10.5 Застосування параметричних рівнянь
- Page ID
- 54586
Регулярна функція має можливість графікувати висоту об'єкта з плином часу. Параметричні рівняння дозволяють фактично графікувати повне положення об'єкта з плином часу. Наприклад, параметричні рівняння дозволяють скласти графік, який представляє положення точки на колесі огляду. Всі деталі, такі як висота від землі, напрямок та швидкість обертання, можуть бути змодельовані за допомогою параметричних рівнянь.
Що таке рівняння положення та графік точки на колесі огляду, яка починається в низькій точці 6 футів від землі, обертається проти годинникової стрілки на висоту 46 футів від землі, а потім спускається назад до 6 футів за 60 секунд?
Застосування параметричних рівнянь
Існує два типи параметричних рівнянь, характерних для реальних життєвих ситуацій. Перший - це
круговий рух, як було описано в концептуальній задачі. Другий - рух снаряда.
Круговий рух
Параметричні рівняння, що описують круговий рух, матимуть\(x\) і\(y\) як періодичні функції синуса і косинуса. Або\(x\) буде синусоїдною функцією і\(y\) буде функцією косинуса, або навпаки. Найкращий спосіб придумати параметричні рівняння - спочатку намалювати картину кола, яку ви намагаєтеся зобразити.
Далі важливо відзначити початкову точку, центральну точку і напрямок. Ви вже повинні
запам'ятовуйте графіки синуса та косинуса, щоб, коли ви бачите візерунок у словах або у вигляді графіка, ви можете визначити, що ви бачите як\(+\sin ,-\sin ,+\cos ,-\cos\).
Візьміть приклад, наведений вище, з Колесом огляду, яке починається з низької точки 6 футів від землі, обертається проти годинникової стрілки на висоту 46 футів від землі, а потім опускається вниз до 6 футів за 60 секунд. Вертикальна складова починається з низької точки 6, рухається до середньої точки 26, а потім на висоту 46 і назад вниз. Це шаблон - cos. Амплітуда\(-\cos\) дорівнює 20, а вертикальний зсув дорівнює 26. Нарешті, період становить 60. Ви можете використовувати період, щоб допомогти вам знайти\(b\).
\(\begin{aligned} 60 &=\frac{2 \pi}{b} \\ b &=\frac{\pi}{30} \end{aligned}\)
Таким чином, вертикальна параметризація - це:
\(y=-20 \cos \left(\frac{\pi}{30} t\right)+26\)
Горизонтальна параметризація виявляється, помітивши, що\(x\) значення починаються з\(0,\) йти вгору, щоб\(20,\) повернутися до 0, потім вниз до -20 і, нарешті, назад до 0. Це\(+\sin\) візерунок з амплітудою 20. Період такий же, як і при вертикальній складовій.
Таким чином, параметричними рівняннями для точки на колесі є:
\(x=20 \sin \left(\frac{\pi}{30} t\right)\)
\(y=-20 \cos \left(\frac{\pi}{30} t\right)+26\)
Зауважимо, що горизонтальною і вертикальною складовими параметричних рівнянь є\(x=\) і
\(y=\)функцій відповідно або горизонтальної і вертикальної параметризації.
рух снаряда
Рух снаряда має вертикальну складову, яка є квадратичною, і горизонтальну складову, яка є лінійною. Це пов'язано з тим, що існує 3 параметри, які впливають на положення об'єкта в польоті: стартова висота, початкова швидкість і сила тяжіння. Горизонтальна складова не залежить від вертикальної складової. Це означає, що стартова горизонтальна швидкість залишатиметься горизонтальною швидкістю протягом усього польоту об'єкта.
Зверніть увагу, що гравітація,\(g,\) має силу близько\(-32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\) або\(-9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\). Приклади та питання практики в цій концепції будуть використовувати ноги.
Якщо об'єкт запускається від початку зі швидкістю,\(v\) то він має горизонтальні та вертикальні складові, які можна знайти за допомогою базової тригонометрії.
\(\sin \theta=\frac{v_{V}}{v} \rightarrow v \cdot \sin \theta=v_{V}\)
\(\cos \theta=\frac{v_{H}}{v} \rightarrow v \cdot \cos \theta=v_{H}\)
Горизонтальна складова в основному закінчена. Єдині коригування, які потрібно було б зробити, - це якщо початкове місце знаходиться не на початку, додається вітер або якщо снаряд рухається вліво, а не праворуч. Див. приклад A.
\(x=t \cdot v \cdot \cos \theta\)
Вертикальна складова також повинна включати гравітацію і стартову висоту. Загальна
рівняння для вертикальної складової:
\(y=\frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \theta+k\)
Константа\(g\) представляє гравітацію,\(t\) представляє час,\(v\) представляє початкову швидкість і\(k\) представляє початкову висоту. Ви вивчите це рівняння далі в обчисленні та фізиці. Зауважте, що в цій концепції більшість відповідей будуть знайдені та підтверджені за допомогою такої технології, як ваш графічний калькулятор.
Приклади
М'яч кидається з точки (30,5) під кутом\(\frac{4 \pi}{9}\) вліво при початковій швидкості\(68 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\). Моделювання положення кулі в часі за допомогою параметричних рівнянь. Використовуйте графічний калькулятор, щоб графікувати рівняння протягом перших чотирьох секунд, поки м'яч знаходиться в повітрі.
Горизонтальна складова є\(x=-t \cdot 68 \cdot \cos \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+30\). Зверніть увагу на негативний знак, оскільки об'єкт рухається ліворуч і +30, оскільки об'єкт починається з (30,5).
Вертикальна складова є\(y=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot 68 \cdot \sin \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+5\). Зверніть увагу, що\(g=-32\) оскільки гравітація має силу\(-32 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\) і +5, тому що об'єкт починається з (30,5).
Коли м'яч з Прикладу 1 досягає свого максимуму і коли м'яч б'є об землю? Як далеко людина кинув м'яч? Т
Щоб знайти, коли функція досягне свого максимуму, можна знайти вершину параболи. Аналітично це безладно через десяткові коефіцієнти в квадратиці. Використовуйте калькулятор, щоб наблизити максимум після того, як ви його побудували. Залежно від того, наскільки маленьким ви робите ваш\(T_{\text {step }}\) повинен знайти максимальну висоту, щоб бути близько 75 футів.
Щоб дізнатися, коли куля вдариться об землю, можна встановити вертикальну складову рівну нулю і вирішити квадратне рівняння. Ви також можете скористатися функцією таблиці на калькуляторі, щоб визначити, коли графік переходить від позитивного вертикального значення до від'ємного вертикального значення. Користь використання таблиці полягає в тому, що вона одночасно повідомляє вам\(x\) значення нуля.
Приблизно через 4.2588 секунди м'яч потрапляє в землю на (-20.29, 0). Це означає, що людина кинула м'яч від (30, 5) до (-20.29, 0), горизонтальна відстань трохи більше 50 футів.
Кіран знаходиться на колесі огляду, і його положення моделюється параметричними рівняннями:
\(x_{K}=10 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{5} t\right)\)
\(y_{K}=10 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{5} t\right)+65\)
Джейсон кидає м'яч, змодельований рівнянням у прикладі 1, до Кіран, який може зловити м'яч, якщо він потрапить в межах трьох футів. Чи приймає Kieran м`яч?
Це питання покликане продемонструвати потужність вашого калькулятора. Якщо ви просто моделюєте два рівняння одночасно і ігноруєте час, ви побачите кілька точок перетину. Цей графік показаний нижче зліва. Ці точки перетину не цікаві, оскільки вони представляють, де Кіран і м'яч знаходяться в одному місці, але в різні моменти часу.
Коли значення\(T_{m a x}\) налаштовано на 2,3, щоб кожен графік представляв час від 0 до 2,3, ви отримуєте краще відчуття, що приблизно за 2,3 секунди дві точки близькі. Цей графік показаний вище праворуч.
Тепер ви можете скористатися калькулятором, щоб допомогти вам визначити, чи відстань між Кіран і м'яч насправді опускається нижче 3 футів. Почніть з побудови позиції м'яча в калькуляторі як
\(x_{1}\)\(y_{1}\)і положення Кіран як\(x_{2}\) і\(y_{2}\). Потім побудуйте нове параметричне рівняння, яке порівнює відстань між цими двома точками з плином часу. Можна поставити це під\(x_{3}\) і\(y_{3}\). Калькулятор може посилатися на внутрішні змінні\(x_{1}, y_{1}\), як, які вже були встановлені в пам'яті калькулятора, щоб сформувати нові змінні, як\(x_{3}, y_{3}\). Зауважте, що ви можете знайти\(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\) записи в меню vars і параметричне.
\(x_{3}=t\)
\(y_{3}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)
Тепер, коли ви графуєте, ви повинні змінити налаштування вікна і дозволити\(t\) варіюватися між 0 і\(4,\)\(x\) вікно показувати між 0 і 4, а\(y\) вікно показує між 0 і\(5 .\) Таким чином, повинно бути зрозуміло, якщо відстань дійсно стає нижче 3 футів.
Залежно від того, наскільки\(T_{\text {step }}\) точним є ваш, ви повинні виявити, що відстань нижче 3 футів. Kieran дійсно приймає м`яч.
З якою швидкістю футбол потрібно кидати під\(45^{\circ}\) кутом, щоб пройти весь шлях через футбольне поле?
Футбольне поле розміщене за 100 метрів або 300 метрів. Параметричні рівняння для футболу, кинутого від (300,0) назад до початку на швидкості\(v\), є:
\(x=-t \cdot v \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+300\)
\(y=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\)
Підставляючи точку (0,0) in for, створюється\((x, y)\) система з двох рівнянь з двома змінними\(v, t\)
\(0=-t \cdot v \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+300\)
\(0=\frac{1}{2} \cdot(-32) \cdot t^{2}+t \cdot v \cdot \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\)
Вирішити цю систему можна різними способами.
\(t=\frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.3\)секунд,\(v=40 \sqrt{6} \approx 97.98 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\)
Для того, щоб хтось кинув футбол під\(45^{\circ}\) кутом весь шлях через футбольне поле, їм потрібно було б кинути на те, про\(98 \mathrm{ft} / \mathrm{s}\) що йде\(66.8 \mathrm{mph}\).
\(\frac{98 \text { feet }}{1 \text { sec }} \cdot \frac{3600 \text { sec }}{1 \text { hour }} \cdot \frac{1 \text { mile }}{5280 \text { feet }} \approx \frac{66.8 \text { miles }}{1 \text { hour }}\)
Ніккі сіла на колесо огляду десять секунд тому. Вона почала 2 фути від землі в найнижчій точці колеса і зробить повний цикл за чотири хвилини. Їзда досягає максимальної висоти 98 футів і крутиться за годинниковою стрілкою. Напишіть параметричні рівняння, які моделюють положення Ніккі з плином часу. Де буде Ніккі через три хвилини?
Не дозволяйте 10-секундній різниці заплутати вас. Для того, щоб розібратися з різницею в часі, використовуйте\(\left(t+\frac{1}{6}\right)\) замість цього\(t\) в кожному рівнянні. Коли вже\()\) минуло\(t=0,\) десять секунд\(\left(\frac{1}{6}\right.\) хвилини.
\(x=-48 \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\left(t+\frac{1}{6}\right)\right)\)
\(y=-48 \cdot \cos \left(\frac{\pi}{2}\left(t+\frac{1}{6}\right)\right)+50\)
В\(t=3, x \approx 46.36\) і\(y \approx 37.58\)
Кендіс сідає на колесо огляду в найнижчій точці, 3 фути від землі. Колесо огляду крутиться
за годинниковою стрілкою до максимальної висоти 103 футів, роблячи повний цикл за 5 хвилин.
1. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання позиції Кендіс.
2. Де Кендіс буде через дві хвилини?
3. Де Кендіс буде через чотири хвилини?
Хвилину тому Гільєрмо сів на колесо огляду в найнижчій точці, в 3 футах від землі. The
Колесо огляду обертається за годинниковою стрілкою до максимальної висоти 83 футів, роблячи повний цикл в 6
хвилин.
4. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання позиції Гільєрмо.
5. Де буде Гільєрмо через дві хвилини?
6. Де буде Гільєрмо через чотири хвилини?
Кім кидає м'яч з (0,5) вправо зі швидкістю 50 миль/год\(45^{\circ}\) під кутом.
7. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання положення кулі.
8. Де буде м'яч через 2 секунди?
9. Як далеко потрапляє м'яч, перш ніж він приземлиться?
Девід кидає м'яч з (0,7) вправо зі швидкістю 70 миль/год\(60^{\circ}\) під кутом. Є вітер 6 миль/год в
Прихильність Девіда.
10. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання положення кулі.
11. Де буде м'яч через 2 секунди?
12. Як далеко потрапляє м'яч, перш ніж він приземлиться?
Припустимо, Райлі стоїть в точці (250,0) і запускає футбол зі швидкістю 72 миль/год під кутом\(60^{\circ}\)
до Крісті, який знаходиться у витоку. Припустимо, Крісті також кидає футбол до Райлі в 65 років.
миль/год під кутом точно\(45^{\circ}\) в той же момент. Існує вітер 6 миль/год на користь Крісті.
13. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання положення кулі Райлі.
14. Напишіть набір параметричних рівнянь для моделювання положення м'яча Крісті.
15. Графік обох функцій і пояснити, як ви знаєте, що футбольні м'ячі не стикаються, навіть якщо два графіки перетинаються.