7.1: Основні властивості векторів
- Page ID
- 54398
Літак, що відштовхується від курсу вітром і рух плавця через рухому річку обидва приклади векторів в дії. Точки в координатній площині описують розташування. Вектори, з іншого боку, не мають місця розташування і вказують лише напрямок та величину. Вектори можуть описувати силу сил, таких як гравітація або швидкість і напрямок корабля в море. Вектори надзвичайно корисні при моделюванні складних ситуацій в реальному світі.
Які ще відмінності між векторами і точками?
Властивості векторів
Двовимірний вектор зображений графічно у вигляді стрілки з хвостом і головою. Головка є стрілкою і ще називається кінцевою точкою. При знаходженні вектора між двома точками почніть з кінцевої точки і відніміть початкову точку (хвіст).
Дві визначальні характеристики вектора - це його величина та напрямок. Величина відображається графічно довжиною стрілки, а напрямок позначається кутом, на який спрямована стрілка. Зверніть увагу, як наступний вектор відображається кілька разів на одній координатній площині. Це підкреслює, що розташування на координатній площині не має значення і не є унікальним. Кожне представлення вектора має однаковий напрямок і величину.
Одним із способів визначення вектора є відрізок лінії з напрямком. Вектори, як кажуть, рівні, якщо вони мають однакову величину і однаковий напрямок. Абсолютне значення вектора збігається з довжиною відрізка лінії або величиною вектора. Величину можна знайти за допомогою теореми Піфагора або формули відстані.
Існує кілька різних способів написання вектора\(v\).
\(v, \vec{v}, \vec{v},\)або\(v\) з\(\sim\) нижнім
Коли ви пишете про вектори алгебраїчно, є кілька способів опису конкретного вектора. По-перше, ви можете описати його величину і кут як\(r, \theta\). По-друге, ви можете описати його як впорядковану пару:\(<x, y>\). Зверніть увагу, що при обговоренні векторів слід використовувати дужки\(<>\) замість дужок, оскільки це допомагає уникнути плутанини між вектором і точкою. Вектори можуть бути багатовимірними.
Вектори часто використовуються для опису руху об'єктів. Щоб описати рух судна, який їде NNW на 17 вузлів (морський\(\mathrm{mph}\)) як вектор, зверніть увагу, що NNW знаходиться на півдорозі між\(\mathrm{NW}\) і\(\mathrm{N}\). При описі кораблів в морі найкраще використовувати підшипник, який має\(0^{\circ}\) як через північ,\(270^{\circ}\) так і як через захід. Це робить NW рівним\(315^{\circ}\) і NNW рівним\(337.5^{\circ}\).
Коли ви бачите цю картинку, вона перетворюється на основне питання трига, щоб знайти\(x\) і\(y\) компоненти вектора. Зверніть увагу, що опорний кут, який вектор робить з від'ємною частиною\(x\) осі, дорівнює\(67.5^{\circ}\)
\(\sin 67.5^{\circ}=\frac{y}{17}, \cos 67.5^{\circ}=\frac{x}{17}\)
\(<x, y>\approx<-6.5,15.7>\)
Приклади
Раніше вас запитали, які відмінності між точками і векторами. Існує багато відмінностей між точками і векторами. Точки - це місця, а вектори складаються з відстані та кутів. Дужки використовуються для точок і\(\langle>\) використовуються для векторів. Одне співвідношення між векторами і точками полягає в тому, що точка плюс вектор дасть нову точку. Це так, ніби є вихідне місце, а потім вектор говорить вам, куди йти з цієї точки. Без вихідної точки вектор міг би починатися з будь-якого місця.
Розглянемо пункти:\(A(1,3), B(-4,-6), C(5,-13)\). Знайти вектори в складовій формі\(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B A}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{C B}\)
Пам'ятайте, що при знаходженні вектора між двома точками почніть з кінцевої точки і відніміть початкову точку.
\(\overrightarrow{A B}=<-5,-9>\)
\(\overrightarrow{B A}=<5,9>\)
\(\overrightarrow{A C}=<4,-16>\)
\(\overrightarrow{C B}=<-9,7>\)
Батько тягне дочку на пагорб. Пагорб має\(20^{\circ}\) ухил. Дочка на санках, яка сидить на землі і має мотузку, яку батько тягне, коли ходить. Мотузку роблять\(39^{\circ}\) кут з ухилом. Діаграма сили - це сукупність векторів, кожен з яких представляє таку силу, як гравітація або вітер, що діє на об'єкт. Намалюйте схему сили, яка показує, як ці сили діють на центр ваги дочки:
а. сила тяжіння.
б. сила, що тримає дочку в санях до землі.
c Сила тягне дочку назад вниз по схилу.
d Сила батька тягне дочку вгору по схилу.
Центр ваги дівчини представлений чорною крапкою. Сила тяжіння - чорна стрілка прямо вниз. Зелена стрілка - ефект гравітації тягне дівчину вниз по схилу. Червона стрілка - ефект гравітації, що тягне дівчину прямо в схил. Синя стрілка являє собою силу, яку докладає батько, коли він тягне дівчину в гору.
Зверніть увагу, що вектор сили батька (синій) довший, ніж сила, яка тягне дівчинку вниз з пагорба. Це означає, що з часом вони зроблять прогрес і піднімуться на пагорб. Також зверніть увагу, що батько витрачає частину своєї енергії на підйом, а не просто тягне. Якби він міг тягнути під кутом прямо протилежну силу тягне дівчину з пагорба, то він би ефективно використовував всю свою енергію.
Центруйте діаграму сили з попереднього питання в початок і визначте кут між кожним послідовним вектором сили.
\(y\)Вісь\(x\) і включені як посилання і зверніть увагу, що вектор сили тяжіння перекривається з негативною\(y\) віссю. Для того, щоб знайти кожен кут, ви повинні використовувати свої знання про додаткові, додаткові та вертикальні кути та всі підказки з питання. Щоб перевірити, чи всі кути підсумовуються\(360^{\circ}\).
З огляду на наступні вектори і точку, обчислити суму.
\ (
\ begin {масив} {l}
A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>\\
A+\ vec {v} +\ vec {u} =? \\
A =( 1,3),\ vec {v} =<4,8>,\ vec {u} =<-1, -5>. A+\ vec {v} +\ vec {u} = (4,6)
\ end {масив}
\)
Рецензія
1. Опишіть, що таке вектор, і наведіть реальний приклад чогось, що вектор міг би моделювати.
Розглянемо пункти:\(A(3,5), B(-2,-4), C(1,-12), D(-5,7)\). Знайти вектори в складовій формі:
2. \(\overrightarrow{A B}\)
3. \(\overrightarrow{B A}\)
4. \(\overrightarrow{A C}\)
5. \(\cdot \overrightarrow{C B}\)
6. \(\cdot \overrightarrow{A D}\)
7. \(\overrightarrow{D A}\)
8. Що таке\(C+\overline{C B}\)? Обчисліть це алгебраїчно і опишіть, чому відповідь має сенс.
9. Використовуйте свою відповідь на попередню проблему, щоб допомогти вам визначити,\(D+\overrightarrow{D A}\) не роблячи жодної алгебри.
10. Судно їде SSW на 13 вузлів. Опишіть рух цього корабля в векторі.
11. Вектор, який описує рух кораблів, є\(<5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}>\). В якому напрямку рухається корабель і яка його швидкість в вузлах?
Для кожного з наступних векторів намалюйте вектор на координатній площині, що починається з початку, і знайдіть його величину.
12. \(<3,7>\)
13. \(<-3,4>\)
14. \(<-5,10>\)
15. \(<6,-8>\)