7.2: Операції з векторами

Коли дві або більше сил діють на один і той же об'єкт, вони об'єднуються для створення нової сили. Птах, що летить через південь на 10 миль на годину при зустрічному вітрі 2 милі на годину лише просувається зі швидкістю 8 миль на годину. Ці сили безпосередньо протистоять один одному. У реальному житті більшість сил не паралельні. Що станеться, коли зустрічний вітер також має легкий боковий вітер, дме північно-східний схід зі швидкістю 2 милі на годину. Як далеко забирається птах за одну годину?

Основні векторні операції

Скалярне множення означає множення вектора на число. При цьому змінюється величина вектора, але не його напрямок. Якщо$\vec{v}=<3,4>,$ тоді$2 \vec{v}=<6,8>.$ скалярне множення досить просте.

Додавання і віднімання векторів трохи складніше. При додаванні векторів розташуйте хвіст одного вектора на голові іншого. Це називається правилом «хвіст до голови». Вектор, який утворюється шляхом з'єднання хвоста першого вектора з головою другого, називається результуючим вектором.

Векторне віднімання змінює напрямок другого вектора. $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

Додавання векторів може здійснюватися в будь-якому порядку (так само, як і зі звичайними числами). Віднімання векторів потрібно робити в
певному порядку, інакше вектор буде від'ємним (так само, як і при звичайних числах).

Щоб знайти довжину або величину результуючого вектора, можна скористатися законом косинусів. Для цього також потрібно знати кут між двома векторами. Скажімо, вам дали два вектори$\vec{a}$ і$\vec{b}$, мають величини 5 і 9 відповідно, і що кут між векторами є$53^{\circ}$. Щоб знайти величину$\vec{a}+\vec{b}$, яка пишеться як$|\vec{a}+\vec{b}|,$ зауважте, що у вас є паралелограм.

Для того щоб оштрафувати величину отриманого вектора червоним кольором, зверніть увагу, що трикутник внизу має сторони 9 і 5 з включеним кутом$127^{\circ}$ завдяки властивостям паралелограмів. І, таким чином застосовуючи Закон косинусів, ви отримуєте:

$\begin{aligned} x^{2} &=9^{2}+5^{2}-2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos 127^{\circ} \\ x & \approx 12.66 \end{aligned}$

У цьому відео зосередьтеся на скалярному множенні та додаванні та відніманні векторів:

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали про те, як швидко літає птах. Птах, що летить на південь зі швидкістю 10 миль на годину з поперечним зустрічним вітром 2 милі/год, що прямує NE, матиме діаграму сили, яка виглядає так:

Кут між вектором птаха та вектором вітру - це означає,$45^{\circ}$ що це ідеальна ситуація для Закону
косинусів. Нехай$x=$ червоний вектор.

$\begin{aligned} x^{2} &=10^{2}+2^{2}-2 \cdot 10 \cdot 2 \cdot \cos 45^{\circ} \\ x & \approx 8.7 \end{aligned}$

Птах злегка здувається з колії і проїжджає всього близько 8,7 миль за одну годину.

Приклад 2

Використовуючи вектори з величиною 5 та 9 та кутом$53^{\circ}$ від основного перерізу, який кут$\vec{a}+\vec{b}$ складає сума з$\vec{a} ?$

Почніть з малювання хорошої картини та маркування того, що ви знаєте. $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=9,|\vec{a}+\vec{b}| \approx 12.66$. так як ви знаєте три сторони трикутника і вам потрібно знайти один кут, це SSS-застосування Закону косинусів.

$\begin{aligned} 9^{2} &=12.66^{2}+5^{2}-2 \cdot 12.66 \cdot 5 \cdot \cos \theta \\ \theta &=34.6^{\circ} \end{aligned}$

Приклад 3

Елейн розпочала бізнес по вигулу собак. Вона вигулює двох собак одночасно на ім'я Елвіс і Рубі. Вони кожен тягнуть її в різні боки під$45^{\circ}$ кутом з різною силою. Елвіс тягне з силою$25 \mathrm{~N}$ і Рубі тягне з силою$49 N$. Наскільки важко Елейн потрібно тягнути, щоб вона могла залишатися врівноваженою? Зверніть увагу, що$\mathrm{N}$ розшифровується як Ньютон, який є стандартною одиницею сили.

Незважаючи на те, що два вектори зосереджені на Елейн, сили додаються, що означає, що вам потрібно використовувати правило «хвіст до голови», щоб додати вектори разом. Пошук кута між кожним компонентним вектором вимагає логічного використання додаткових кутів.

$\begin{aligned} x^{2} &=49^{2}+25^{2}-2 \cdot 49 \cdot 25 \cdot \cos 135^{\circ} \\ x & \approx 68.98 \mathrm{~N} \end{aligned}$

Для того щоб Елейн залишалася врівноваженою, їй потрібно буде протидіяти цій силі еквівалентною власною силою в прямо протилежному напрямку.

Приклад 4

Розглянемо вектор$\vec{v}=<2,5>$ і вектор$\vec{u}=<-1,9>$. Визначити складову форму можна за наступними даними:$3 \vec{v}-2 \vec{u}$

Виконайте множення спочатку для кожного члена, а потім векторне віднімання.

$\begin{aligned} 3 \cdot \vec{v}-2 \cdot \vec{u} &=3 \cdot<2,5>-2 \cdot<-1,9>\\ &=<6,15>-<-2,18>\\ &=<8,-3>\end{aligned}$

Приклад 5

Літак летить на підшипнику$270^{\circ}$ at$400 \mathrm{mph}$. Вітер дме через південь в$30 \mathrm{mph}$. Чи впливає цей поперечний вітер на швидкість літака?

Оскільки поперечний вітер перпендикулярний площині, він штовхає площину на південь, коли літак намагається йти прямо на схід. В результаті літак все ще має швидкість повітря 400 миль/год, але швидкість землі (справжня швидкість) повинна бути розрахована.

$\begin{aligned} 400^{2}+30^{2} &=x^{2} \\ x & \approx 401 \end{aligned}$

Рецензія

Розглянемо вектор$\vec{v}=<1,3>$ і вектор$\vec{u}=<-2,4>$

1. Визначте складову форму$5 \vec{v}-2 \vec{u}$.

2. Визначте складову форму$-2 \vec{v}+4 \vec{u}$.

3. Визначте складову форму$6 \vec{v}+\vec{u}$.

4. Визначте складову форму$3 \vec{v}-6 \vec{u}$.

5. Знайдіть величину результуючого вектора з #1.

6. Знайти величину результуючого вектора з # 2.

7. Знайти величину результуючого вектора від$\# 3$.

8. Знайдіть величину результуючого вектора з #4.

9. Вектор$<3,4>$ починається з початку. Яке напрямок вектора?

10. Вектор$<-1,2>$ починається з початку. Яке напрямок вектора?

11. Вектор$<3,-4>$ починається з початку. Яке напрямок вектора?

12. Птах летить на південь на 8 миль на годину з поперечним зустрічним вітром дме на схід зі швидкістю 15 миль на годину. Як далеко забирається птах за одну годину?

13. В якому напрямку птах в попередній задачі насправді рухається?

14. Футбол кидається зі швидкістю 50 миль на годину через північ. Існує вітер, що дме на схід зі швидкістю 8 миль на годину. Яка реальна швидкість футболу?

15. В якому напрямку насправді рухається футбол в попередній проблемі?