10.4 Параметричні інверси

Ви дізналися, що графік і його зворотне відображення один одного через лінію$y=x$. Ви також дізналися, що для того, щоб знайти обернену алгебраїчно, ви можете переключити$y$ змінні$x$ та вирішити для$y$. Параметричні рівняння насправді полегшують пошук зворотних, оскільки обидва$y$ змінні$x$ і засновані на третій змінній$t$. Все, що вам потрібно зробити, щоб знайти зворотну множини параметричних рівнянь і перемкнути функції на$x$ і$y$.

Чи завжди зворотна функція є функцією?

Обертання параметричних рівнянь

Щоб знайти обернене параметричне рівняння, ви повинні переключити функцію$x$ з функцією$y$. Це перемикає всі точки з$(x, y)$ на,$(y, x)$ а також має ефект візуального відображення графіка над лінією$y=x$.

Подібно до зворотних регулярних функцій, зворотні параметричні рівняння часто обмежені, так що вони також є функціями. Візьмемо наступні параметричні рівняння:

$x=2 t$

$y=t^{2}-4$

Для пошуку та графування оберненої параметричної функції на області$-2<t<2,$ спочатку перемикають$y$ функції$x$ та граф.

$x=t^{2}-4$

$y=2 t$

Оригінальна функція показана синім кольором, а зворотна показана червоним кольором.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, чи завжди зворотна функція є функцією. Обернена функція не завжди є функцією. Для того, щоб побачити, чи буде функція зворотна функція, ви повинні виконати тест горизонтальної лінії на вихідній функції. Якщо функція проходить тест горизонтальної лінії, то оберненою буде функція. Якщо функція не проходить тест горизонтальної лінії, то обернена створює відношення, а не функцію.

Приклад 2

Чи є точка (4,8) у наступній функції або її зворотна?

$x=2 t^{2}-2$

$y=t^{2}-1$

Спробуйте вирішити відповідність$t$ у вихідній функції.

Точка не задовольняє вихідної функції. Перевірте, чи задовольняє він зворотному.

Точка задовольняє обернену функцію.

Приклад 3

Параметризуйте наступну функцію, а потім графуйте функцію та її зворотну.

$f(x)=x^{2}+x-4$

Для вихідної функції параметризація - це:

$x=t$

$y=t^{2}+t-4$

Зворотним є:

$x=t^{2}+t-4$

$y=t$

Приклад 4

Перетин двох наборів параметричних рівнянь відбувається, коли точки існують в одному$x, y$ і тому ж і$t$. Знайдіть точки перетину функції та її обернену з Прикладу 2.

Параметризованою функцією є:

$x_{1}=t$

$y_{1}=t^{2}+t-4$

Зворотним є:

$x_{2}=t^{2}+t-4$

$y_{2}=t$

Щоб знайти, де вони перетинаються, задайте$x_{1}=x_{2}$$y_{1}=y_{2}$ і вирішуйте.

$\begin{aligned} t &=t^{2}+t-4 \\ t^{2} &=4 \\ t &=\pm 2 \end{aligned}$

Ще потрібно фактично обчислити точки перетину на графіку. Ви можете сказати з графіка в прикладі$\mathrm{C}$, що, здається, є чотири точки перетину. Оскільки$t$ може означати час, питання перетину складніше, ніж просто перекриття. Це означає, що точки знаходяться в одному$x$ і тому ж час$y$ координуються. Зверніть увагу, як виглядають графіки, коли$-1.8<t<1.8$

Зверніть увагу на те, як виглядають графіки$t>2.2$ або$t<-2.2$

Зверніть увагу, як при розгляді цих часткових графіків немає перетину ні в чому, крім того$t=\pm 2$ і точок (2,2) і (-2, -2) У той час як шляхи графіків перетинаються в чотирьох місцях, вони перетинаються одночасно лише двічі.

Приклад 5

Визначте, де наступна параметрична функція перетинається з її оберненою.

$x=4 t$

$y=t^{2}-16$

$x_{1}=4 t ; y_{1}=t^{2}-16$Зворотним є:

$x_{2}=t^{2}-16$

$y_{2}=4 t$

Вирішіть$t$, коли$x_{1}=x_{2}$ і$y_{1}=y_{2}$.

$\begin{aligned} 4 t &=t^{2}-16 \\ 0 &=t^{2}-4 t-16 \\ t &=\frac{4 \pm \sqrt{16-4 \cdot 1 \cdot(-16)}}{2}=\frac{4 \pm 4 \sqrt{5}}{2}=2 \pm 2 \sqrt{5} \end{aligned}$

Пункти, які відповідають цим два рази, це:

$x=4(2+2 \sqrt{5}), y=(2+2 \sqrt{5})^{2}-16$

$x=4(2-2 \sqrt{5}), y=(2-2 \sqrt{5})^{2}-16$

Рецензія

Використовуйте функцію$x=t-4 ; y=t^{2}+2$ для #1 - #3.

1. Знайдіть обернену функцію.

2. Чи живе точка (-2,6) на функції або її зворотному?

3. Чи живе точка (0,1) на функції або її зворотному?

Використовуйте відношення$x=t^{2} ; y=4-t$ для$\# 4-\# 6$.

4. Знайдіть зворотне відношення.

5. Чи живе точка (4,0) на співвідношенні або його зворотному?

6. Чи живе точка (0,4) на співвідношенні або його зворотному?

Використовуйте функцію$x=2 t+1 ; y=t^{2}-3$ для$\# 7-\# 9$.

7. Знайдіть обернену функцію.

8. Чи живе точка (1,5) на функції або її зворотному?

9. Чи живе точка (9,13) на функції або її зворотному?

Використовувати функцію$x=3 t+14 ; y=t^{2}-2 t$ для$\# 10-\# 11$

10. Знайдіть обернену функцію.

11. Визначте, де параметрична функція перетинається з її оберненою.

Використовувати відношення$x=t^{2} ; y=4 t-4$ для$\# 12-\# 13 .$

12. Знайдіть зворотне відношення.

13. Визначте, де відношення перетинається з його зворотним.

14. Параметризуйте,$f(x)=x^{2}+x-6$ а потім графуйте функцію та її зворотну.

15. Параметризуйте,$f(x)=x^{2}+3 x+2$ а потім графуйте функцію та її зворотну.