Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.7.2: Кубічні моделі

  • Page ID
    55243
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Кубічні моделі

    Як написати математичну задачу для представлення фізичного об'єкта?

    Відео нижче та перша частина уроку після цього описують різні проблеми, пов'язані з моделюванням коробки, створеної шляхом вирізання кутів з плоского аркуша картону, а потім складання боків. У відео конкретна проблема полягає у визначенні розміру картону, необхідного для отримання заданого обсягу. На уроці завдання полягає в тому, щоб визначити максимально можливий обсяг з заданого розміру аркуша картону.

    Як би ви математично змоделювали дільник, щоб розділити обсяг коробки, описаної в уроці, на кілька пробілів?


    Кубічні моделі

    Кубічні функції та кускові функції можуть бути використані для моделювання реальних ситуацій, що дозволяє визначити відсутні біти інформації, які можуть знадобитися для завершення проекту. Кубічні функції зазвичай використовуються для моделювання тривимірних об'єктів, щоб дозволити вам ідентифікувати відсутню розмірність або дослідити результат змін одного або декількох вимірів.

    Кускові функції можуть бути використані для моделювання взаємодії декількох елементів, кожен з яких раніше моделюється простішою функцією.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вам було запропоновано створити іншу модель, що описує картонну коробку.

    Існує ряд різних можливостей, наприклад:

    У випадку з коробкою у відео вище:\(\ t(v)=v / h\) може бути використаний для опису області верхньої частини коробки як функції гучності.

    У випадку з полем у тексті уроку: d (x) = (12−x) x або d (x) = (8−x) x може бути використано для пошуку площі роздільника довгим шляхом або широким шляхом поперек поля як функції довжини однієї сторони квадратних кутових вирізів.

    Приклад 2

    Розглянемо ситуацію, при якій прямокутний шматок картону згортається в коробку. Складання стає можливим шляхом вирізання квадратів з чотирьох кутів картону.

    Розрахувати максимально можливий обсяг коробки, виготовленої з листа картону 12" х 8".

    Функція\(\ v(x)=(12-2 x)(8-2 x) x\) може бути використана для представлення обсягу коробки як функція x, довжина сторони квадратів, вирізаних з кутів. Якщо ми помножимо множники цієї функції, ми можемо перевірити, що це кубічна функція:

    \(\ v(x)=(12-2 x)(8-2 x) x=>4 x^{3}-40 x^{2}+96 x\)

    Рішення

    Цю функцію можна було б використовувати для пошуку максимально можливого обсягу коробки. Ми також можемо проаналізувати графік, щоб зрозуміти, як змінюється гучність як функція x.

    Ф-Д_8Е51Ф7460КС6371Ф9936ЕЕ1Е2C Бад 69С1Б2Д7ДБ60Д 17ФС 8979499F99+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Аналізуючи функцію для визначення максимального обсягу коробки, ми дивимося лише на ту частину графіка, яка виглядає «параболічною». Це пов'язано з тим, що функція перестає моделювати ситуацію, якщо x більше 4. Якби ми вирізали {4x4} квадрати, ми б вирізали всю коротку сторону картонного прямокутника, і ми б не змогли зробити коробку. Зосередившись потім на інтервалі (0, 4), ми можемо побачити, що гучність коробки збільшується, а потім зменшується.

    Якщо ми використовуємо графічний калькулятор і хочемо знати обсяг коробки з певними розмірами, ми можемо простежити на графіку, ввести значення в таблицю або скористатися тим, що графік знаходиться в режимі трасування. Тобто, якщо натиснути GRAPH для перегляду графіка, а потім натиснути TRACE, ви можете ввести значення x. Наприклад, скажімо, що ви хотіли вирізати квадрати довжиною сторони 2,5. Натисніть TRACE, потім натисніть 2.5, а потім натисніть клавішу ENTER. У нижній частині екрана ви побачите x = 2,5 і y = 52,5. Це говорить про те, що обсяг коробки складе 52,5в 3.

    Приклад 3

    Використовуючи інформацію, наведену в прикладі 2 вище, обчисліть розмір квадратних кутів, які потрібно вирізати, щоб отримати конкретно об'єм 50 в 3.

    Рішення

    Одним із способів визначення значення x є графік постійної функції y = 50, і знайти точку, де функція об'єму перетинається y = 50. Натисніть Y = і введіть 50 в Y2. Тепер натисніть GRAPH. Ви повинні побачити горизонтальну лінію y = 50, що перетинає функцію гучності в декількох місцях. Нас цікавлять дві точки перетину в інтервалі (0, 4).

    Ф-д_563999Е457Д89 АФК 98Д67Е12Е210Д66429А47А7А3ААА3ААА899420Б1+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Щоб знайти хороше наближення точки перетину, слід провести близько до однієї з двох точок. Якщо ви простежите близько до першої точки, ви побачите, що вона навколо х = 0,8. Тепер натисніть 2-й, CALC, і виберіть варіант 5, INTERSECT. Калькулятор відправить вас назад на екран графіка і попросить вибрати першу криву. (Калькулятор робить це у випадку, якщо у вас є більше двох функцій, графічних одночасно.) Ви повинні побачити кубічне рівняння у верхній частині екрана. Натисніть ENTER, і калькулятор запитає вас про другу криву. Ви повинні побачити y = 50 у верхній частині екрана. Натисніть клавішу ENTER, а потім введіть припущення. (Якщо ви вже простежували близько до точки перетину, і у вас є лише дві функції з графіками, ви можете просто натиснути ENTER три рази.) Тепер ви повинні побачити координати точки перетину в нижній частині екрана: x дорівнює приблизно 0.723. (Ви можете використовувати той самий процес, щоб оцінити іншу точку перетину.)

    Кубічна функція може бути використана для моделювання ситуацій, що стосуються обсягу, але також може бути використана для моделювання ситуацій, що відповідають певним моделям зростання.

    Приклад 4

    Кускові функції можуть бути використані для опису ситуацій, в яких кількісні відносини відрізняються в різних інтервалах в області функції. Наприклад, розглянемо ситуацію, коли бездротовий провайдер пропонує клієнтам щомісячний план, який коштує 50 доларів США, але потім стягує 0,40 центів за хвилину за кожну хвилину понад 1000 включених денних хвилин.

    Рішення

    Змоделюйте щомісячну вартість, C, плану як функцію m, кількість денних хвилин, які ви використовуєте:

    \ (\ C (m) =\ лівий\ {\ begin {масив} {ll}
    50, & м\ leq 1000\\
    50+0,40 (м-1000), & m>1000
    \ end {масив}\ справа.\)

    Ф-д_А7Д7Б3А92С916159Б311Е5С025А6АА6А57914Е85836КД9959Ф0ДФ38083+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Ця функція складається з постійної функції та лінійної функції з нахилом 0,40. Якщо в даному місяці ви використовуєте 1000 хвилин або менше, ваша щомісячна вартість становить постійну 50 доларів. Якщо ви використовуєте більше 1000, кожна додаткова хвилина впливає на значення C. Наприклад, якщо ви використовуєте 1020 хвилин, ваша вартість становить:

    С (1020) = 50 + 0,40 (1020 - 1000)
        = 50 + 0,4 (20)
        = 50 + 8
        = $58.00

    Важливо відзначити, що в подібному роду ситуації використаний час може бути округлено до найближчої хвилини. Так, наприклад, якщо ви використовуєте 20,5 хвилини, з вас стягуватиметься плата за 21 хвилину. Це приклад неперервної, або переривчастої функції, де є певні кроки від значення до значення, а не плавна лінія, що з'єднує всі можливі значення.

    Приклад 5

    Прибуток для бізнесу можна визначити, віднімаючи витрати з виручки. Припустимо, дохід бізнесу моделюється функцією R (x) =5x−0,01x 2, а витрати на виготовлення продукту моделюються C (x) =100+2x, де x - кількість одиниць товару.

    1. Напишіть функцію P (x) для моделювання прибутку компанії.
    2. Графік Р (х) і визначаємо максимальний прибуток.

    Рішення

    1. Р (х) = Р (х) - С (х) = -0,01 х 2 + 3 х - 100

    2. F-D_1BF745C01A39BB11729BD8E797A54AF174EB4DAD5B4B8B86C652374+зображення_thumb_поштова листівка_крихітка_зображення_великий палець_листівка_крихітка_jpg[Малюнок 1]
      Максимальний прибуток - 125 (зазвичай в тисячах, або інша більша одиниця!)
    Приклад 6

    Висловіть таку ситуацію як склад функцій: Ви керуєте невеликим бізнесом, виготовляючи дерев'яні шкатулки для коштовностей. Це коштує вам $5.00 за одиницю для виробництва дерев'яних ящиків, плюс початкові інвестиції $300 в інші матеріали. Потім це коштує вам додаткові $2,00 за коробку, щоб прикрасити коробки.

    Рішення

    Функція початкової вартості: C 1 (x) = 5 х + 300

    Друга функція вартості C 2 (x) = 2 x

    Склад: С (х) = С 12 (х)) = 5 (2 х) + 300 = 10 х + 300


    Рецензія

    1. Коробку потрібно виготовити, вирізавши квадрати з кутів прямокутного шматка картону. Розміри картону становлять n дюймів на м дюймів. Припустимо, що n > m. a. напишіть модель для обсягу коробки. б. Який найбільший квадрат, який можна вирізати з кутів картону?
    2. Припустимо, вам сказали, що ви можете використовувати один аркуш паперу для нотаток на фіналі математики. Інструктор каже, що ви можете використовувати будь-який лист, який вам подобається, але форма повинна бути чотирикутником, а периметр не може перевищувати 45 дюймів. А) Які розміри ви повинні використовувати, щоб забезпечити найбільшу площу для ваших нот? б) Як графічний калькулятор допомагає спростити це питання?
    3. Чи є\(\ f(x)=-3^{4 x}\) силовою функцією?
    4. Чи є\(\ f(x)=\sqrt[3]{8 x^{5}}\) силовою функцією?
    5. Чи є\(\ g(x)=7 \cdot 2^{x}\) силовою функцією? Якщо ні, то чому б і ні?
    6. Чи є\(\ h(x)=2 x^{-5}\) силовою функцією? Якщо ні, то чому б і ні?
    7. Об'єм v сфери змінюється безпосередньо як куб радіуса r. Коли радіус кулі становить 6 см, об'єм становить 904,779см 3. Який радіус сфери, об'єм якої становить 268,083см 3?
    8. Сила тяжіння (F), що діє на об'єкт, обернено пропорційна квадрату відстані d від об'єкта до центру землі. Напишіть рівняння, яке моделює цю ситуацію.

      Сью та Бетті зібрали дані в таблиці нижче, використовуючи 100-ватну лампочку та лабораторію на основі калькулятора (CBL) із зондом інтенсивності світла.

      Дані про інтенсивність світла для лампочки потужністю 100 Вт
      Відстань (м) Інтенсивність (Вт/м 2)
      1.0 7,95
      1.5 3.53
      2.0 2.01
      2.5 1.27
      3.0 0,90
    9. Скористайтеся калькулятором, щоб знайти модель регресії потужності даних.
    10. Опишіть зв'язок між інтенсивністю та відстанню, змодельованим рівнянням у Q #9
    11. Використовуйте регресійну модель з Q #9, щоб передбачити інтенсивність об'єкта на відстані 2,75 метра.
      Кількість народжених жінок в США молодше 15 років за роки 1990 - 2005
      Рік Річна зміна ІСЦ% Рік Річна зміна ІСЦ% Рік Річна зміна ІСЦ%
      1990 5.4 1996 3.0 2002 1.6
      1991 4.2 1997 2.3 2003 2.3
      1992 3.0 1998 1.6 2004 2.7
      1993 3.0 1999 2.2 2005 3.4
      1994 2.6 2000 3.4    
      1995 2.8 2001 2.8    
    12. Знайдіть кубічну функцію, яка моделює дані, де (y) - кількість тисяч народжень і (x) - кількість років з 1970 року.
    13. Використовуйте функцію для оцінки кількості таких пологів, що відбулися в 2005 році.
    14. Коли ми знаємо, що ця модель більше не діє?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензію, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.18.


    Лексика

    Термін Визначення
    Кубічна модель Кубічна модель - це математична функція, що включає термін x 3, яка використовується для опису реальної ситуації, наприклад об'єму тривимірного об'єкта.
    Модель Модель - це математичний вираз або функція, яка використовується для опису фізичного елемента або ситуації.
    кусково функції Кусково функція - це функція, яка об'єднує дві або більше частин інших функцій для створення нової функції.

    Атрибуції зображень

    1. [Рисунок 1]
      Кредит: Тіто Дутта (Файл:Куерпо або jaqaru.jpg) [CC BY-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], через Вікісховище