Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.1.3: Позначення суми та властивості сигми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    55118

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Позначення суми та властивості сигми

    Сайбер і Тоскана продають морозиво протягом літа за кишенькові гроші. Один конкретний уїк-енд, вони придбали пакет з 30 фруктового морозива з магазину.

    Зазвичай вони просто пропонують фруктове морозиво безкоштовно, по 1 на клієнта, і приймають чайові. Цього разу Тоскана задається питанням, чи зароблять вони більше грошей, стягуючи $0.50 за ескімо. У той же час Сайбер задається питанням, чи зможе він збільшити свої чайові, заохочуючи клієнтів «перевершувати» один одного. Двоє дітей вирішують кожен взяти 15 ескімо і подивитися, хто робить найбільше.

    Як ви могли б підрахувати, скільки грошей кожен з них заробляє, припускаючи, що Сайбер отримує чайові $0.10 від першого клієнта, і здатний переконати кожного наступного клієнта подвоїти чайові попередньої людини?

    Позначення суми та властивості сигми

    Розглянемо для прикладу послідовність, визначену a n = 3 n. Якщо виписуємо суму перших 4 членів, то маємо 3 + 6 + 9 + 12 = 30. Але що робити, якщо ми хочемо виписати терміни на більшу суму?

    Сумовані позначення - це метод написання сум в стислій формі. Щоб написати суму 3 + 6 + 9 + 12 = 30, використовуємо грецьку букву Sigma, наступним чином:

    \(\ \sum_{n=1}^{4} 3 n\)

    Вираз 3 n називається сумою, 1 і 4 називаються межами підсумовування, а n називається індексом суми. Тут ми використали «сигму» для написання суми. Ми також можемо прочитати сигму, і визначити суму. Наприклад, ми можемо прочитати вищевказане сигматичне позначення як «знайти суму перших чотирьох членів ряду, де n -й член дорівнює 3 n». Ми завжди читаємо межі знизу вгору. Нижня цифра вказує, з якого терміну почати, а верхня межа вказує, який термін є кінцевим терміном для додавання. Потім ми могли б написати сигму вище як:

    \(\ \sum_{n=1}^{4} 3 n\) \(\ = 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4)\)
      = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

    Загалом, ми можемо або переписати заданий ряд в сигма-нотації, або ми можемо прочитати сигма-позначення, щоб знайти значення суми.

    властивості Сигма

    Зверніть увагу, що ми можемо записати суму 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 19 + 20 як 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10). Тому\(\ \sum_{n=1}^{10} 2 n=2 \sum_{n=1}^{10} n\). Загалом, ми можемо перерахувати коефіцієнт із суми:

    \(\ \sum_{n=1}^{k} c a_{n}\) \(\ =c \sum_{n=1}^{k} a_{n}\)

    Приклади

    Приклад 1

    Раніше вас попросили висловити доходи Сайбер і Тоскани, які торгують фруктовим морозивом.

    Рішення

    Дохід Тоскани може бути виражений у вигляді:\(\ \sum_{n=1}^{10} .5 \rightarrow .5 \cdot 10=\$ 5.00\)

    Дохід Сайбера може виражатися у вигляді:

    \(\ \sum_{n=1}^{10} \cdot 10 \cdot 2^{n} \rightarrow .10\left(2^{0}\right)+.10\left(2^{1}\right)+.10\left(2^{2}\right) \ldots+.10\left(2^{10}\right) \rightarrow \$ 102.30\)

    Sayber повинен бути чертовски продавець, щоб отримати цю останню пораду!

    Приклад 2

    Напишіть суму, використовуючи сигма-позначення: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 19 + 20.

    Рішення

    \(\ \sum_{n=1}^{10} 2 n\)

    Кожен термін кратний 2. Перший член - 2 × 1, другий член - 2 × 2 і так далі. Отже, виклик сигми дорівнює 2 п. У сумі 10 термінів. Тому межі суми становлять 1 і 10.

    Приклад 3

    Випишіть терміни\(\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)\) і оцініть суму.

    Рішення

    Розбийте суму на дві різні суми. Сума дорівнює 37.

    \(\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)\) = (2 + 7) + (3 + 7) + (4 + 7) + (5 + 7)
      =2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 7 + 7
      =2 + 3 + 5 + 7 × 4 = 14 + 28 = 42

    Зверніть увагу, що ми могли б\(\ \sum_{n=2}^{5}(n+7)\) написати як\(\ \sum_{n=2}^{5} n+\sum_{n=2}^{5} 7\). Крім того, друга сума не залежить від індексу суми (тобто вона залишається на рівні 7 незалежно від індексу), лише те, що є 4 терміни, які потрібно скласти разом. Побачивши це, можна полегшити оцінку суми.

    Приклад 4

    Випишіть терміни\(\ \sum_{n=0}^{4} 32\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\) і оцініть суму.

    Рішення

    Загалом, ми можемо записати суму як суму сум:\(\ \sum_{n=1}^{n}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sum_{n=1}^{n}\left(a_{n}\right)+\sum_{n=1}^{n}\left(b_{n}\right)\).

    Сума є\(\ 42 \frac{5}{8}\).

    \(\ \sum_{i=0}^{4} 32\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\) \(\ =32\left(\frac{1}{4}\right)^{0}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{1}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{3}+32\left(\frac{1}{4}\right)^{4}\)
      \(\ =32 \cdot 1+32 \cdot \frac{1}{4}+32 \cdot \frac{1}{16}+32 \cdot \frac{1}{64}+32 \cdot \frac{1}{256}\)
      \(\ =32+8+2+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=42 \frac{5}{8}\)
    Приклад 5

    Напишіть суму, використовуючи сигма-позначення: 2 + 6 + 18 + 54.

    Рішення

    \(\ \therefore \sum_{n=1}^{4} 2\left(3^{n-1}\right)\)або\(\ \sum_{n=0}^{3} 2\left(3^{n}\right)\)

    Приклад 6

    Знайдіть ряд чисел і загальну кількість цих чисел арифметичного ряду, представлених наступними сигма-позначеннями:\(\ \sum_{n=8}^{14} 3+\frac{3}{4}(n-1)\).

    Рішення

    Щоб знайти ряд чисел, вставляємо всі числа між 8 і 14 для (n):

    \ (\\ begin {масив} {l}
    3+\ розрив {3} {4} ((8) -1) =\ frac {33} {4}\\
    3+\ гідророзриву {3} {4} ((9) -1) =9
    \ end {масив}\)

    Ми б продовжували робити це через число 14. Це залишає нам наступну серію:

    \(\ \frac{33}{4}+9+\frac{39}{4}+\frac{21}{2}+\frac{45}{4}+12+\frac{51}{4}\).

    Це добре, якщо ми просто шукаємо окремі цифри в послідовності, однак, коли його просять оцінити сумації, нас просять скласти всі номери ряду разом. Знадобилося досить багато часу, щоб знайти кожне число, і тепер ми повинні скласти їх усі разом. На щастя, існує формула, яка не тільки усуває нашу потребу знаходити кожне число, але дозволяє нам також скласти їх усі разом і прийти до нашої відповіді чи суми.

    Формула\(\ \frac{k}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\) працює так:

    Підключаємо,\(\ n = 8\) щоб отримати\(\ a_{8}=\frac{33}{4}\)

    Потім підключаємо n = 14, щоб отримати\(\ a_{14}=\frac{51}{4}\).

    Визначте кількість термінів\(\ (k)=14−8+1\), які ми використовуємо\(\ k=7\) у формулі нижче.

    Тепер ми можемо скористатися формулою:\(\ \frac{k}{2}\left(a_{8}+a_{14}\right)\) і отримуємо:\(\ \frac{7}{2}\left(\frac{33}{4}+\frac{51}{4}\right)=\frac{147}{2}\)

    Приклад 7

    Знайти суму всіх чисел в арифметичній послідовності\(\ \sum_{n=8}^{28} 9-2(n-1)\).

    Рішення

    Скористайтеся формулою\(\ \frac{k}{2}\left(a_{1}+a_{n}\right)\):

    Замінник\(\ n = 8\), щоб отримати\(\ a_{8}=-5\)

    Замінник\(\ n = 28\), щоб отримати\(\ a_{2} 8=-45\)

    Визначте кількість термінів як:\(\ k=28-8+1\) тому ми використовуємо\(\ k=21\) в нашій формулі нижче:

    Тепер ми можемо скористатися формулою:\(\ \frac{k}{2}\left(a_{8}+a_{14}\right)\) і наша відповідь −525.

    Приклад 8

    Знайдіть ряд чисел та загальну кількість цих чисел геометричного ряду, представленого сигма-позначенням\(\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-1}\).

    Рішення

    Для ідентифікації та підсумовування термінів у геометричному ряду\(\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{n-1}\):

    Знайдіть послідовність чисел так само, як ми це робили в прикладі 6, підключивши зазначені цифри 1-8 для (n)

    \(\ \sum_{n=1}^{8} 7\left(\frac{-1}{2}\right)^{((1)-1)}\)що дає нам: 7

    Робимо це для решти чисел і наша послідовність виглядає так:

    \(\ 7+\frac{-7}{2}+\frac{7}{4}+\frac{-7}{8}+\frac{7}{16}+\frac{-7}{32}+\frac{7}{64}+\frac{-7}{128}\)

    Як і в попередніх прикладах, нас не просто просять знайти цифри, а скласти їх усі разом. Знову ж таки, ми не хочемо витрачати час, щоб знайти всі цифри та скласти їх усі разом. Ще раз нам пощастило, є формула!

    Формула\(\ a_{1}\left(\frac{1-r^{k}}{1-r}\right)\) працює так:

    Ми підключаємо n = 1\(\ a_{1}\), в який дає нам 7.

    \(\ k=8\), і\(\ r=\frac{-1}{2}\)

    Підставляючи наші цифри результати:\(\ 7\left(\frac{1-\frac{-1}{2}^{8}}{1-\frac{-1}{2}}\right)\)

    Що дає нам\(\ \frac{595}{128}\).

    Приклад 9

    Знайти суму термінів в:\(\ \sum_{n=1}^{11} 9(4)^{n-1}\).

    Рішення

    Давайте знову скористаємося формулою геометричних рядів:

    Визначте терміни:\(\ a_{1}=9\),\(\ k=11\) і\(\ r=4\)

    Підставляючи в нашу формулу, ми маємо:\(\ 9\left(\frac{1-4^{11}}{1-4}\right)=12,582,909\)

    Рецензія

    Висловіть суму за допомогою сигма-позначення:

    1. \(\ 1+3+5+7+9\)
    2. \(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{10}\)

    Знайдіть ряд чисел, позначений сигма-позначенням:

    1. \(\ \sum_{n=0}^{14}-2-\frac{10}{3}(n-1)\)
    2. \(\ \sum_{n=-8}^{14}-7-3(n-1)\)

    Оцініть:

    1. \(\ \sum_{n=-10}^{5} 7-\frac{4}{3}(n-1)\)
    2. \(\ \sum_{n=-3}^{3} 3-\frac{1}{3}(n-1)\)
    3. \(\ \sum_{n=-5}^{1}-6+\frac{4}{3}(n-1)\)

    Знайдіть ряд чисел, позначений сигма-позначенням:

    1. \(\ \sum_{n=1}^{2} 3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
    2. \(\ \sum_{n=1}^{5} 5\left(-\frac{4}{3}\right)^{n-1}\)

    Оцініть:

    1. \(\ \sum_{n=1}^{6} 3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
    2. \(\ \sum_{n=1}^{7}-5\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
    3. \(\ \sum_{n=1}^{11}-7\left(-\frac{4}{3}\right)^{n-1}\)
    4. \(\ \sum_{n=1}^{6}-7\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\)
    5. \(\ \sum_{n=1}^{3} 2\left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}\)

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.3.

    Лексика

    Термін Визначення
    σ σ (сигма) - грецька буква, що означає «сума» при використанні в математиці.
    арифметичні ряди Арифметичний ряд - це сума арифметичної послідовності, послідовності із загальною різницею між кожними двома послідовними долями.
    геометрична серія Геометричний ряд - це геометрична послідовність, записана у вигляді необчисленої суми членів.
    індекс Індекс суми - це змінна в сумі.
    ліміти Межі суми записуються вище і нижче σ, і описують область, яка буде використана при обчисленні рядів.
    послідовність Послідовність - це упорядкований список чисел або об'єктів.
    серія Ряд - це сума членів послідовності.
    Сигма σ, вимовляється syg-mah, - це грецька буква, яка в математиці означає «сума».
    сигма-позначення Позначення сигми також відоме як підсумовування позначення і є способом представлення суми чисел. Це особливо корисно, коли цифри мають певну закономірність або буде потрібно занадто багато часу, щоб виписати без абревіатури.
    виклик Сума - це вираз, що підсумовується. Вона безпосередньо слідує за символом сигми.
    підсумовування Позначення сигми також відоме як підсумовування позначення і є способом представлення суми чисел. Це особливо корисно, коли цифри мають певну закономірність або буде потрібно занадто багато часу, щоб виписати без абревіатури.