Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.7.1: Лінійні та квадратичні моделі

  • Page ID
    55242
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Лінійні та квадратичні моделі

    Навчання виражати реальні ситуації як математичні функції дозволяє, здавалося б, складні ідеї та дії розбити на менші, простіші частини та проаналізувати.

    Як ви можете висловити наступне математично?

    Двоє братів вирішують мчати додому зі школи, проходячи різні маршрути. Другий брат йде через 5 хвилин після першого, і обидва прибувають додому в один і той же час.


    Лінійні та квадратичні моделі

    лінійні моделі

    Найпростіші функції - це, як правило, лінійні моделі. Наприклад, рівняння y = 3 x може бути використано для представлення того, скільки грошей ви б принесли, якщо продали x коробки печива за 3 долари за коробку. Багато ситуацій можна моделювати за допомогою лінійних функцій. Ключова ідея полягає в тому, що деяка кількість в ситуації має постійну швидкість змін. У прикладі продажу файлів cookie кожна коробка коштує 3,00 доларів. Тому прибуток збільшується постійними темпами. У сумі лінійні функції використовуються для моделювання ситуації постійної зміни, або збільшення, або зменшення.

    Квадратичні моделі

    Квадратичні функції також можуть використовуватися як моделі. Наприклад, функція\(\ A(x)=50 x-\frac{x^{2}}{2}\) може бути використана для представлення площі прямокутної ділянки землі, огородженої з трьох сторін 100 футів паркану. Ця модель може бути використана для визначення максимально можливої площі під земельну ділянку.

    Інший приклад - ситуація, при якій м'яч підкидається в повітря. М'яч буде подорожувати вгору, а потім він буде подорожувати вниз, поки не вдариться об землю. Наскільки високо піде м'яч? Коли він досягне землі? Такого роду ситуації можна змоделювати функцією виду h (t) = -16 t 2 + v 0 t + h 0. Змінна t представляє час з моменту кидання м'яча. Коефіцієнт v 0 представляє початкову швидкість кулі, а постійна h 0 представляє початкову висоту кулі. Постійна -16 походить від сили тяжіння, яка тягне м'яч вниз, тому вона негативна. Приклад 3 показує конкретну ситуацію цієї форми.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вас попросили придумати математичну модель для наступного твердження.

    Двоє братів вирішують мчати додому зі школи, проходячи різні маршрути. Другий брат йде через 5 хвилин після першого, і обидва прибувають додому в один і той же час.

    Існує кілька різних способів моделювання інформації, залежно від того, яку частину інформації ви вирішите використовувати. Кілька прикладів включають:

    Якщо t = час, який другий брат взяв, щоб повернутися додому, то t + 5 = час, який взяв перший брат.

    Якщо t = час, який взяв перший брат, щоб повернутися додому, то (t + (t - 5)) /2 являє собою середній час, щоб бігти додому.

    Ваша модель може бути схожа, або може бути написана по-різному, але повинна порівнювати різні значення, наведені в сюжетній задачі.

    Приклад 2

    Ви керуєте бізнесом зі скошування газону та стягуєте 15 доларів за газон. Напишіть лінійну функцію, щоб описати суму грошей, зроблену як функцію кількості скошеного газону.

    Рішення

    Якщо висловити кількість газонів, скошені як l, то $15, помножені на l, представлятимуть загальну суму грошей, зроблених на основі кількості газонів, отже:

    загальний дохід = 15* л

    Приклад 3

    Ви скидаєте скелю з краю скелі, і час падіння в секундах. Визначте функцію, яка моделює висоту обриву як функцію часу падіння в секундах.

    Рішення

    При початковій швидкості 0 висоту обриву можна обчислити за формулою: h (t) = 16t 2.

    Приклад 4

    Ви стоїте на даху будівлі, яка знаходиться на висоті 20 футів над землею. Ви кидаєте кулю в повітря з початковою вертикальною швидкістю 40 футів/сек, щоб він приземлився на землю, а не на дах. Наскільки високо піде м'яч, і коли він досягне максимальної висоти? Коли м'яч вдарить об землю?

    Рішення

    Для початку нам потрібно написати функцію для моделювання ситуації. Використовуючи загальну форму рівняння, наведеного вище, ми можемо записати функцію h (t) = -16t 2 + 40t + 20, де h (t) представляє висоту над землею.

    Щоб відповісти на перше питання, нам потрібно вивчити графік функції. Якщо ви графуєте це рівняння на своєму калькуляторі, вам потрібно буде визначити гарне оглядове вікно. Один із способів почати визначати хороше вікно - врахувати y -перехоплення функції. У цьому випадку y -перехоплення дорівнює (0, 20). Подумайте, що це за функція: парабола, звернена вниз. Цей факт повинен змусити вас думати, що нам потрібно подивитися на y -значення набагато вище 20. Часто корисно подивитися таблицю значень. Використовуючи можливість «запитати» калькулятора, якщо ви введете значення x 1, 2 та 3, ви побачите, що функція піднімається до 44 при x = 1. Максимальне значення, швидше за все, десь поблизу х = 1. Натисніть ВІКНО і встановіть xmin = 0, xmax = 3. Потім встановіть Ymin = 0 (або трохи менше, якщо ви хочете побачити вісь y). Ymax повинен бути не менше 44, хоча ви можете зробити його більшим, наприклад 50 або більше, просто щоб бути впевненим, що ви можете побачити вершину. Після того, як ви встановили вікно, натисніть GRAPH.

    Ф-Д_А1С51 КДФ096ДФ6А582ЕДБФ 2С985428С3Д022А70Д9С280БА0А0А8725+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Тепер ви повинні побачити параболу. Для ідентифікації координат вершини можна скористатися функцією MAX в меню CALC. Пам'ятайте, що калькулятор попросить вас ввести ліву межу, праву межу та припущення для максимуму. Якщо ви використовуєте функцію MAX, ви повинні виявити, що координати вершини є (1,25, 45). Це означає, що через 1,25 секунди після того, як м'яч викидається в повітря, він досягає максимальної висоти 45 футів.
    Ф-Д_Ф45Д97БА 116ЕК 8Д41608Д8Ф0 ЕС092ДФ681Ф82Е8Б48491Е858351063E3+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    Тепер, щоб відповісти на другу частину питання, нам потрібно визначити, коли висота кулі дорівнює 0. Графічно шукаємо х -перехоплення параболи. Якщо ви повернетеся до екрана GRAPH, ви побачите, що x -intercept становить близько 3. Якщо ми хочемо визначити точне значення або принаймні хороше наближення x -перехоплення, ми можемо використовувати функцію ZERO. Натисніть 2-е TRACE, щоб отримати меню CALC, і виберіть варіант 2, НУЛЬ. Як і функція MAX, вам потрібно ввести ліву межу, праву межу та припущення, хоча припущення необов'язкове - просто натисніть ENTER. (Зверніть увагу, що калькулятор працює таким чином, оскільки він просить вас визначити, який x -intercept для обчислення. Парабола має два x-перехоплення, а інших функцій може мати більше.) Використовуючи функцію ZERO, ви повинні виявити, що x -intercept дорівнює приблизно 2.93. Це означає, що м'яч досягає землі трохи менше ніж за 3 секунди.
    Приклад 5

    Клас першокурсників Арлінгтона хоче мати збір коштів. Клас хоче купити кількість $4.00 шльопанці і $5.00 бейсбольних шапок, і має в цілому 100 доларів, щоб витратити.

    Рішення

    Щоб висловити цю інформацію як функцію, пам'ятайте, що питання вказувало, що було $100, щоб витратити, і що будь-які гроші, не витрачені на капелюхи (в $5 ea) були витрачені на шльопанці (в $4 ea).

    1. Якщо f представляє кількість шльопанців, а b - кількість бейсболок, напишіть функцію для представлення кількості шльопанців, придбаних в залежності від невитрачених грошей з бейсбольних шапок.

      \(\ \therefore f=\frac{\$ 100-5 h}{4}\)

    2. Використовуючи своє рівняння з (а), визначте кількість бейсболок, які можна купити, якщо було придбано 10 шльопанців.

      Щоб порахувати, скільки шапок можна було б купити, якщо було придбано 10 пар шльопанців, підставляємо 10 в на f, і вирішуємо за ч:

      \ (\\ begin {масив} {l}
      10=\ гідророзриву {100-5 h} {4}\\
      40=100-5 h\
      5 h = 60\\
      h=12
      \ кінець {масив}\)

      Тому, якби було придбано 10 пар шльопанців, залишилися б гроші, щоб купити 12 бейсболок.

    Приклад 6

    Дослідження метаболізму алкоголю послідовно показують, що вміст алкоголю в крові (BAC) знижується лінійно, після швидкого зростання після початкового прийому. В одному дослідженні БАК у людини, що натщесерце підвищився приблизно до 0,018% після одноразового пиття. Через годину рівень знизився до 0,010%.

    Рішення

    Для того, щоб відповісти на питання, ви повинні висловити зв'язок як рівняння, а потім використовувати рівняння.

    Спочатку визначте змінні в функції і створіть таблицю.

    Дві змінні - час і BAC.

    Час НАЗАД
    0 0,018%
    1 0,010%

    Далі розрахуйте швидкість зміни.

    Час НАЗАД Швидкість зміни
    0 0,018% 0
    1 0,010% (0,008%)

    Ця швидкість зміни означає, коли час збільшується на 1, BAC зменшується (оскільки швидкість зміни негативна) на 0,008. Іншими словами, BAC зменшується на 0,008% щогодини. Оскільки нам кажуть, що BAC знижується лінійно, ми можемо припустити, що цифра залишається постійною.

    1. Напишіть рівняння, що відноситься BAC до часу в годинами після вживання t.

      Тепер ми можемо написати рівняння з b, що представляє BAC і t, час у годинами:

      b=−.008t+.018

    2. Припускаючи, що BAC продовжує знижуватися лінійно (тобто з постійною швидкістю зміни), приблизно коли BAC знизиться до 0,002%?

      Щоб дізнатися, коли BAC досягне 0,002%, замініть 0.002 на b і вирішити для t.

      .002=−.008т+.018

      −.016=−.008т

      t=2

      Тому BAC досягне 0,002% через 2 години.


    Рецензія

    1. З 2002 по 2009 рік кількість АЗС в певній країні збільшилася на 100 станцій на рік. У 2004 році налічувалося 1100 АЗС. Напишіть лінійне рівняння для кількості АЗС, (y), як функція часу, (t,) де t = 0 представляє рік 2002.

    Знайдіть вершину наступних квадратичних функцій, а потім графуйте їх.

    1. f (x) = 2х 2 −6х+11
    2. f (x) =3 (х+5) 2 −2

    У місцевому центрі міста 4 липня святкування феєрверків, феєрверк знімається пультом дистанційного керування в повітря з ями в землі, яка знаходиться на 12 футів нижче поверхні землі.

    1. Знайдіть рівняння, яке моделює висоту повітряної бомби t секунд після її пострілу вгору з початковою швидкістю 80 футів/сек. Припустимо, що бомба сповільнюється зі швидкістю 30 футів/сек кожну секунду
    2. Знайдіть вершину квадратичної функції.
    3. Яку максимальну висоту над рівнем землі досягне повітряна бомба?
    4. Скільки секунд після його запуску знадобиться, щоб досягти цієї висоти?
    5. Скеля кидається з вершини будівлі висотою 763 футів. Відстань, у футах, між породою та землею t секунд після її викиду задається d=−16t 2 −2t+763. Як довго після того, як скеля кинута, це 430 футів від землі?
    6. Використовуйте формулу вертикального руху h = −16t 2 +v 0 t+s, щоб знайти кількість секунд, необхідних для того, щоб ракета, запущена з землі зі стартовою швидкістю 96 футів/с, досягла висоти 45 футів. Круглі відповіді до найближчої десятої.
    7. Функція p=0.0089t 2 +1.1149t+78.4491 моделює населення Сполучених Штатів у мільйоні з 1900 року. Використовуйте функцію P для прогнозування року, в якому чисельність населення перевищує 1 мільярд.
    8. Для якого значення x дорівнює f (x) =−10, якщо f (x) =−4x 2 +3x?

    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.17.


    Лексика

    Термін Визначення
    лінійна модель Лінійна модель - це лінійна функція, що представляє ситуацію, яка передбачає постійну швидкість зміни.
    Модель Модель - це математичний вираз або функція, яка використовується для опису фізичного елемента або ситуації.
    квадратична модель Квадратична модель - це функція, що представляє ситуацію зі швидкістю зміни, яка є величиною в квадраті. Графік квадратичної функції - парабола.