10.3 Параметри та усунення параметрів

У параметричному рівнянні\(y\) змінні\(x\) і не залежать одна від одної. Натомість обидві змінні залежать від третьої змінної,\(t\). Це параметр або число, що впливає на поведінку рівняння. Зазвичай\(t\) витримає час. Реальним прикладом відносин між\(x, y\) і\(t\) є зріст, вага і вік малюка.

І зріст, і вага малюка залежать від часу, але також явно існує позитивна залежність між якраз зростом і вагою малюка. Зосередившись на взаємозв'язку між зростанням і вагою і даючи час сховатися у фоновому режимі, ви створюєте параметричну залежність між трьома змінними.

Які ще типи реальних ситуацій моделюються параметричними рівняннями?

Усунення параметра

У вашому графічному калькуляторі є параметричний режим. Після того, як ви переведете калькулятор у параметричний режим, на графічному екрані ви більше не побачите\(y=\) ___, замість цього ви побачите:

Зверніть увагу, як для ділянки один, калькулятор запитує два рівняння на основі змінної\(T\):

\(x_{1 T}=f(t)\)

\(y_{1 T}=g(t)\)

Це називається параметричної формою. Параметрична форма відноситься до відносин, що включає в себе\(x=f(t)\) і\(y=g(t)\). Для того щоб перетворити параметричне рівняння в нормальне, потрібно зробити процес під назвою «усунення параметра». «Усунення параметра» - це фраза, яка означає перетворити параметричне рівняння, яке має\(x=f(t)\) і\(y=g(t)\) в просто зв'язок між\(y\) і\(x\). Ви усуваєте\(t\). Для цього ви повинні вирішити\(x=f(t)\) рівняння для\(t=f^{-1}(x)\) і підставити це значення\(t\) в\(y\) рівняння. Це буде виробляти нормальну функцію на\(y\) основі\(x\).

Є дві основні переваги графіків у параметричній формі. По-перше, просто графікувати частину звичайної функції, використовуючи\(T_{\min }, T_{\max }\) і\(T_{\text {step }}\) у вікні налаштування. По-друге, параметрична форма дозволяє відображати снаряди в русі і бачити ефекти часу.

Черепаха і заєць почати 202 футів один від одного, а потім гонки до прапора на півдорозі між ними. Заєць вирішує подрімати і дати черепасі 21 другий фору. Заєць біжить зі швидкістю 9.8 футів в секунду, а черепаха шутить уздовж на 3,2 футів в секунду. Ця ситуація може бути представлена параметричними рівняннями, і ми можемо використовувати рівняння, щоб визначити, хто виграє цю епічну гонку і скільки.

Спочатку намалюйте малюнок, а потім представляйте кожен символ набором параметричних рівнянь.

Положення черепахи (-101,0) в\(t=0\) і (-97,8,0) в\(t=1\). Ви можете зробити висновок, що рівняння, що моделює положення черепахи, є:

\(x_{1}=-101+3.2 \cdot t\)

\(y_{1}=0\)

Положення зайця (101,0) в\(t=21\) і (91,2,0) в\(t=22\). Зверніть увагу, що немає сенсу робити рівняння, що моделюють положення зайця до того, як пройшло 21 секунда, оскільки Заєць дрімає і не рухається. Ви можете встановити рівняння для вирішення теоретичної вихідної позиції зайця, якби він працював весь час.

\(x_{2}=b-9.8 t\)

\(101=b-9.8 \cdot 21\)

\(305.8=b\)

Рівняння положення зайця після\(t=21\) можна змоделювати за допомогою:

\(x_{2}=305.8-9.8 \cdot t\)

\(y_{2}=0\)

Черепаха перетинає\(x=0\) коли\(t \approx 31.5\). Заєць перетинає\(x=0\) коли\(t \approx 31.2\). Заєць виграє приблизно на 1,15 футів.

Тепер скористайтеся калькулятором, щоб відобразити ці параметричні рівняння. \(T\)

ось багато налаштувань, які ви повинні знати для параметричних рівнянь, які оживають такі питання. TI-84 має функції, які дозволяють побачити, як відбувається гонка.

Спочатку встановіть режим одночасної графіки. Це покаже одночасно положення черепахи і зайця.

Далі змініть графічне вікно так, щоб воно\(t\) варіювалося в межах від 0 до 32 секунд. \(T_{\text {step }}\)Визначає, як часто калькулятор буде обчислювати бали. Чим більше\(T_{\text {step }}\), тим швидше і менш точно буде побудована графіка. Також змініть\(x\) значення, щоб варіюватися між -110 і 110, щоб ви могли бачити позиції обох символів.

Введіть параметричні рівняння. Перемикач ліворуч\(x\) і змініть курсор з рядка на рядок з бульбашкою в кінці. Це більш наочно показує їх положення.

Тепер, коли ви графуєте ви повинні дивитися гонки розгортаються, як дві позиції графіки гонки один до одного.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, які типи реальних ситуацій можна моделювати параметричними рівняннями. Параметричні рівняння часто використовуються, коли корисна лише частина графіка. Обмежуючи область\(t\), ви можете графікувати точний інтервал потрібної функції. Параметричні рівняння також корисні, коли дві різні змінні спільно залежать від третьої змінної, і ви хочете подивитися на зв'язок між двома залежними змінними. Це дуже часто зустрічається в статистиці, де базова змінна насправді може бути причиною проблеми, і спостерігач може лише вивчити зв'язок між результатами, які вони бачать. У фізичному світі параметричні рівняння є винятковими у графічному положенні з часом, оскільки горизонтальні та вертикальні вектори об'єктів у вільному русі залежать від часу, але не залежать один від одного.

Приклад 2

Виключіть параметр в наступних рівняннях.

\(x=6 t-2\)

\(y=5 t^{2}-6 t\)

\(x=6 t-2\)Отже,\(\frac{x+2}{6}=t .\) тепер\(t\) підставляємо це значення для другого рівняння:

\(y=5\left(\frac{x+2}{6}\right)^{2}-6\left(\frac{x+2}{6}\right)\)

Приклад 3

Для заданого параметричного рівняння граф на кожному інтервалі\(t\).

\(x=t^{2}-4\)

\(y=2 t\)

1. \(-2 \leq t \leq 0\)

2. \(0 \leq t \leq 5\)

3. \(-3 \leq t \leq 2\)

a Гарне місце для початку - знайти координати, де\(t\) вказує, що графік буде починатися і закінчуватися. Для\(-2 \leq t \leq 0, t=-2\) і\(t=0\) вказують, що точки (0, -4) і (-4,0) є кінцевими точками графіка.

б.\(0 \leq t \leq 5\)

c.\(-3 \leq t \leq 2\)

Приклад 4

Виключіть параметр і наведіть графік наступної параметричної кривої.

\(x=3 \cdot \sin t\)

\(y=3 \cdot \cos t\)

Коли параметричні рівняння включають тригонометричні функції, ви можете використовувати Піфагорійську ідентичність,\(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t=1 \cdot\) У цій задачі\(\sin t=\frac{x}{3}\) (з першого рівняння) і\(\cos t=\frac{y}{3}\) (з другого рівняння). Підставте ці значення в Піфагорійську Ідентичність, і ви маєте:

\(\left(\frac{x}{3}\right)^{2}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=1\)

\(x^{2}+y^{2}=9\)

Це коло, центроване у початковій точці з радіусом\(3 .\)

Приклад 5

Знайти параметризацію для відрізка лінії, що з'єднує точки (1,3) і\((4,8) .\)

Використовуйте той факт, що точка плюс вектор дає іншу точку. Вектор між цими точками\(<4-1,8-3>=<3,5>\)

Таким чином, точка (1,3) плюс\(t\) раз вектор\(<3,5>\) буде виробляти точку (4,8) коли\(t=1\) і точку (1,3) коли\(t=0\).

\((x, y)=(1,3)+t \cdot<3,5>,\)для\(0 \leq t \leq 1\)

Потім ви розбиваєте це векторне рівняння на параметричну форму.

\(x=1+3 t\)

\(y=3+5 t\)

\(0 \leq t \leq 1\)

Рецензія

Виключіть параметр у наступних наборах параметричних рівнянь.

1. \(x=3 t-1 ; y=4 t^{2}-2 t\)

2. \(x=3 t^{2}+6 t ; y=2 t-1\)

3. \(x=t+2 ; y=t^{2}+4 t+4\)

4. \(x=t-5 ; y=t^{3}+1\)

5. \(x=t+4 ; y=t^{2}-5\)

Для\(x=t, y=t^{2}+1,\) графіка параметричного рівняння на кожному інтервалі\(t\).

6. \(-2 \leq t \leq-1\)

7. \(-1 \leq t \leq 0\)

8. \(-1 \leq t \leq 1\)

9. \(-2 \leq t \leq 2\)

10. \(-5 \leq t \leq 5\)

11. Виключіть параметр і наведіть графік наступної параметричної кривої:

\(x=\sin t, y=-4+3 \cos t\)

12. Виключіть параметр і наведіть графік наступної параметричної кривої:

\(x=1+2 \cos t, y=1+2 \sin t\)

13. Використовуючи попередню задачу як модель, знайдіть параметризацію для кола з центром (2, 4) та радіусом\(3 .\)

14. Знайти параметризацію для відрізка лінії, що з'єднує точки (2,7) і\((1,4) .\)

15. Знайдіть параметризацію для еліпса\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1\). Використовуйте те, що\(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t=1\). Перевірте свою відповідь за допомогою калькулятора.

16. Знайдіть параметризацію для еліпса\(\frac{(x-4)^{2}}{9}+\frac{(y+1)^{2}}{36}=1\). Перевірте свою відповідь за допомогою калькулятора.