7.3: Роздільна здатність векторів на компоненти

Іноді робота з горизонтальними та вертикальними складовими вектора може бути значно простішою, ніж робота лише з кутом і величиною. Особливо це актуально при об'єднанні декількох сил разом.

Розглянемо чотирьох братів і сестер, які борються за цукерку в чотири способи перетягування каната. Ліні тягне з силою 8 Ib під кутом$41^{\circ}$. Конні тягне з силою 10 Ib під кутом$100^{\circ}$. Синтія тягне з силою 12 Ib під кутом$200^{\circ}$. Скільки сили і в якому напрямку бідний маленький Террі повинен тягнути цукерку, щоб вона не рухалася?

Вектор одиниці та форма компонента

Одиничний вектор - це вектор довжини одиниці. Іноді вам може знадобитися масштабувати вектор у вас вже є таким чином, щоб він мав довжину одного. Якби довжина була п'ять, ви б масштабувати вектор на коефіцієнт$\frac{1}{5}$ так, що результуючий вектор має величину$1 .$ Інший спосіб сказати, що одиничний вектор у напрямку$\vec{v}$ вектора$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Є два стандартних одиничних вектора, які складають всі інші вектори в координатній площині. Вони є тим$\vec{i}$, що є вектором$\vec{j}$,$<1,0>$ а який є вектором$<0,1>$. Ці два одиничні вектори перпендикулярні один одному. Лінійна комбінація$\vec{i}$ і$\vec{j}$ дозволить вам однозначно описати будь-який інший вектор в координатній площині у вигляді компонента. Наприклад, вектор$<5,3>$ такий же, як$5 \vec{i}+3 \vec{j}$.

Часто вектори спочатку описуються як кут і величина, а не у складовій формі. Робота з векторами, написаними як кут і величина, вимагає надзвичайно точних геометричних міркувань і чудових зображень. Однією з переваг переписування векторів в компонентній формі є те, що значна частина цієї роботи спрощена. Пам'ятайте, що складова форма - це форма$<x, y>$ і для перекладу від величини$r$ і напрямку$\theta$ до складової форми використовуйте взаємозв'язок$<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>$. У цій ситуації$r$ величина і$\theta$ є напрямком.

Візьміть площину, яка має підшипник$60^{\circ}$ і збирається$350 \mathrm{mph} .$ Щоб знайти складову форму швидкості літака, зверніть увагу, що підшипник$60^{\circ}$ є таким же, як і$30^{\circ}$ на одиничному колі. Це відповідає точці$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, яка така ж, як$(\cos 30, \sin 30)$. При написанні як вектор$<\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>$ є одиничним вектором,
оскільки він має величину 1. Тепер вам просто потрібно масштабувати на коефіцієнт 350, і ви отримаєте свою відповідь$<175 \sqrt{3}, 175>$. Таким чином, швидкість літака в складовій формі є$<175 \sqrt{3}, 175>$. Це те ж саме, що і використання відносин$<r \cdot \cos \theta, r \cdot \sin \theta>=<x, y>$.

Приклади

Приклад 1

Раніше вас попросили розглянути чотирьох братів і сестер, які борються за цукерку в чотиристоронньому перетягуванні каната. Ліні тягне з силою 8 Ib під кутом$41^{\circ}$. Конні тягне з силою 10 Ib під кутом$100^{\circ}$. Синтія тягне з силою 12 Ib під кутом$200^{\circ}$. Скільки сили і в якому напрямку бідний маленький Террі повинен тягнути цукерку, щоб вона не рухалася?

Щоб додати три вектори разом, потрібно кілька ітерацій Закону Косинусів. Замість цього запишіть кожен вектор у вигляді компонента і встановіть рівний нульовому вектору, який вказує на те, що цукерка не рухається.

$\vec{L}+\overrightarrow{C O N}+\overrightarrow{C Y N}+\vec{T}=<0,0>$

$\begin{aligned} &<8 \cdot \cos 41^{\circ}, 8 \cdot \sin 41^{\circ}>+<10 \cdot \cos 100^{\circ}, 10 \cdot \sin 100^{\circ}>\\+&<12 \cdot \cos 200^{\circ}, 12 \cdot \sin 200^{\circ}>+\vec{T}=<0,0>\end{aligned}$

Використовуйте калькулятор, щоб додати всі$x$ компоненти і привести їх до дальньої сторони і$y$ компонентів, а потім відніміть з далекої сторони, щоб отримати:

$\vec{T} \approx<6.98,-10.99>$

Перетворення цього компонентного вектора в кут і величину дає, наскільки важко і в якому напрямку йому доведеться тягнути. Террі доведеться тягнути з приблизно 13 Ib сили під кутом$302.4^{\circ}$.

Приклад 2

Розглянемо літак, який має підшипник$60^{\circ}$ і збирається$350 \mathrm{mph}$. Якщо є вітер, що дме з підшипником,$300^{\circ}$ при$45 \mathrm{mph},$ якій складовій формі загальної швидкості літака?

Підшипник$300^{\circ}$ є таким же, як і$150^{\circ}$ на одиниці окружності, яка відповідає точці$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Тепер ви можете писати, а потім масштабувати вектор вітру.

$45 \cdot<-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}>=<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>$

Оскільки і вектор вітру, і вектор швидкості літака записуються в складовій формі, ви можете просто підсумувати їх, щоб знайти компонент вектора загальної швидкості літака.

$<175 \sqrt{3}, 175>+<-\frac{45 \sqrt{3}}{2}, \frac{45}{2}>=<\frac{305 \sqrt{3}}{2}, \frac{395}{2}>$

Приклад 3

Розглянемо площину з прикладу 2 з однаковим вітром і швидкістю. Знайти фактичну швидкість землі і напрямок площини (як підшипник).

Оскільки ви вже знаєте складовий вектор сумарної швидкості літака, то слід пам'ятати, що ці складові являють собою$x$ відстань і$y$ відстань і питання задається гіпотенузою.

$\begin{aligned}\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{395}{2}\right)^{2} &=c^{2} \\ 329.8 & \approx c \end{aligned}$

Літак подорожує зі швидкістю близько 329,8 миль/год.

Оскільки ви знаєте$y$ компоненти$x$ та, ви можете використовувати тангенс, щоб знайти кут. Потім перетворіть цей кут в підшипник.

$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{\left(\frac{395}{2}\right)}{\left(\frac{305 \sqrt{3}}{2}\right)} \\ \theta & \approx 36.8^{\circ} \end{aligned}$

Кут$36.8^{\circ}$ на одиничній окружності еквівалентний підшипнику$53.2^{\circ}$.

Зверніть увагу, що ви можете зробити всю проблему в підшипнику, просто перемикаючи синус і косинус, але найкраще по-справжньому зрозуміти, що ви робите на кожному кроці шляху, і це, ймовірно, буде включати завжди повернення до одиниці кола.

Для прикладів 4 і 5 використовуйте наступну інформацію:

$\vec{v}=<2,-5>, \vec{u}=<-3,2>, \vec{t}=<-4,-3>, \vec{r}=<5, y>$
$B=(4,-5), P=(-3,8)$

Приклад 4

Знайти вектори одиниць в тому ж напрямку, що$\vec{u}$ і$\vec{t}$.

Щоб знайти одиничний вектор, розділіть кожен вектор на його величину.

$\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}=<\frac{-3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}}>, \frac{\vec{t}}{|\vec{t}|}=<\frac{-4}{5}, \frac{-3}{5}>$

Приклад 5

Знайдіть точку на 10 одиниць від$B$ в сторону$P$.

Вектор$\overrightarrow{B P}$ є$<-7,13>$. Спочатку візьміть одиничний вектор, а потім масштабуйте його так, щоб він мав величину$10 .$

$\begin{aligned} \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-7}{\sqrt{218}}, \frac{13}{\sqrt{218}}>\\ 10 \cdot \frac{B P}{|B P|} &=<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\end{aligned}$

Ви в кінцевому підсумку з вектором, який становить десять одиниць довжини в правильному напрямку. Питання задається для точки, з$B$ якої
означає, що вам потрібно додати цей вектор до точки$B$.

$(4,-5)+<\frac{-70}{\sqrt{218}}, \frac{130}{\sqrt{218}}>\approx(-0.74,3.8)$

Рецензія

Використовуйте наступні визначені вектори та точки для відповіді$1-8$.

$\vec{v}=<1,-3>, \vec{u}=<2,5>, \vec{t}=<9,-1>, \vec{r}=<2, y>$

$A=(-3,2), B=(5,-2)$

1. Розв'яжіть для$y$ у векторі$\vec{r}$, щоб зробити$\vec{r}$ перпендикулярно$\vec{t}$.

2. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os$\vec{u}$.

3. Знайти вектор одиниці в деякому напрямку як$\vec{t}$.

4. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os$\vec{v}$

5. Знайти вектор одиниці виміру в деякому напрямку os$\vec{r}$.

6. Знайти точку рівно 3 одиниці owey від$A$ в напрямку$B$.

7. Знайдіть точку рівно 6 одиниць, що$B$ ростуть від в сторону$A$.

8. Знайти точку рівно 5 одиниць owoy від$A$ в напрямку$B$.

9. Джок Сунд Джилл піднявся на пагорб, щоб принести псування вотера. Коли вони піднялися на вершину пагорба, вони дуже спрагли, тому кожен тягнув на відро. Джилл витягнув$30^{\circ}$ його з силою 20 фунтів. Джок витягнув$45^{\circ}$ з силою 28 фунтів. Який результуючий вектор для відра?

10. Літак летить на підшипнику$60^{\circ}$ at$400 \mathrm{mph}$. Знайдіть складову форму швидкості площини. Про що говорить вам складова форма?
11. Бейсбол кидається$70^{\circ}$ під кутом з горизонталлю з початковою швидкістю 30 миль/год. Знайдіть складову форму початкової швидкості.
12. Літак летить на підшипнику$200^{\circ}$ at$450 \mathrm{mph}$. Знайдіть складову форму швидкості площини.

13. Літак летить на підшипнику зі$260^{\circ}$ швидкістю 430 миль/год. У той же час виникає вітер, що дме на підшипнику$30^{\circ}$ в$60 \mathrm{mph} .$ Що є складовою формою швидкості літака?

14. Використовуйте інформацію з попередньої задачі, щоб знайти реальну швидкість землі і напрямок літака.

15. Вітер дме зі швидкістю 40 миль/год з кутом по$25^{\circ}$ відношенню до східного. Яка швидкість вітру дме на північ? Яка швидкість вітру дме на схід?