10.4 Параметричні інверси
Ви дізналися, що графік і його зворотне відображення один одного через лініюy=x. Ви також дізналися, що для того, щоб знайти обернену алгебраїчно, ви можете переключитиy змінніx та вирішити дляy. Параметричні рівняння насправді полегшують пошук зворотних, оскільки обидваy змінніx і засновані на третій зміннійt. Все, що вам потрібно зробити, щоб знайти зворотну множини параметричних рівнянь і перемкнути функції наx іy.
Чи завжди зворотна функція є функцією?
Обертання параметричних рівнянь
Щоб знайти обернене параметричне рівняння, ви повинні переключити функціюx з функцієюy. Це перемикає всі точки з(x,y) на,(y,x) а також має ефект візуального відображення графіка над лінієюy=x.
Подібно до зворотних регулярних функцій, зворотні параметричні рівняння часто обмежені, так що вони також є функціями. Візьмемо наступні параметричні рівняння:
x=2t
y=t2−4
Для пошуку та графування оберненої параметричної функції на області−2<t<2, спочатку перемикаютьy функціїx та граф.
x=t2−4
y=2t
Оригінальна функція показана синім кольором, а зворотна показана червоним кольором.
Приклади
Раніше вас запитали, чи завжди зворотна функція є функцією. Обернена функція не завжди є функцією. Для того, щоб побачити, чи буде функція зворотна функція, ви повинні виконати тест горизонтальної лінії на вихідній функції. Якщо функція проходить тест горизонтальної лінії, то оберненою буде функція. Якщо функція не проходить тест горизонтальної лінії, то обернена створює відношення, а не функцію.
Чи є точка (4,8) у наступній функції або її зворотна?
x=2t2−2
y=t2−1
Спробуйте вирішити відповідністьt у вихідній функції.
Точка не задовольняє вихідної функції. Перевірте, чи задовольняє він зворотному.
Точка задовольняє обернену функцію.
Параметризуйте наступну функцію, а потім графуйте функцію та її зворотну.
f(x)=x2+x−4
Для вихідної функції параметризація - це:
x=t
y=t2+t−4
Зворотним є:
x=t2+t−4
y=t
Перетин двох наборів параметричних рівнянь відбувається, коли точки існують в одномуx,y і тому ж іt. Знайдіть точки перетину функції та її обернену з Прикладу 2.
Параметризованою функцією є:
x1=t
y1=t2+t−4
Зворотним є:
x2=t2+t−4
y2=t
Щоб знайти, де вони перетинаються, задайтеx1=x2y1=y2 і вирішуйте.
t=t2+t−4t2=4t=±2
Ще потрібно фактично обчислити точки перетину на графіку. Ви можете сказати з графіка в прикладіC, що, здається, є чотири точки перетину. Оскількиt може означати час, питання перетину складніше, ніж просто перекриття. Це означає, що точки знаходяться в одномуx і тому ж часy координуються. Зверніть увагу, як виглядають графіки, коли−1.8<t<1.8
Зверніть увагу на те, як виглядають графікиt>2.2 абоt<−2.2
Зверніть увагу, як при розгляді цих часткових графіків немає перетину ні в чому, крім тогоt=±2 і точок (2,2) і (-2, -2) У той час як шляхи графіків перетинаються в чотирьох місцях, вони перетинаються одночасно лише двічі.
Визначте, де наступна параметрична функція перетинається з її оберненою.
x=4t
y=t2−16
x1=4t;y1=t2−16Зворотним є:
x2=t2−16
y2=4t
Вирішітьt, колиx1=x2 іy1=y2.
4t=t2−160=t2−4t−16t=4±√16−4⋅1⋅(−16)2=4±4√52=2±2√5
Пункти, які відповідають цим два рази, це:
x=4(2+2√5),y=(2+2√5)2−16
x=4(2−2√5),y=(2−2√5)2−16
Використовуйте функціюx=t−4;y=t2+2 для #1 - #3.
1. Знайдіть обернену функцію.
2. Чи живе точка (-2,6) на функції або її зворотному?
3. Чи живе точка (0,1) на функції або її зворотному?
Використовуйте відношенняx=t2;y=4−t для#4−#6.
4. Знайдіть зворотне відношення.
5. Чи живе точка (4,0) на співвідношенні або його зворотному?
6. Чи живе точка (0,4) на співвідношенні або його зворотному?
Використовуйте функціюx=2t+1;y=t2−3 для#7−#9.
7. Знайдіть обернену функцію.
8. Чи живе точка (1,5) на функції або її зворотному?
9. Чи живе точка (9,13) на функції або її зворотному?
Використовувати функціюx=3t+14;y=t2−2t для#10−#11
10. Знайдіть обернену функцію.
11. Визначте, де параметрична функція перетинається з її оберненою.
Використовувати відношенняx=t2;y=4t−4 для#12−#13.
12. Знайдіть зворотне відношення.
13. Визначте, де відношення перетинається з його зворотним.
14. Параметризуйте,f(x)=x2+x−6 а потім графуйте функцію та її зворотну.
15. Параметризуйте,f(x)=x2+3x+2 а потім графуйте функцію та її зворотну.