Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Середні та миттєві темпи змін

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    54362

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ви можете згадати історію про Джима та його подругу Бекку з уроку про розуміння меж. Двоє з них обговорювали, як вони можуть обчислити її швидкість в той момент, коли Джим знімав її фотографію. Кінцевим результатом обговорення стала Бекка, яка вказує на те, що технічно неможливо обчислити точну швидкість чогось у конкретну мить.

    До теперішнього часу ми вивчили пов'язані поняття меж і ліній, дотичних до кривої, тому ми знаємо, що можна ефективно обчислити миттєву швидкість. Який процес буде пов'язаний з фактично обчисленням швидкості Бекки в той момент, коли було зроблено фотографію? Які технічні труднощі з визначенням миттєвої швидкості?

    Миттєві темпи змін

    Функція f′ (x), яку ми визначили на попередніх уроках, настільки важлива, що має свою назву: похідна.

    Похідне
    Функція f 'визначається за формулою
    Знімок екрана 2020-09-28 о 12.31.54 PM.png
    де f 'називається похідною f по відношенню до x. Домен f складається з усіх значень x, для яких існує межа.

    Виходячи з обговорення, яке ми мали в попередньому розділі, похідна f′ являє собою нахил дотичної лінії в точці x. Іншим способом інтерпретації було б те, що функція y = f (x) має похідну f′, значення якої при x - миттєва швидкість зміни y з по відношенню до точки x.

    Одне з двох первинних понять числення передбачає обчислення швидкості зміни однієї величини щодо іншої. Наприклад, швидкість визначається як швидкість переміщення по відношенню до часу. Якщо людина проїжджає 120 миль за 4 години, його швидкість становить 120/4 = 30 милі/год. Цю швидкість називають середньою швидкістю або середньою швидкістю зміни відстані по відношенню до часу. Звичайно, людина, яка подорожує 120 миль зі швидкістю 30 милі/год протягом 4 годин, ймовірно, не робить цього постійно. Хоча він, ймовірно, сповільнився або прискорився протягом 4-годинного періоду, загалом достатньо сказати, що він подорожував протягом 4 годин із середньою швидкістю 30 миль на годину. Однак, якщо водій вдарить по дереву, не його середня швидкість визначає його виживання, а швидкість в момент зіткнення. Аналогічно, коли куля вражає ціль, значною є не середня швидкість, а миттєва швидкість в момент удару. Отже, тут у нас є різні види швидкостей, середня швидкість і миттєва швидкість.

    Середня швидкість об'єкта визначається як зміщення об'єкта ∆x, поділене на проміжок часу, протягом якого відбувається зміщення:

    Середня швидкість = v = △ x/△ t = х 1 −х 0 /t1 −t0

    Зверніть увагу, що точки (t 0, x 0) і (t 1, x 1) лежать на кривій позиції проти часу, як показано на малюнку нижче.

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.23.34 PM.png

    Цей вираз також є виразом для нахилу січної лінії, що з'єднує дві точки. Таким чином, робиться висновок, що середня швидкість об'єкта між часом t 0 і t 1 представлена геометрично нахилом січної лінії, що з'єднує дві точки (t o, х о) і (т 1, х 1). Якщо ми виберемо t 1 близько до t o, то середня швидкість буде тісно наближатися до миттєвої швидкості в момент t o.

    Геометрично середня швидкість зміни представлена нахилом січної лінії (рис. А, нижче), а миттєва швидкість зміни представлена нахилом дотичної лінії (рис. Б, нижче).

    Середня швидкість зміни (наприклад, середня швидкість) Середня швидкість зміни y = f (x) за часовий інтервал [x 0, x 1] - нахил m сек січної лінії до точок (x o, f (x 0)) і (x 1, f (x 0)) на графіку (рисунок а):

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.24.12 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.24.32 PM.png

    До теперішнього часу ми вивчили пов'язані поняття меж і ліній, дотичних до кривої, тому ми знаємо, що можна ефективно обчислити миттєву швидкість. Який процес буде пов'язаний з фактично обчисленням швидкості Бекки в той момент, коли було зроблено фотографію? Які технічні труднощі з визначенням миттєвої швидкості?

    Миттєві темпи змін

    Функція f′ (x), яку ми визначили на попередніх уроках, настільки важлива, що має свою назву: похідна.

    Похідне
    Функція f 'визначається за формулою
    f′ (х) = лімх→0f (x+h) −f (х) h
    де f 'називається похідною f по відношенню до x. Домен f складається з усіх значень x, для яких існує межа.

    Виходячи з обговорення, яке ми мали в попередньому розділі, похідна f′ являє собою нахил дотичної лінії в точці x. Іншим способом інтерпретації було б те, що функція y = f (x) має похідну f′, значення якої при x - миттєва швидкість зміни y з по відношенню до точки x.

    Одне з двох первинних понять числення передбачає обчислення швидкості зміни однієї величини щодо іншої. Наприклад, швидкість визначається як швидкість переміщення по відношенню до часу. Якщо людина проїжджає 120 миль за 4 години, його швидкість становить 120/4 = 30 милі/год. Цю швидкість називають середньою швидкістю або середньою швидкістю зміни відстані по відношенню до часу. Звичайно, людина, яка подорожує 120 миль зі швидкістю 30 милі/год протягом 4 годин, ймовірно, не робить цього постійно. Хоча він, ймовірно, сповільнився або прискорився протягом 4-годинного періоду, загалом достатньо сказати, що він подорожував протягом 4 годин із середньою швидкістю 30 миль на годину. Однак, якщо водій вдарить по дереву, не його середня швидкість визначає його виживання, а швидкість в момент зіткнення. Аналогічно, коли куля вражає ціль, значною є не середня швидкість, а миттєва швидкість в момент удару. Отже, тут у нас є різні види швидкостей, середня швидкість і миттєва швидкість.

    Середня швидкість об'єкта визначається як зміщення об'єкта ∆x, поділене на проміжок часу, протягом якого відбувається зміщення:

    Середня швидкість = v = △ x△ t = x1−x0t1−t0

    Зверніть увагу, що точки (t 0, x 0) і (t 1, x 1) лежать на кривій позиції проти часу, як показано на малюнку нижче.

    альт

    Цей вираз також є виразом для нахилу січної лінії, що з'єднує дві точки. Таким чином, робиться висновок, що середня швидкість об'єкта між часом t 0 і t 1 представлена геометрично нахилом січної лінії, що з'єднує дві точки (t o, х о) і (т 1, х 1). Якщо ми виберемо t 1 близько до t o, то середня швидкість буде тісно наближатися до миттєвої швидкості в момент t o.

    Геометрично середня швидкість зміни представлена нахилом січної лінії (рис. А, нижче), а миттєва швидкість зміни представлена нахилом дотичної лінії (рис. Б, нижче).

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.24.32 PM.png

    Миттєва швидкість зміни Миттєва швидкість зміни y = f (x) в точці х 0 - нахил m сек дотичної прямої до точки x 0 на графіку (рисунок b):

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.27.25 PM.png

    Знімок екрана 2020-09-26 о 5.27.42 PM.png

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вам задавали питання про процес розрахунку швидкості Бекки в гонці.

    Швидкість - це, за визначенням, зв'язок між відстанню та часом, необхідним для перетину цієї відстані (відкликати d = rt з вашого наукового класу). Якщо необхідний час дорівнює нулю, то ви в кінцевому підсумку ділитеся на нуль, що є невизначеною функцією.

    Однак, використовуючи обчислення, ви можете визначити, якою буде кінцева поведінка функції, якби ви отримали нескінченно близько, і тим самим ефективно обчислити швидкість в даний момент. Насправді це саме те, що ви зробили в прикладах вище.

    Обчисліть: (a) Нахил прямої дотичної до y = x 2 +5 у точці на кривій x = 4 і (b) рівняння цієї лінії.

    У попередньому понятті «Дотичні до кривої» ми показали, як обчислити похідну (нахил дотичної) функції виду y=x 2 −c.

    1. Нахил дотичної до кривої y=x 2 +5 при x=4 дорівнює:

    2 (4) =8

    Нагадаємо з алгебри «нахил - форма перехоплення» прямої лінії: y=mx+b, де m - нахил прямої.

    1. З огляду на m=8 зверху, ми маємо y=8x+b Все, що нам потрібно, це вирішити для b, щоб мати повне рівняння.

    Підставимо 4 (точку, яку ми знаходимо нахил) в для x в рівняння кривої y=x 2 +5, щоб визначити відповідний y

    y= (4) 2+5

    y=21

    Підставляємо значення x, y та m, які ми тепер маємо, у нашу форму y=mx+b рівняння дотичної прямої:

    21=8 (4) +б

    −11=б

    Використовуйте розрахункові значення для m і b для завершення рівняння:

    y=8x−11

    Приклад 3

    Припустимо, що y=x2−3.

    (a) Знайти середню швидкість зміни y відносно x за інтервал [0, 2] і (b) знайти миттєву швидкість зміни y відносно x у точці x = −1.

    1. Застосовуючи наведену вище формулу для секансу з f (x) =x 2 −3 та x0=0 та x 1 =2, дає

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.04.27 PM.png

    Це означає, що середня швидкість зміни y становить 2 одиниці на одиницю приросту х за інтервал [0,2].

    b. нагадаємо, для функцій виду y=x2+c, що f′ (x) =2x (f′ (x) є «f простим від x», що означає «нахил (m) прямої дотичної до x «)

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.09.37 PM.png

    Це означає, що миттєва швидкість зміни негативна. Тобто y зменшується в точці х = -1. Він зменшується зі швидкістю 2 одиниці на одиницю приросту в х.

    Приклад 4

    Знайдіть похідну f (x) =x 0.5 і рівняння дотичної прямої при x 0 = 1.

    Використовуючи визначення похідної,

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.11.53 PM.png

    Таким чином, нахил дотичної лінії при х 0 = 1 дорівнює

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.12.21 PM.png

    Для x 0 = 1 ми можемо знайти y 0, просто підставивши в f (x):

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.12.48 PM.png

    Таким чином, рівняння дотичної прямої дорівнює

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.13.13 PM.png

    Приклад 5

    Знайти похідну f (x) = x/x+1.

    Використовуючи похідну формулу:

    Знімок екрана 2020-09-29 о 6.14.03 PM.png

    Ракета рухається вгору і досягає висоти h (t) = 4,9 t 2 за t секунд.

    1. Наскільки високо він досягає за 35 секунд?

    Висота ракети в 35 сек становить 4,9 (35) 2=6002,5 м

    1. Яка середня швидкість ракети протягом перших 35 секунд?

    Вавг = 6002,5 м/ 35с = 171,5 м/с

    1. Яка миттєва швидкість ракети в кінці 35 секунд?

    Щоб знайти миттєву швидкість, нам потрібно знайти похідну h (t) =4.9t 2

    h′ (t) = 9.8t Використання миттєвої швидкості зміни формули зверху

    9,8⋅35с=343 м/сек

    Приклад 7

    Частинка рухається в позитивному напрямку вздовж прямої лінії так, що через t наносекунд її пройдена відстань задається (t) = 9.9t 3 нанометрів.

    1. Яка середня швидкість частинки протягом перших 2 наносекунд?

    Частинка рухається 9.9t 3 нм за t сек

    △ 9,9 (2 3) = 79,2 нм/2с → 39,6 нм/1 с

    1. Яка миттєва швидкість частинки при t = 2 наносекунди?

    Використовуючи формулу знаходження похідної, отримаємо ′ (t) =29.7t 2

    ⟩ ′ (2) = 118.8 нм/с

    ∴ Миттєва швидкість при t = 2 становить 118,8 нм/сек

    Рецензія

    Знайдіть середню швидкість зміни:

    1. C = F (x) і f (x) = x 2 −4x+2. Знайти середню швидкість зміни (С) по відношенню до (х), коли (х) змінюється від х = 15, до х = 59.
    2. H=F (x) і f (x) =x 2 −5x+201 Знайти середню швидкість зміни (H), по відношенню до (x), коли (x) змінюється з x = 10 на x = 11.
    3. n=F (x) та f (x) =3x 2 −4x−1 Знайти середню швидкість зміни (N) відносно (x), коли (x) змінюється з x = 20 на x = 64.
    4. H=F (x) і f (x) =x 2 +10x+201 Знайти середню швидкість зміни (Н) по відношенню до (х) при зміні (х) з х + 25 на х = 74.
    5. n=F (x) та f (x) =−5x 2 −3x−4 Знайти середню швидкість зміни (N) відносно (x), коли (x) змінюється з x = 30 на x = 54.

    Знайдіть миттєву швидкість зміни:

    1. Якщо C = F (x) і f (x) =−4x 2 +2x+5 Знайти миттєву швидкість зміни (C) відносно (x), коли x = 25.
    2. Якщо n=F (x) та f (x) =3x 2 −x−5 Знайти миттєву швидкість зміни (N) відносно x, коли x = 10.
    3. H=F (x) і f (x) =4x 2 +195 Знайти миттєву швидкість зміни (Н) по відношенню до х, коли х = 10.
    4. n=F (x) та f (x) =−x 2 +x−3 Знайти миттєву швидкість зміни (N) відносно x, коли x = 150.
    5. c=F (x) та f (x) =−3x 2 +4x−4 Знайти миттєву швидкість зміни (N) відносно x, коли x = 20.

    Скористайтеся визначенням похідної, щоб знайти f (x), а потім знайти рівняння дотичної прямої при x = x 0.

    1. ф (х) = 6 х 2; х 0 = 3.
    2. ф (х) = (х+2) 0,5; х0 = 8
    3. ф (х) = 3х 3 - 2; х 0 = -1
    4. f (x) = 1x+2; x0=−1
    5. f (x) = a x 2 - b, (де a і b - константи); x 0 = b
    6. ф (х) = х 1/3; х 0 = 1.
    7. Припустимо, що f має властивість, що f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 xy іЗнімок екрана 2020-09-29 о 6.21.59 PM.png. Знайти f (0) і f '(x).
    8. Знайти dy/dx

    Вирішити проблеми швидкості змін.

    1. Пакувальна компанія на півдні виготовляє «Соус для спагетті мами». Вартість виробництва х банок становить J = f (x) доларів. Що означає f' (100) = 9999 в цьому контексті?
    2. Вишневий пиріг береться з духовки, коли його температура становить 202° F, і ставиться на стіл в приміщенні, де температура становить 75° F, Температура пирога протягом x хвилин задається T = f (x). Що означає f' (100) = 102 в цьому контексті?
    3. Кількість вірусу, через (х) годин, в контрольованому лабораторному експерименті становить V = f (x). Які одиниці виміру f' (x)?
    4. Кількість людей в США, які постраждали від застуди в листопаді місяці, визначається N = f (x), де x - день місяця. Яке значення f' (x) в цьому контексті?
    5. Кількість домогосподарств у Флориді, які постраждали від сезону ураганів у липні, визначається J = f (x) де x - день місяця. f (x) = 2x 2 +x+1 Знайдіть середню швидкість зміни J щодо x, коли дні змінюються з x = 5 на x = 34.
    6. Пиріг береться з духовки, коли його температура становить 196° F і поміщається на охолоджуючу стійку в приміщенні, де температура становить 75° F. Температура пирога протягом (x) хвилин задається H = f (x). f (x) = 4x 2 +15x+196 Знайти миттєву швидкість зміни Н щодо х, коли х = 15.
    7. Деко з м'ясним рулетом береться з духовки, коли його температура становить 205° F, і ставиться на стіл в приміщенні, де температура становить 75° F, температура м'ясного рулету протягом x хвилин задається H = f (x). f (x) = 2x 2 +5x+205. Знайти середню швидкість зміни Н по відношенню до х при зміні хвилин з х = 5 на х = 54.

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 8.8.

    Лексика

    Термін Визначення
    Середня швидкість зміни Середня швидкість зміни функції - це зміна координат y функції, поділена на зміну координат x.
    Середня швидкість Середня швидкість об'єкта - це відстань, яку проїжджає об'єкт, поділена на час у дорозі.
    похідний Похідна функції - нахил прямої дотичної до функції в заданій точці на графіку. Позначення для похідної включають f′ (x), dydx, y′, dfdx і\ frac {df (x)} {dx}.
    миттєва швидкість зміни Миттєва швидкість зміни кривої в заданій точці - це нахил прямої дотичної до кривої в цій точці.
    Миттєва швидкість Миттєва швидкість об'єкта - це швидкість об'єкта в конкретний момент часу.
    межа Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.
    січна лінія Січна лінія - це лінія, яка з'єднує дві точки на кривій.
    Ухил Ухил - це міра крутизни лінії. Лінія може мати позитивний, негативний, нульовий (горизонтальний) або невизначений (вертикальний) нахил. Нахил лінії можна знайти, обчисливши «підйом над пробігом» або «зміна y над зміною x». Символ нахилу - m
    дотична лінія Дотична лінія - це лінія, яка «просто торкається» кривої в одній точці і ніякої іншої.

    Додаткові ресурси

    PLIX: Грайте, вчіться, взаємодійте, досліджуйте - середня та миттєва швидкість змін

    Відео: Курси змін

    Практика: Середні та миттєві темпи змін

    Реальний світ: Китайський синдром