7.1: Основні властивості векторів

Літак, що відштовхується від курсу вітром і рух плавця через рухому річку обидва приклади векторів в дії. Точки в координатній площині описують розташування. Вектори, з іншого боку, не мають місця розташування і вказують лише напрямок та величину. Вектори можуть описувати силу сил, таких як гравітація або швидкість і напрямок корабля в море. Вектори надзвичайно корисні при моделюванні складних ситуацій в реальному світі.

Які ще відмінності між векторами і точками?

Властивості векторів

Двовимірний вектор зображений графічно у вигляді стрілки з хвостом і головою. Головка є стрілкою і ще називається кінцевою точкою. При знаходженні вектора між двома точками почніть з кінцевої точки і відніміть початкову точку (хвіст).

Дві визначальні характеристики вектора - це його величина та напрямок. Величина відображається графічно довжиною стрілки, а напрямок позначається кутом, на який спрямована стрілка. Зверніть увагу, як наступний вектор відображається кілька разів на одній координатній площині. Це підкреслює, що розташування на координатній площині не має значення і не є унікальним. Кожне представлення вектора має однаковий напрямок і величину.

Одним із способів визначення вектора є відрізок лінії з напрямком. Вектори, як кажуть, рівні, якщо вони мають однакову величину і однаковий напрямок. Абсолютне значення вектора збігається з довжиною відрізка лінії або величиною вектора. Величину можна знайти за допомогою теореми Піфагора або формули відстані.

Існує кілька різних способів написання вектора$v$.

$v, \vec{v}, \vec{v},$або$v$ з$\sim$ нижнім

Коли ви пишете про вектори алгебраїчно, є кілька способів опису конкретного вектора. По-перше, ви можете описати його величину і кут як$r, \theta$. По-друге, ви можете описати його як впорядковану пару:$<x, y>$. Зверніть увагу, що при обговоренні векторів слід використовувати дужки$<>$ замість дужок, оскільки це допомагає уникнути плутанини між вектором і точкою. Вектори можуть бути багатовимірними.

Вектори часто використовуються для опису руху об'єктів. Щоб описати рух судна, який їде NNW на 17 вузлів (морський$\mathrm{mph}$) як вектор, зверніть увагу, що NNW знаходиться на півдорозі між$\mathrm{NW}$ і$\mathrm{N}$. При описі кораблів в морі найкраще використовувати підшипник, який має$0^{\circ}$ як через північ,$270^{\circ}$ так і як через захід. Це робить NW рівним$315^{\circ}$ і NNW рівним$337.5^{\circ}$.

Коли ви бачите цю картинку, вона перетворюється на основне питання трига, щоб знайти$x$ і$y$ компоненти вектора. Зверніть увагу, що опорний кут, який вектор робить з від'ємною частиною$x$ осі, дорівнює$67.5^{\circ}$

$\sin 67.5^{\circ}=\frac{y}{17}, \cos 67.5^{\circ}=\frac{x}{17}$
$<x, y>\approx<-6.5,15.7>$

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, які відмінності між точками і векторами. Існує багато відмінностей між точками і векторами. Точки - це місця, а вектори складаються з відстані та кутів. Дужки використовуються для точок і$\langle>$ використовуються для векторів. Одне співвідношення між векторами і точками полягає в тому, що точка плюс вектор дасть нову точку. Це так, ніби є вихідне місце, а потім вектор говорить вам, куди йти з цієї точки. Без вихідної точки вектор міг би починатися з будь-якого місця.

Приклад 2

Розглянемо пункти:$A(1,3), B(-4,-6), C(5,-13)$. Знайти вектори в складовій формі$\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B A}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B}$

Пам'ятайте, що при знаходженні вектора між двома точками почніть з кінцевої точки і відніміть початкову точку.

$\overrightarrow{A B}=<-5,-9>$
$\overrightarrow{B A}=<5,9>$
$\overrightarrow{A C}=<4,-16>$
$\overrightarrow{C B}=<-9,7>$

Приклад 3

Батько тягне дочку на пагорб. Пагорб має$20^{\circ}$ ухил. Дочка на санках, яка сидить на землі і має мотузку, яку батько тягне, коли ходить. Мотузку роблять$39^{\circ}$ кут з ухилом. Діаграма сили - це сукупність векторів, кожен з яких представляє таку силу, як гравітація або вітер, що діє на об'єкт. Намалюйте схему сили, яка показує, як ці сили діють на центр ваги дочки:

а. сила тяжіння.
б. сила, що тримає дочку в санях до землі.
c Сила тягне дочку назад вниз по схилу.
d Сила батька тягне дочку вгору по схилу.

Центр ваги дівчини представлений чорною крапкою. Сила тяжіння - чорна стрілка прямо вниз. Зелена стрілка - ефект гравітації тягне дівчину вниз по схилу. Червона стрілка - ефект гравітації, що тягне дівчину прямо в схил. Синя стрілка являє собою силу, яку докладає батько, коли він тягне дівчину в гору.

Зверніть увагу, що вектор сили батька (синій) довший, ніж сила, яка тягне дівчинку вниз з пагорба. Це означає, що з часом вони зроблять прогрес і піднімуться на пагорб. Також зверніть увагу, що батько витрачає частину своєї енергії на підйом, а не просто тягне. Якби він міг тягнути під кутом прямо протилежну силу тягне дівчину з пагорба, то він би ефективно використовував всю свою енергію.

Приклад 4

Центруйте діаграму сили з попереднього питання в початок і визначте кут між кожним послідовним вектором сили.

$y$Вісь$x$ і включені як посилання і зверніть увагу, що вектор сили тяжіння перекривається з негативною$y$ віссю. Для того, щоб знайти кожен кут, ви повинні використовувати свої знання про додаткові, додаткові та вертикальні кути та всі підказки з питання. Щоб перевірити, чи всі кути підсумовуються$360^{\circ}$.

Приклад 5

З огляду на наступні вектори і точку, обчислити суму.

\ (
\ begin {масив} {l}
A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>\\
A+\ vec {v} +\ vec {u} =? \\
A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>. A+\ vec {v} +\ vec {u} = (4,6)
\ end {масив}
\)

Рецензія

1. Опишіть, що таке вектор, і наведіть реальний приклад чогось, що вектор міг би моделювати.

Розглянемо пункти:$A(3,5), B(-2,-4), C(1,-12), D(-5,7)$. Знайти вектори в складовій формі:

2. $\overrightarrow{A B}$

3. $\overrightarrow{B A}$

4. $\overrightarrow{A C}$

5. $\cdot \overrightarrow{C B}$

6. $\cdot \overrightarrow{A D}$

7. $\overrightarrow{D A}$

8. Що таке$C+\overline{C B}$? Обчисліть це алгебраїчно і опишіть, чому відповідь має сенс.

9. Використовуйте свою відповідь на попередню проблему, щоб допомогти вам визначити,$D+\overrightarrow{D A}$ не роблячи жодної алгебри.

10. Судно їде SSW на 13 вузлів. Опишіть рух цього корабля в векторі.

11. Вектор, який описує рух кораблів, є$<5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}>$. В якому напрямку рухається корабель і яка його швидкість в вузлах?

Для кожного з наступних векторів намалюйте вектор на координатній площині, що починається з початку, і знайдіть його величину.

12. $<3,7>$

13. $<-3,4>$

14. $<-5,10>$

15. $<6,-8>$