Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.3.2: Нескінченні та неіснуючі межі

  • Page ID
    55192
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нескінченні і неіснуючі межі

    Ви не раз чули, що ділити на число 0 «проти правил». Навіть самий базовий калькулятор поверне якусь форму «ERROR», якщо ви спробуєте розділити навіть найменші числа на 0.

    Ви дійсно розумієте, чому це «проти правил»? Що насправді не так, щоб ділити ні на що?


    Нескінченні і неіснуючі межі

    Функції можуть демонструвати ряд різних способів поведінки, оскільки вхідне значення стає дуже великим або дуже малим.

    Коли x наближається ∞, деякі функції виводять значення наближаються і ближче до одного числа, деякі наближаються до нуля, а деякі продовжують ставати більшими, більшими або меншими та меншими без обмежень.

    У цьому уроці ми розглянемо функції останнього типу, функції з нескінченними межами та різні типи асимптотів, які вони можуть мати.


    Приклади

    Приклад 1

    Рішення

    Раніше вам давали питання про ділення на нуль.

    Ділення на нуль є «проти правил», тому що немає визначення відповіді, яку ви б отримали.

    Розглянемо, що відбувається, коли ви берете задане значення і ділите його на менші та менші числа:

    2/10 = 1/5
    2/1 = 2
    2/1 = 20
    2/001 = 2,000
    2/.000000001 = 2 000 000 000

    Коли ми ділимо на поступово менші числа, частка стає все більшою і більшою. Крім того, ми бачимо, що в кожному випадку проблему можна змінити, множивши добуток на дивіденд, щоб отримати дільник, наприклад: 2/.1 = 20 ==> 20 * .1 = 2.

    На жаль, це не працює, якщо ви насправді ділите на 0, навіть якщо ви припускаєте, що ділення на нуль призвело до нескінченності! Незалежно від того, наскільки велике число ви помножите на нуль, навіть нескінченність, ви ніколи не зможете повернутися до 2.

    \(\ \therefore \frac{x}{0}=\text { undefined }\)

    Приклад 2

    Оцініть функцію\(\ h(x)=\frac{x^{2}}{2 x-1}\)

    Ф-Д_451С95076 БАФАФ 40ФД3Е46 КБ68148 ААК 0Д8БА00342263ДЕ3729E513F+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

    Рішення

    Щоб оцінити цю функцію, розглянемо поведінку функції, оскільки для x вставляються більші та більші значення, оскільки x наближається ∞, значення функції також наближаються до ∞. Тому межа функції, коли x наближається ∞, дорівнює:\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x-1}=\infty\). Аналогічно, коли x наближається до −∞, f (x) наближається до −∞. Тому у нас є\(\ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{2}}{2 x-1}=-\infty\).

    Ми також можемо зрозуміти цю межу, якщо проаналізувати рівняння для h (x). Коли х стає все більшим і більшим, значення виразу 2x - 1 стає все ближче і ближче до значення виразу 2x. Тобто при досить великих значеннях х, 2х - 1 ≈ 2х. Тому значення h (x) наближаються\(\ \frac{x^{2}}{2 x}=\frac{x}{2}\).

    Як х стає все більше і більше, так і робить\(\ x\over 2\). Для великих значень x функція h (x) стає все ближче і ближче до\(\ x\over 2\). Тому межа - нескінченність.

    Приклад 3

    Приблизна функція f (x) = x 2 + 2x - 3.

    Рішення

    Ця функція має нескінченну межу, оскільки x наближається до нескінчен Однак, коли x стає більшим і більшим, f (x) ≈ x 2, оскільки значення x 2 зростає набагато швидше, ніж значення 2x, особливо очевидно при дуже великих +/- значеннях х Якщо це не відразу видно, оцініть функцію для x = 1,000,000, і ви швидко отримаєте ідею!

    Тому ми можемо використовувати функцію y = x 2 для опису кінцевої поведінки f (x).

    Приклад 4

    Опишіть поведінку кінця кожного графа. Тобто визначити, чи має функція межа L, якщо межа нескінченна, або якщо межа не існує.

    1. у = х 2
    2. y=2 (−1) х
    3. \(\ y=1-\frac{1}{|x|}\)

    Рішення

    1. Коли x наближається до +∞, x 2 також наближається до +∞. Коли x наближається до −∞, x 2 наближається до +∞. Тому\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2}=\infty\).
    2. Цю функцію важко зрозуміти, не створюючи графіка. Таблиця показує, що функція приймає лише два значення: 2 та -2, і не визначена при нецілих значеннях x. Коли x наближається до +∞ або −∞, значення функції чергуються між 2 та -2. Тому ліміту не існує.
      Ф-Д_310Ф2ЕФ 1Е574 BBFD6367912CB3ФД019С3Е5413ЕФД ФД 267784+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg
    3. Якщо ви подивитеся на таблицю цієї функції, яка має негативні та позитивні значення x, то можна побачити, що коли x наближається до +∞ або −∞, значення функції наближаються до 1.
      Ф-Д_6КК 45ДФ 636515 ЕАД 1436867605А А7517А55АБ34Д5ЕСК02ДКА94E3DF+зображення_крихіткий+зображення_крихіткий.jpg

      Тому\(\ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{|x|}\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{1}{|x|}\right)=1\).

      Ми також можемо визначити цю межу аналітично. Для великих значень x, |x| також є великим, і тому\(\ \frac{1}{|x|}\) є малим (оскільки ділення 1 на велике число призводить до дуже маленького числа). Тому для великих значень\(\ x, 1-\frac{1}{|x|} \approx 1-0=1\). Ми можемо зробити той самий аргумент для x, що наближається до −∞.
    Приклад 5

    Оцінити\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2 x}{x-3}\).

    Рішення

    Чисельник має більший ступінь, ніж знаменник, тому функція не наближається до межі. Знаменником є х - 3, тому граф не може включати 3.

    Приклад 6

    Оцінити −2x 3 −5x 2 +8x.

    Рішення

    −2x 3 −5x 2 +8x є рівнянням 3-го ступеня, тому воно повернеться двічі, оскільки це не є раціональною функцією, немає жодних побоювань щодо чисельника чи знаменника. Функція не матиме меж, і буде рости без обмежень як в позитивному, так і в негативному напрямках. Якщо ви використовуєте графічний калькулятор для графіків функції, ви побачите, що y=x 3 можна використовувати для її наближення.


    Рецензія

    Для питань 1-3: Межа f (x) як x → t не може існувати, якщо які умови істинні? Перерахуйте три умови.

    1. Однією з умов є...
    2. Друга умова - це...
    3. Третя умова - це...
    1. Наведіть приклад ліміту, якого не існує

    Питання 5-7: Якщо припустити, що f (x) є раціональною функцією:

    1. Що таке,\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\) коли ступінь чисельника менше ступеня знаменника?
    2. Що таке,\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\) коли ступені чисельника і знаменника рівні?
    3. Що таке,\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\) коли ступінь чисельника більше ступеня знаменника?
    4. Загалом, якщо r - додатне дійсне число, що таке\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{r}}\)?
    5. Загалом, якщо r - додатне дійсне число, що таке\(\ \lim _{x \rightarrow \infty} x^{r}\)?

    Питання 10-13: Нехай a і b будуть дійсними числами, а t - натуральним числом. Заповніть кожне з наступних властивостей лімітів.

    10. \(\ \lim _{x \rightarrow a} x^{t}=\)

    11. Якщо f - многочлен,\(\ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\)

    12. \(\ \lim _{x \rightarrow a} k \cdot f(x)=\)

    13. \(\ \lim _{x \rightarrow \infty} t^{x}=\)

    Питання 14-16: Оцініть.

    14. \(\ \lim _{x \rightarrow-5} \frac{(5+x)^{2}-25}{x}\)

    15. \(\ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-6 x+2}{x^{2}+2 x-3}\)

    16. \(\ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+3 y)^{-1}-3 y^{-1}}{x}\)


    Огляд (Відповіді)

    Щоб переглянути відповіді на рецензування, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.9.


    Лексика

    Термін Визначення
    Символ «∞» означає «нескінченність», і є абстрактним поняттям, що описує значення, більше будь-якого зліченного числа.
    Асимптоти Асимптота - це рядок на графіку функції, що представляє значення, до якого функція може наблизитися, але не досягати (за деякими винятками).
    нескінченна межа Функція має нескінченну межу, якщо її вихід наближається до нескінченності або негативної нескінченності, оскільки для вхідної змінної обчислюються дуже великі або дуже малі значення (зазвичай «x»).
    нескінченність Нескінченність - це необмежена величина, яка більша за будь-яке підрахункове число. Символ нескінченності - ∞.
    межа Межа - це значення, до якого наближається вихід функції, коли вхід функції наближається до заданого значення.