7.1.2: Явні формули

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55109

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Явні формули

Рейчел та Елайна розпочали веб-сайт, де обговорюють найкращий колір фарби для волосся. Шоу дійсно популярне, і відвідувачі їхнього веб-сайту дуже швидко зростають. Вони вважають, що членство збільшується приблизно на 500 осіб кожні три дні.

За такою швидкістю, скільки членів вони матимуть на 48-й день? Скільки днів пройде, перш ніж вони досягнуть 25 000 членів?

Явні формули

Коли ми представляємо послідовність з формулою, яка дозволяє нам знайти будь-який термін у послідовності, не знаючи жодних інших термінів, ми представляємо послідовність явно.

З огляду на рекурсивне визначення арифметичної або геометричної послідовності, завжди можна знайти явну формулу або рівняння для представлення n ^-го члена послідовності. Розглянемо для прикладу послідовність непарних чисел, з якої ми починали: 1, 3, 5, 7,...

Ми можемо знайти явну формулу для n ^-го члена послідовності, якщо проаналізувати кілька членів:

\ (\\ почати {масив} {l}
a_ {1} =1\
a_ {2} =a_ {1} +2=1+2=3\
a_ {3} =a_ {2} +2=1+2=5\ a_ {4}
=a_ {3} +2=1=1+2=7\ a_ {5} =a_ {4}
=a_ {4} =a_ {3} +2=1 +2+2+2+2=9\
a_ {6} =a_ {5} +2=1+2+2+2+2+2=11
\ кінець {масив}\)

Зверніть увагу, що кожен термін складається з 1, а набір 2, скільки 2 в кожному семестрі?

a ₁	= 1
a ₂	= 1 + 2 = 3
a ₃	= 1 + 2 × 2 = 5
a ₄	= 1 + 3 × 2 = 7
a ₅	= 1+ 4 × 2 = 9
a ₆	= 1 + 5 × 2 = 11

n ^-й член має (n - 1) 2., Наприклад, a ₉₉ = 1 + 98 × 2 = 197. Тому ми можемо представити послідовність як a _n = 1 + 2 (n - 1). Ми можемо спростити цей вираз:

а _н	= 1 + 2 (п - 1)
а _н	= 1 + 2 п - 2
а _н	= 2 п - 1

Загалом, ми можемо представляти арифметичну послідовність таким чином, якщо ми знаємо перший член та загальну різницю, d. Зверніть увагу, що в попередньому прикладі перший член був 1, а загальна різниця, d, дорівнювала 2. ^{Отже, термін n - це перший термін, плюс d (n - 1):}

а _н	= а ₁ + д (п - 1)

Ви можете використовувати це загальне рівняння, щоб знайти явну формулу для будь-якого члена в арифметичній послідовності.

Приклади

Приклад 1

Раніше вам задавали два питання про членство на веб-сайті.

Якщо членство збільшується приблизно на 500 людей кожні три дні, скільки членів вони матимуть на 48-й день? Скільки днів пройде, перш ніж вони досягнуть 25 000 членів?

Рішення

Це насправді досить проста арифметична послідовність: кожен день в середньому на 500/3 членів більше. Використовуйте формулу для арифметичних послідовностей з Прикладу 2 нижче.

Приклад 2

Знайдіть явну формулу для n-го члена послідовності 3, 7, 11, 15... і за допомогою рівняння знайдіть ^50-й член в послідовності.

Рішення

\(\ a_{n}=4 n-1\), і\(\ a_{50}=199\)

Перший член послідовності дорівнює 3, а загальна різниця - 4.

а _н	= а ₁ + д (п - 1)
а _н	= 3 + 4 (п - 1)
а _н	= 3 + 4 п - 4
а _н	= 4 п - 1

а ₅₀	= 4 (50) - 1 = 200 - 1 = 199

Ми також можемо знайти явну формулу геометричної послідовності. Розглянемо наступну послідовність:

		t ₂ = 2 т ₁ = 2 × 3 = 6
т ₁ = 3	→	т ₃ = 2 т ₂ = 2 × 6 = 12
т _п = 2 × т _п _-1		т ₄ = 2 т ₃ = 2 × 12 = 24
		т ₅ = 2 т ₄ = 2 × 24 = 48

Зверніть увагу, що кожен член - це перший член, помножений на ступінь 2. Це тому, що 2 є загальним співвідношенням для послідовності.

т ₁	= 3
т ₂	= 2 × 3 = 6
т ₃	= 2 × 2 × 6 = ² × 6 = 12
т ₄	= 2 × 2 × 2 × 6 = 2 ³ × 6 = 24
т ₅	= 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 ⁴ × 6 = 48

Потужність 2 в n ^-му семестрі дорівнює (n -1). Тому n ^-й член в цій послідовності можна визначити як: t _n = 3 (2 ⁿ ^{- 1}). Загалом, ми можемо визначити n ^-й термін геометричної послідовності через її перший член та загальне співвідношення, або:

т _н	= t ₁ (r ^п ^-1)

Ви можете використовувати це загальне рівняння, щоб знайти явну формулу для будь-якого члена в геометричній послідовності.

Приклад 3

Знайдіть явну формулу для n ^-го члена послідовності 5, 15, 45, 135... і за допомогою рівняння знайдіть ^10-й член послідовності.

Рішення

а _п = 5 × 3 ^п ^{- 1}, а а ₁₀ = 98 415

Перший член в послідовності дорівнює 5, а r = 3.

а _н	= а ¹ × р ^п ^{- 1}
а _н	= 5 × 3 ^{п - 1}
a ₁₀	= 5 × 3 ^{10 - 1}
a ₁₀	= 5 × 3 ⁹ = 5 × 19,683 = 98,415

Знову ж таки, завжди можна написати явну формулу для членів арифметичної або геометричної послідовності. Однак ви також можете написати явну формулу для інших послідовностей, якщо ви можете визначити шаблон. Для цього необхідно пам'ятати, що послідовність - це функція, а значить, між входом і виходом існує залежність. Тобто ви повинні визначити закономірність між терміном і його індексом, або «місце» терміна в послідовності.

Приклад 4

Напишіть явну формулу для n-го члена послідовності 1, (1/2), (1/3), (1/4)...

Рішення

а _п = (1/ п)

Спочатку ви можете побачити закономірність у дробах, але ви також можете задатися питанням про перший термін. Якщо написати 1 як (1/1), то повинно стати зрозуміло, що n ^-й термін - це (1/ n).

Приклад 5

Напишіть явну формулу для послідовності: 2, 9, 16... і за допомогою формули знайдіть значення ^20-го члена.

Рішення

Для послідовності: 2, 9, 16...

\ (\\ begin {масив} {l}
a_ {n} =7 n-5\
\\ тому a_ {20} =7 (20) -5\\
a_ {20} =135
\ end {масив}\)

Приклад 6

Напишіть явну формулу для послідовності: (1/2), (1/4), (1/8) і за допомогою формули знайдіть значення _7-го члена.

Рішення

Для послідовності: (1/2), (1/4), (1/8)...

\ (\\ begin {масив} {l}
a_ {n} =\ розрив {1} {2^ {n}}\
\ тому a_ {7} =\ frac {1} {2^ {7}}\
a_ {7} =\ frac {1} {128}
\ end {масив}\)

Приклад 7

Визначте всі послідовності в попередніх двох прикладах, які є геометричними. Яке загальне співвідношення в кожній послідовності?

Рішення

Послідовність у прикладі 5 є арифметичною.

Послідовність у прикладі 6 є геометричною і має r = 1/2.

Рецензія

Назвіть послідовність як арифметичну, геометричну або ні.

−21, −6, 18, −3, 20, −2
\(\ 0, \frac{-1}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-3}{5}, \frac{-4}{5},-1\)
1, 3, 9, 27, 81, 243
2, 9, −2, 1, 18, 2

Напишіть перші 5 членів арифметичної послідовності (явної).

\(\ a_{n}=-8-9(n-1)\)
\(\ a_{n}=6-\frac{2}{3}(n-1)\)
\(\ a_{n}=8+\frac{1}{3}(n-1)\)

Вирішіть наступне:

Які перші п'ять членів послідовності? \(\ a_{n}=a_{n-1}-\frac{10}{3} ; a_{1}=-6\)
Враховуючи послідовність, запишіть рекурсивну функцію для її створення: 2, −4, −10, −16, −22, −28
Запишіть рівняння\(\ a_{n}\) без використання рекурсії:\(\ a_{n}=a_{n-1}-\frac{3}{2} ; a_{1}=10\)
Напишіть як рекурсію:\(\ a_{n}=6-\frac{5}{3}(n-1)\)
Запишіть рівняння\(\ a_{n}\) без використання рекурсії:\(\ a_{n}=a_{n-1}+8 ; a_{1}=3\)
Які перші п'ять членів послідовності? \(\ a_{n}=a_{n-1}-1 ; a_{1}=-5\)

Напишіть явну формулу для n _-го члена арифметичної послідовності.

\(\ -7, \frac{-13}{3}, \frac{-5}{3}, 1, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\)
6, −4, −14, −24, −34, −44
9, 16, 23, 30, 37, 44
У певній арифметичній послідовності другий член дорівнює 4, а п'ятий - 13. Напишіть явну формулу для цієї послідовності.

Напишіть перші 5 членів геометричної послідовності.

\(\ a_{n}=5(-3)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-6\left(\frac{-10^{(n-1)}}{3}\right)\)

Напишіть явну формулу для n _-го члена геометричної послідовності.

−8, 16, −32, 64, −128, 256
\(\ 9, \frac{27}{2}, \frac{81}{4}, \frac{243}{8}, \frac{729}{16}, \frac{2187}{32}\)

Перетворіть явну формулу в рекурсивну формулу.

\(\ a_{n}=9\left(\frac{-4}{3}\right)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-6(-4)^{(n-1)}\)
\(\ a_{n}=-5(5)^{(n-1)}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.2.

Лексика

Термін	Визначення
арифметична послідовність	Арифметична послідовність має загальну різницю між кожними двома послідовними членами. Арифметичні послідовності також відомі арифметичні прогресії.
загальна відмінність	Кожна арифметична послідовність має спільну або постійну різницю між послідовними членами. Наприклад: У послідовності 5, 8, 11, 14... загальна відмінність - «3».
загальне співвідношення	Кожна геометрична послідовність має загальне співвідношення, або постійне співвідношення між послідовними членами. Наприклад, в послідовності 2, 6, 18, 54... загальне співвідношення дорівнює 3.
Явний	Явні формули визначають кожен член у послідовності безпосередньо, дозволяючи обчислити будь-який термін у послідовності, не знаючи значення попередніх членів.
Явна формула	Явні формули визначають кожен член у послідовності безпосередньо, дозволяючи обчислити будь-який термін у послідовності, не знаючи значення попередніх членів.
геометрична послідовність	Геометрична послідовність - це послідовність з постійним співвідношенням між послідовними членами. Геометричні послідовності також відомі як геометричні прогресії.
індекс	Індекс члена в послідовності - це «місце» терміна в послідовності.
Натуральні числа	Натуральні числа є рахунковими числами і складаються з усіх позитивних, цілих чисел. Натуральні числа - це числа у списку 1, 2, 3... і їх часто називають додатними цілими числами.
рекурсивний	Рекурсивна формула для послідовності дозволяє знайти значення n ^-го члена в послідовності, якщо відомо значення (n-1) ^{-го члена} в послідовності.
рекурсивна формула	Рекурсивна формула для послідовності дозволяє знайти значення n ^-го члена в послідовності, якщо відомо значення (n-1) ^{-го члена} в послідовності.
послідовність	Послідовність - це упорядкований список чисел або об'єктів.