1.10: Короткий зміст логіки пропозиції

10. Короткий зміст логіки пропозиції

10.1 Елементи мови

• Принцип бівалентності: кожне речення є або істинним, або хибним, ніколи не обидва, ніколи ні.
• Кожне атомне речення - це речення.
• Синтаксис: якщо Φ і ψ є реченнями, то наступні також пропозиції
  • ¬ Φ
  • (Φ → ψ)
  • (Φ ^ ψ)
  • (Φ v ψ)
  • (Φ ↔ ψ)
• Семантика: якщо Φ і ψ є реченнями, то значення сполучних повною мірою задаються їх таблицями істинності. Ці таблиці істинності:

Φ	¬Φ
Т	F
F	Т

Φ	ψ	(Φ→ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	Т
F	F	Т

Φ	ψ	(Φ ^ ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	F

Φ	ψ	(Φ v ψ)
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Φ	ψ	(Φ ↔ ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	Т

• Речення логіки пропозиції, яке повинно бути істинним, - це тавтологія.
• Речення, яке повинно бути помилковим, є суперечливим реченням.
• Речення, яке не є ні тавтологією, ні суперечливим реченням, - це умовний вирок.
• Два речення Φ і ψ еквівалентні або логічно еквівалентні, коли (Φ ↔ ψ) - теорема.

10.2 Міркування з мовою

• Аргумент - це упорядкований список пропозицій, одне речення якого ми називаємо «висновком», а інші з яких ми називаємо «приміщеннями».
• Допустимим аргументом є аргумент, в якому: обов'язково, якщо приміщення істинні, то висновок вірний.
• Звуковий аргумент - це вагомий аргумент з істинними передумовами.
• Правила висновку дозволяють нам записати речення, яке повинно бути істинним, припускаючи, що деякі інші речення є істинними. Ми говоримо, що нове речення є «похідним від» тих інших речень, що використовують правило висновку.
• Схематично ми можемо виписати правила висновку наступним чином (подумайте про них як про те, якщо ви написали речення над рядком, то ви можете написати речення нижче рядка):

Модус полененс	Модус Толленс	Подвійне заперечення	Подвійне заперечення
(Φ→ψ) Φ _____ ψ	(Φ→ψ) ¬ψ _____ ¬Φ	Φ _____ ¬¬Φ	¬¬Φ _____ Φ
Додавання	Додавання	Модус Толлендо Поненс	Модус Толлендо Поненс
Φ _____ (Φ v ψ)	ψ _____ (Φ v ψ)	(Φ v ψ) ¬Φ _____ ψ	(Φ v ψ) ¬ψ _____ Φ
примикання	Спрощення	Спрощення	Біумова
Φ ψ _____ (Φ ^ ψ)	(Φ ^ ψ) _____ Φ	(Φ ^ ψ) _____ ψ	(Φ→ψ) (→ Φ) _____ (Φ ↔ ψ)
Еквівалентність	Еквівалентність	Еквівалентність	Еквівалентність
(Φ ↔ ψ) Φ _____ ψ	(Φ ↔ ψ) ψ _____ Φ	(Φ ↔ ψ) ¬Φ _____ ¬ψ	(Φ ↔ ψ) ¬ψ _____ ¬Φ

• Доказ (або деривація) - синтаксичний метод для показу аргументу є дійсним. Наша система має три види доказів (або деривації): пряме, умовне та непряме.
• Пряме доказ (або пряме виведення) - це впорядкований список речень, в якому кожне речення є або передумовою, або походить від попередніх рядків, використовуючи правило висновку. Останній рядок доказу - висновок.
• Умовне доказ (або умовне деривація) - це упорядкований список пропозицій, в якому кожне речення є або передумовою, є спеціальним припущенням для умовного похідного, або походить від попередніх рядків за допомогою правила висновку. Якщо припущення для умовного деривації дорівнює Φ, і ми виведемо як якийсь крок у доведенні ψ, то ми можемо записати після цього (Φ → ψ) як наш висновок.
• Непрямим доказом (або непрямим похідним, а також відомим як reductio ad absurdum) є: впорядкований список речень, в якому кожне речення є або 1) передумовою, 2) спеціальним припущенням для непрямого похідного (також іноді називають «припущенням для скорочення»), або 3) похідним від попередніх рядків, використовуючи a правило умовиводу. Якщо наше припущення про непряме виведення становить ¬ Φ, і ми виведемо як якийсь крок у доказі ψ, а також як якийсь крок нашого доказу ¬ ψ, то робимо висновок, що Φ.
• Ми можемо використовувати смуги Fitch, щоб виписати три схеми доказів наступним чином:

\ [\ fitchctx {\ pline {\ phi}\\ ellipsesline\\ pline {\ psi}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота ="99" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...b948214_l3.png "/>

\ [\ fitchctx {\ subproof {\ pline {\ phi}} {\ ellipsesline\\ pline {\ psi}\ fpline {(\ phi\ lif\ psi)}\]» клас = "ql-img-відображений-рівняння швидкого латексу автоформату» висота ="139" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...973707f_l3.png "/>

\ [\ fitchctx {\ subproof {\ lnot\ phi}} {\ ellipsesline\\\ pline {\ psi}\\ лінія {\ lnot\ psi}}\ fpline {\ phi}\]» клас = "ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота ="161" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...8d20cfa_l3.png "/>

• Речення, яке ми можемо довести без передумов, - це теорема.
• Припустимо, Φ - теорема, і вона містить атомні речення P 1... P n. Якщо ми замінюємо кожне входження одного з цих атомних речень P i в Φ іншим реченням ψ, отримане речення також є теоремою. Це можна повторити для будь-яких атомних речень в теоремі.