7.3: Роздільна здатність векторів на компоненти
- Page ID
- 54399
Іноді робота з горизонтальними та вертикальними складовими вектора може бути значно простішою, ніж робота лише з кутом і величиною. Особливо це актуально при об'єднанні декількох сил разом.
Розглянемо чотирьох братів і сестер, які борються за цукерку в чотири способи перетягування каната. Ліні тягне з силою 8 Ib під кутом\(41^{\circ}\). Конні тягне з силою 10 Ib під кутом\(100^{\circ}\). Синтія тягне з силою 12 Ib під кутом\(200^{\circ}\). Скільки сили і в якому напрямку бідний маленький Террі повинен тягнути цукерку, щоб вона не рухалася?
Вектор одиниці та форма компонента
Одиничний вектор - це вектор довжини одиниці. Іноді вам може знадобитися масштабувати вектор у вас вже є таким чином, щоб він мав довжину одного. Якби довжина була п'ять, ви б масштабувати вектор на коефіцієнт\(\frac{1}{5}\) так, що результуючий вектор має величину\(1 .\) Інший спосіб сказати, що одиничний вектор у напрямку\(\vec{v}\) вектора\(\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)
Є два стандартних одиничних вектора, які складають всі інші вектори в координатній площині. Вони є тим\(\vec{i}\), що є вектором\(\vec{j}\),\(<1,0>\) а який є вектором\(<0,1>\). Ці два одиничні вектори перпендикулярні один одному. Лінійна комбінація\(\vec{i}\) і\(\vec{j}\) дозволить вам однозначно описати будь-який інший вектор в координатній площині у вигляді компонента. Наприклад, вектор\(<5,3>\) такий же, як\(5 \vec{i}+3 \vec{j}\).
Часто вектори спочатку описуються як кут і величина, а не у складовій формі. Робота з векторами, написаними як кут і величина, вимагає надзвичайно точних геометричних міркувань і чудових зображень. Однією з переваг переписування векторів в компонентній формі є те, що значна частина цієї роботи спрощена. Пам'ятайте, що складова форма - це форма\(<x, y>\) і для перекладу від величини\(r\) і напрямку\(\theta\) до складової форми використовуйте взаємозв'язок\(<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>\). У цій ситуації\(r\) величина і\(\theta\) є напрямком.
Візьміть площину, яка має підшипник\(60^{\circ}\) і збирається\(350 \mathrm{mph} .\) Щоб знайти складову форму швидкості літака, зверніть увагу, що підшипник\(60^{\circ}\) є таким же, як і\(30^{\circ}\) на одиничному колі. Це відповідає точці\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\), яка така ж, як\((\cos 30, \sin 30)\). При написанні як вектор\(<\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>\) є одиничним вектором,
оскільки він має величину 1. Тепер вам просто потрібно масштабувати на коефіцієнт 350, і ви отримаєте свою відповідь\(<175 \sqrt{3}, 175>\). Таким чином, швидкість літака в складовій формі є\(<175 \sqrt{3}, 175>\). Це те ж саме, що і використання відносин\(<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>\).
Приклади
Раніше вас попросили розглянути чотирьох братів і сестер, які борються за цукерку в чотиристоронньому перетягуванні каната. Ліні тягне з силою 8 Ib під кутом\(41^{\circ}\). Конні тягне з силою 10 Ib під кутом\(100^{\circ}\). Синтія тягне з силою 12 Ib під кутом\(200^{\circ}\). Скільки сили і в якому напрямку бідний маленький Террі повинен тягнути цукерку, щоб вона не рухалася?
Щоб додати три вектори разом, потрібно кілька ітерацій Закону Косинусів. Замість цього запишіть кожен вектор у вигляді компонента і встановіть рівний нульовому вектору, який вказує на те, що цукерка не рухається.
\(\vec{L}+\overrightarrow{C O N}+\overrightarrow{C Y N}+\vec{T}=<0,0>\)
\(\begin{aligned} &<8 \cdot \cos 41^{\circ}, 8 \cdot \sin 41^{\circ}>+<10 \cdot \cos 100^{\circ}, 10 \cdot \sin 100^{\circ}>\\+&<12 \cdot \cos 200^{\circ}, 12 \cdot \sin 200^{\circ}>+\vec{T}=<0,0>\end{aligned}\)
Використовуйте калькулятор, щоб додати всі\(x\) компоненти і привести їх до дальньої сторони і\(y\) компонентів, а потім відніміть з далекої сторони, щоб отримати:
\(\vec{T} \approx<6.98,-10.99>\)
Перетворення цього компонентного вектора в кут і величину дає, наскільки важко і в якому напрямку йому доведеться тягнути. Террі доведеться тягнути з приблизно 13 Ib сили під кутом\(302.4^{\circ}\).
Розглянемо літак, який має підшипник\(60^{\circ}\) і збирається\(350 \mathrm{mph}\). Якщо є вітер, що дме з підшипником,\(300^{\circ}\) при\(45 \mathrm{mph},\) якій складовій формі загальної швидкості літака?
Підшипник\(300^{\circ}\) є таким же, як і\(150^{\circ}\) на одиниці окружності, яка відповідає точці\(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\). Тепер ви можете писати, а потім масштабувати вектор вітру.
\(45 \cdot<-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>=<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>\)
Оскільки і вектор вітру, і вектор швидкості літака записуються в складовій формі, ви можете просто підсумувати їх, щоб знайти компонент вектора загальної швидкості літака.
\(<175 \sqrt{3}, 175>+<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>=<\frac{305 \sqrt{3}}{2}, \frac{395}{2}>\)
Розглянемо площину з прикладу 2 з однаковим вітром і швидкістю. Знайти фактичну швидкість землі і напрямок площини (як підшипник).
Оскільки ви вже знаєте складовий вектор сумарної швидкості літака, то слід пам'ятати, що ці складові являють собою\(x\) відстань і\(y\) відстань і питання задається гіпотенузою.
\(\begin{aligned}\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{395}{2}\right)^{2} &=c^{2} \\ 329.8 & \approx c \end{aligned}\)
Літак подорожує зі швидкістю близько 329,8 миль/год.
Оскільки ви знаєте\(y\) компоненти\(x\) та, ви можете використовувати тангенс, щоб знайти кут. Потім перетворіть цей кут в підшипник.
\(\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{\left(\frac{395}{2}\right)}{\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)} \\ \theta & \approx 36.8^{\circ} \end{aligned}\)
Кут\(36.8^{\circ}\) на одиничній окружності еквівалентний підшипнику\(53.2^{\circ}\).
Зверніть увагу, що ви можете зробити всю проблему в підшипнику, просто перемикаючи синус і косинус, але найкраще по-справжньому зрозуміти, що ви робите на кожному кроці шляху, і це, ймовірно, буде включати завжди повернення до одиниці кола.
Для прикладів 4 і 5 використовуйте наступну інформацію:
\(\vec{v}=<2,-5>, \vec{u}=<-3,2>, \vec{t}=<-4,-3>, \vec{r}=<5, y>\)
\(B=(4,-5), P=(-3,8)\)
Знайти вектори одиниць в тому ж напрямку, що\(\vec{u}\) і\(\vec{t}\).
Щоб знайти одиничний вектор, розділіть кожен вектор на його величину.
\(\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=<\frac{-3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}>, \frac{\vec{t}}{|\vec{t}|}=<\frac{-4}{5}, \frac{-3}{5}>\)
Знайдіть точку на 10 одиниць від\(B\) в сторону\(P\).
Вектор\(\overrightarrow{B P}\) є\(<-7,13>\). Спочатку візьміть одиничний вектор, а потім масштабуйте його так, щоб він мав величину\(10 .\)
\(\begin{aligned} \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-7}{\sqrt{218}}, \frac{13}{\sqrt{218}}>\\ 10 \cdot \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\end{aligned}\)
Ви в кінцевому підсумку з вектором, який становить десять одиниць довжини в правильному напрямку. Питання задається для точки, з\(B\) якої
означає, що вам потрібно додати цей вектор до точки\(B\).
\((4,-5)+<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\approx(-0.74,3.8)\)
Рецензія
Використовуйте наступні визначені вектори та точки для відповіді\(1-8\).
\(\vec{v}=<1,-3>, \vec{u}=<2,5>, \vec{t}=<9,-1>, \vec{r}=<2, y>\)
\(A=(-3,2), B=(5,-2)\)
1. Розв'яжіть для\(y\) у векторі\(\vec{r}\), щоб зробити\(\vec{r}\) перпендикулярно\(\vec{t}\).
2. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os\(\vec{u}\).
3. Знайти вектор одиниці в деякому напрямку як\(\vec{t}\).
4. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os\(\vec{v}\)
5. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os\(\vec{r}\).
6. Знайти точку рівно 3 одиниці owey від\(A\) в напрямку\(B\).
7. Знайдіть точку рівно 6 одиниць, що\(B\) ростуть від в сторону\(A\).
8. Знайти точку рівно 5 одиниць owoy від\(A\) в напрямку\(B\).
9. Джок Сунд Джилл піднявся на пагорб, щоб принести псування вотера. Коли вони піднялися на вершину пагорба, вони дуже спрагли, тому кожен тягнув на відро. Джилл витягнув\(30^{\circ}\) його з силою 20 фунтів. Джок витягнув\(45^{\circ}\) з силою 28 фунтів. Який результуючий вектор для відра?
10. Літак летить на підшипнику\(60^{\circ}\) at\(400 \mathrm{mph}\). Знайдіть складову форму швидкості площини. Про що говорить вам складова форма?
11. Бейсбол кидається\(70^{\circ}\) під кутом з горизонталлю з початковою швидкістю 30 миль/год. Знайдіть складову форму початкової швидкості.
12. Літак летить на підшипнику\(200^{\circ}\) at\(450 \mathrm{mph}\). Знайдіть складову форму швидкості площини.
13. Літак летить на підшипнику зі\(260^{\circ}\) швидкістю 430 миль/год. У той же час виникає вітер, що дме на підшипнику\(30^{\circ}\) в\(60 \mathrm{mph} .\) Що є складовою формою швидкості літака?
14. Використовуйте інформацію з попередньої задачі, щоб знайти реальну швидкість землі і напрямок літака.
15. Вітер дме зі швидкістю 40 миль/год з кутом по\(25^{\circ}\) відношенню до східного. Яка швидкість вітру дме на північ? Яка швидкість вітру дме на схід?