Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.2: Правила диференціації сум та різниць

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54318

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Виходячи з ваших знань граничного визначення похідної функції та властивостей меж, розглянутих у попередній концепції, чи можете ви зробити прогноз в цей час, як слід визначити похідну від суми або різниці двох функцій?

    Диференціація сум і різниць

    Ось правила диференціації суми та різниці двох функцій:

    \[\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]= \frac{d}{dx}[f(x)]+ \frac{d}{dx}ddx[g(x) \nonumber\]

    і

    \[\frac{d}{dx}[f(x)−g(x)]=\frac{d}{dx}[f(x)]−\frac{d}{dx}[g(x)] \nonumber\]

    У простіших позначеннях\[(f±g)′=f′±g′ \nonumber\]

    Використання граничних властивостей попередніх розділів повинно дозволити вам з'ясувати, чому застосовуються ці правила диференціації.

    Часто потрібно застосувати кілька правил, щоб знайти похідну від функції. Щоб знайти похідну f (x) =3x 2 +2x, потрібно застосувати формулу суми похідних і правило потужності:

    \[\frac{d}{dx}3x^2+2x]=\frac{d}{dx}[3x^2]+\frac{d}{dx}[2x] \nonumber\]

    =\[3 \frac{d}{dx}[x^2]+2 \frac{d}{dx}[x] \nonumber\]

    =\[3[2x]+2[1] \nonumber\]

    =\[6x+2 \nonumber\]

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас просили зробити прогноз на суму і відмінності похідних.

    У попередній концепції ви дізналися, що якщо обмеження існують:

    \[ \displaystyle \lim_{x \to a} [f(x)±g(x)] = \lim_{x \to a} f(x)± \lim_{x \to a} g(x), \nonumber\]

    Оскільки похідна функції визначається межею, ddx [f (x) ± g (x)] буде визначено межею, застосованою до [f (x) ± g (x)]. Опрацюйте деталі, щоб побачити, що вищевказані правила мають сенс.

    Приклад 2

    Задано: t (x) = x−1, що таке dt/dx, коли x = 0

    За правилом різниці:

    \[ (x−1)′=(x)′−(1)′=0 \nonumber\]

    \[x′=1 \nonumber\]... За правилом влади

    \[1′=0 \nonumber\]... Похідна константи = 0

    Таким чином, коли ми оцінюємо це в х = 0, ми отримуємо 1, так як\[1−0=1 \nonumber\]

    Приклад 3

    Знайдіть похідну:\[ f(x)=x^3−5x^2 \nonumber\]

    Скористайтеся правилами різниці та харчування, щоб допомогти:

    \[ \frac{d}{dx}[x^3−5x^2]=\frac{d}{dx}[x^3]−5\frac{d}{dx}[x^2] \nonumber\]

    \[ =3x^2−5[2x] \nonumber\]

    \[ =3x^2−10x \nonumber\]

    Приклад 4

    Враховуючи\[ a(x)=−\pi x^{−0.54}+6x^4 \nonumber\] Що таке\[\frac{d}{dx}a(x)? \nonumber\]

    Ми будемо використовувати правила суми і потужності:

    \[ \frac{d}{dx}(−\pi x^{−0.54}+6x^4)=\frac{d}{dx}(−\pi x^{−0.54}+\frac{d}{dx}(6x^4) \nonumber\]... За правилом суми

    \[= -\pi \frac{d}{dx}(x^{−0.54})+6 \frac{d}{dx}(x^4) \nonumber\]... За константою - функцією Правило продукту

    \[=0.54 \pi x^{−1.54}+24x^3 \nonumber\]... За правилом влади

    Рецензія

    Для #1 -7 знайдіть похідну за допомогою правила сума/різниці

    1. \[y=\frac{1}{2}\left(x^{3}-2 x^{2}+1\right)\nonumber\]
    2. \[y=\sqrt{2} x^{3}-\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}+2 x+\sqrt{2}\nonumber\]
    3. \[y=a^{2}-b^{2}+x^{2}-a-b+x\nonumber\](де $a, b$ - константи)
    4. \[y=x^{-3}+\frac{1}{x^{7}}\nonumber\]
    5. \[y=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\nonumber\]
    6. \[f(x)=(-3 x+4)^{2}\nonumber\]
    7. \[f(x)=-0.93 x^{10}+\left(\pi^{3} x\right)^{\frac{-5}{12}}\nonumber\]
    8. Що таке\[\frac{d}{d x}(2 x+1)^{2} ?\nonumber\]
    9. Дано:\[a(x)=(-5 x+3)^{2}\nonumber\] Що таке\[\frac{d y}{d x} ?\nonumber\]
    10. \[v(x)=-3 x^{3}+5 x^{2}-2 x-3\nonumber\]Що таке\[v^{\prime}(0) ?\nonumber\]
    11. \[f(x)=2 x^{2}+3 x+1 .\nonumber\]Знайти\[f^{\prime}(x)\nonumber\]
    12. \[f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x} .\nonumber\]Знайти\[f^{\prime}(1)\nonumber\]
    13. \[y=(x+1)(x+2) \cdot\nonumber\]Оцініть\[\frac{d y}{d x}\nonumber\] в\[x=-\frac{1}{2}\nonumber\]
    14. \[f(x)=2 a x^{3}+x^{2} ; f^{\prime}(-2)=0 \nonumber\]Знайти
    15. \[f(x)=a\left(x^{2}-5\right) ;\nonumber\]знайти так, щоб\[f^{\prime \prime}(5)=20\nonumber\]

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.5.

    Лексика

    Термін Визначення
    похідний Похідною функції є нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), dydx, y′, dfdx і\ frac {df (x)} {dx}.
    диференційований Диференційована функція - це функція, яка має похідну, яку можна обчислити.

    Додаткові ресурси

    Відео: Правило продукту

    Практика: Правила диференціації сум та різниць