зворотні параметричні рівняння часто обмежені, так що вони також є функціями. Візьмемо наступні параметричні рівняння:

x=2t

y=t24

Для пошуку та графування оберненої параметричної функції на області2<t<2, спочатку перемикаютьy функціїx та граф.

x=t24

y=2t

Оригінальна функція показана синім кольором, а зворотна показана червоним кольором.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи завжди зворотна функція є функцією. Обернена функція не завжди є функцією. Для того, щоб побачити, чи буде функція зворотна функція, ви повинні виконати тест горизонтальної лінії на вихідній функції. Якщо функція проходить тест горизонтальної лінії, то оберненою буде функція. Якщо функція не проходить тест горизонтальної лінії, то обернена створює відношення, а не функцію.

Приклад 2

Чи є точка (4,8) у наступній функції або її зворотна?

x=2t22

y=t21

Спробуйте вирішити відповідністьt у вихідній функції.

Точка не задовольняє вихідної функції. Перевірте, чи задовольняє він зворотному.

Точка задовольняє обернену функцію.

Приклад 3

Параметризуйте наступну функцію, а потім графуйте функцію та її зворотну.

f(x)=x2+x4

Для вихідної функції параметризація - це:

x=t

y=t2+t4

Зворотним є:

x=t2+t4

y=t

Приклад 4

Перетин двох наборів параметричних рівнянь відбувається, коли точки існують в одномуx,y і тому ж іt. Знайдіть точки перетину функції та її обернену з Прикладу 2.

Параметризованою функцією є:

x1=t

y1=t2+t4

Зворотним є:

x2=t2+t4

y2=t

Щоб знайти, де вони перетинаються, задайтеx1=x2y1=y2 і вирішуйте.

t=t2+t4t2=4t=±2

Ще потрібно фактично обчислити точки перетину на графіку. Ви можете сказати з графіка в прикладіC, що, здається, є чотири точки перетину. Оскількиt може означати час, питання перетину складніше, ніж просто перекриття. Це означає, що точки знаходяться в одномуx і тому ж часy координуються. Зверніть увагу, як виглядають графіки, коли1.8<t<1.8

Зверніть увагу на те, як виглядають графікиt>2.2 абоt<2.2

Зверніть увагу, як при розгляді цих часткових графіків немає перетину ні в чому, крім тогоt=±2 і точок (2,2) і (-2, -2) У той час як шляхи графіків перетинаються в чотирьох місцях, вони перетинаються одночасно лише двічі.

Приклад 5

Визначте, де наступна параметрична функція перетинається з її оберненою.

x=4t

y=t216

x1=4t;y1=t216Зворотним є:

x2=t216

y2=4t

Вирішітьt, колиx1=x2 іy1=y2.

4t=t2160=t24t16t=4±1641(16)2=4±452=2±25

Пункти, які відповідають цим два рази, це:

x=4(2+25),y=(2+25)216

x=4(225),y=(225)216

Рецензія

Використовуйте функціюx=t4;y=t2+2 для #1 - #3.

1. Знайдіть обернену функцію.

2. Чи живе точка (-2,6) на функції або її зворотному?

3. Чи живе точка (0,1) на функції або її зворотному?

Використовуйте відношенняx=t2;y=4t для#4#6.

4. Знайдіть зворотне відношення.

5. Чи живе точка (4,0) на співвідношенні або його зворотному?

6. Чи живе точка (0,4) на співвідношенні або його зворотному?

Використовуйте функціюx=2t+1;y=t23 для#7#9.

7. Знайдіть обернену функцію.

8. Чи живе точка (1,5) на функції або її зворотному?

9. Чи живе точка (9,13) на функції або її зворотному?

Використовувати функціюx=3t+14;y=t22t для#10#11

10. Знайдіть обернену функцію.

11. Визначте, де параметрична функція перетинається з її оберненою.

Використовувати відношенняx=t2;y=4t4 для#12#13.

12. Знайдіть зворотне відношення.

13. Визначте, де відношення перетинається з його зворотним.

14. Параметризуйте,f(x)=x2+x6 а потім графуйте функцію та її зворотну.

15. Параметризуйте,f(x)=x2+3x+2 а потім графуйте функцію та її зворотну.