1.9: «... якщо і тільки якщо...», Використання теорем

9. «... якщо і тільки якщо...», Використовуючи теореми

9.1 Історичний приклад

Філософ Девід Юм (1711-1776) пам'ятається тим, що він блискучий скептичний емпірик. Людина скептично ставиться до теми, якщо ця людина має дуже суворі стандарти щодо того, що становить знання про цю тему, а також вважає, що ми не можемо відповідати цим суворим стандартам. Емпіризм - це думка, що ми насамперед отримуємо знання через досвід, особливий досвід наших почуттів. У своїй книзі «Запит щодо розуміння людини» Юм викладає свої принципи знання, а потім радить нам очистити наші бібліотеки:

Коли ми бігаємо над бібліотеками, переконуючи ці принципи, який хаос ми повинні зробити? Якщо ми візьмемо в руки будь-який обсяг божественності або шкільної метафізики, наприклад, запитаємо, чи містить він якісь абстрактні міркування щодо кількості чи числа? Ні. Чи містить він якісь експериментальні міркування щодо факту та існування? Ні. Здійсніть його потім до полум'я, бо воно не може містити нічого, крім софістики та ілюзії. ^[11]

Юм вважав, що єдиними джерелами знань були логічні або математичні міркування (які він називає вище «абстрактними міркуваннями щодо кількості чи числа») або чуттєвий досвід («експериментальне міркування щодо питання факту та існування»). Юм змушує стверджувати, що будь-які претензії, не засновані на тому чи іншому методі, нікчемні.

Ми можемо реконструювати аргумент Юма наступним чином. Припустимо, це якась тема, про яку ми стверджуємо, що маємо знання. Припустимо, що ми отримали ці знання не з досвіду або логіки. Написаний англійською мовою, ми можемо реконструювати його аргумент наступним чином:

Ми маємо знання про t тоді і лише тоді, коли наші твердження про t вивчені з експериментальних міркувань або з логіки чи математики.

Наші твердження про це не дізналися з експериментальних міркувань.

Наші твердження про це не вивчені ні з логіки, ні з математики.

_____

Ми не маємо знань про т.

Що означає ця фраза «якщо і тільки якщо»? Філософи вважають, що вона, і кілька синонімічних фраз, використовуються часто в міркуваннях. Залишивши «if and only» незрозумілим поки що, ми можемо використовувати наступний ключ перекладу, щоб записати аргумент у поєднанні нашої логіки пропозиції та англійської мови.

П: Ми маємо знання про т.

З: Наші твердження про це дізнаються з експериментальних міркувань.

Р: Наші твердження про це вивчаються з логіки чи математики.

І так ми маємо:

P якщо і тільки якщо (qVr)

¬Q

¬R

_____

¬П

Наше завдання - додати до нашої логічної мови еквівалент «якщо і тільки якщо». Тоді ми можемо оцінити цю переформулювання аргументу Юма.

9.2 Біумовні

Перш ніж ввести символ, синонім «якщо і тільки якщо», а потім викладемо його синтаксис і семантику, слід почати з спостереження. Фраза на кшталт «P, якщо і тільки якщо Q», здається, є скороченим способом сказати «P, якщо Q і P, тільки якщо Q». Як тільки ми помічаємо це, нам не потрібно намагатися розрізнити значення «якщо і тільки якщо», використовуючи наше експертне розуміння англійської мови. Натомість ми можемо розрізнити значення «якщо і тільки тоді», використовуючи наші вже суворі визначення «якщо», «і» і «тільки якщо». Зокрема, «P, якщо Q та P, лише якщо Q» буде перекладено «((Q → P) ^ (P→Q))». (Якщо вам це незрозуміло, поверніться назад і перегляньте розділ 2.2.) Тепер давайте складемо таблицю істинності для цієї формули.

П	Q	(Q → П)	(Р → Q)	((Q → P) ^ (Р → Q)
Т	Т	Т	Т	Т
Т	F	Т	F	F
F	Т	F	Т	F
F	F	Т	Т	Т

Ми врегулювали семантику для «якщо і тільки якщо». Тепер ми можемо ввести новий символ для цього виразу. Традиційно використовувати подвійну стрілку «↔». Тепер ми можемо висловити синтаксис і семантику «↔».

Якщо Φ і ψ - речення, то

(Φ ↔ ψ)

це вирок. Такий вид речення зазвичай називають «біумовним».

Семантику дає наступна таблиця істинності.

Φ	ψ	(Φ ↔ ψ)
Т	Т	Т
Т	F	F
F	Т	F
F	F	Т

Один приємний результат нашого розповіді про біумовність полягає в тому, що він дозволяє нам стисло пояснити синтаксичне поняття логічної еквівалентності. Ми говоримо, що два речення Φ і ψ є «еквівалентними» або «логічно еквівалентними», якщо (Φ ↔ ψ) - теорема.

9.3 Альтернативні фрази

В англійській мові здається, що існує кілька фраз, які зазвичай мають те саме значення, що і біумовні. Кожне з наступних речень буде перекладено як (P ↔ Q).

P якщо і тільки якщо Q.

P про всяк випадок Q.

P необхідний і достатній для Q.

P еквівалентно Q.

9.4 Міркування з біумовним

Як ми можемо міркувати, використовуючи біумовний? Спочатку, здавалося б, запропонувати мало вказівок. Якщо я знаю, що (P ↔ Q), я знаю, що P і Q мають однакове значення істини, але лише з цього речення я не знаю, чи вони обидва істинні чи обидва хибні. Тим не менш, ми можемо скористатися семантикою для біумовного, щоб спостерігати, що якщо ми також знаємо істинну цінність одного з речень, що складають біумовне, то ми можемо отримати істинну цінність іншого речення. Це говорить про простий набір правил. Насправді це буде чотири правила, але ми згрупуємо їх разом під єдиною назвою «еквівалентність»:

(Φ ↔ ψ)

Φ

_____

ψ

і

(Φ ↔ ψ)

ψ

_____

Φ

і

(Φ ↔ ψ)

¬Φ

_____

¬ψ

і

(Φ ↔ ψ)

¬ψ

_____

¬Φ

Що робити, якщо ми натомість намагаємося показати двозастережні? Тут ми можемо повернутися до розуміння того, що біумовне (Φ ↔ ψ) еквівалентно ((Φ→ψ) ^ (→ Φ)). Якби ми могли довести як (Φ→ψ), так і (→ Φ), ми будемо знати, що (Φ ↔ ψ) має бути істинним.

Ми можемо назвати це правило «біумовою». Вона має наступну форму:

(Φ→ψ)

(→ Φ)

_____

(Φ ↔ ψ)

Це означає, що часто, коли ми прагнемо довести двозастережну, ми зробимо дві умовні похідні, щоб вивести два умовні, а потім використовувати правило біумов. Тобто багато доказів двоумовних мають наступний вигляд:

\ [\ fitchctx {\ підзахисний {\ лінія {\ phi}} {\ еліпссілайн\\ лінія {\ psi}}\ fline {(\ phi\ lif\ PSI)}\\ підзахисна {\ лінія {\ psi}} {\ ellipsesline\\ pline {\ phi}}\ fpline {\ PSI\ lif\ phi)}\\ pline {(\ phi\ liff\ psi)}\]» клас = "ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» height="281" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «92" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...d62b690_l3.png "/>

9.5 Повернення до Хьюма

Тепер ми можемо побачити, чи зможемо ми довести аргумент Юма. Враховуючи тепер новий двоумовний символ, ми можемо почати прямий доказ з наших трьох приміщень.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ liff (Q\ або R))} [приміщення]\\ pline [2.] {\ not Q} [приміщення]\\\ рядок [3] {\ lnot R} [приміщення]\\} {}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «121" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «422" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...2f81177_l3.png "/>

Ми вже спостерігали, що вважаємо (qVR) помилковим, оскільки ¬Q і ¬R. Отже, давайте доведемо ¬ (qVr). Це речення не може бути доведено безпосередньо, враховуючи передумови, які ми маємо; і це не може бути доведено умовним доказом, оскільки воно не є умовним. Отже, давайте спробуємо непрямий доказ. Ми вважаємо, що ¬ (qVR) вірно, тому припустимо заперечення цього і покажемо протиріччя.

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {(P\ liff (Q\ або R))} [приміщення]\\ pline [2.] {\ not Q} [приміщення]\\\ рядок [3] {\ lnot R} [приміщення]\\} {\ незахищений {\ рядок [4] {\ not\ not (Q\ or R)} [припущення для непрямого похідного]} {\ лінія [5]. {(Q\ lor R)} [подвійне заперечення, 4]\\\ pline [6.] {R} [режим полендо, 5, 2]\\\ pline [7] {\ not R} [повторення, 3]}\ рядок [8] {\ not (Q\ або R)} [непрямий доказ, 4-7]\\\ лінія [9] {\ lnot P} [еквівалентність, 1, 8]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «249" title="Відображено QuickLatex.com» width="626" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...0da456a_l3.png "/>

Аргумент Юма, принаймні, коли ми його реконструювали, є дійсним.

Чи звучить аргумент Хьюма? Чи звук це залежить від першої передумови вище (оскільки друге і третє приміщення є абстракціями на якусь тему t). Зокрема, це залежить від твердження, що ми маємо знання про щось на всякий випадок, якщо ми можемо показати це експериментом або логікою. Х'юм стверджує, що ми повинні недовіряти - справді, ми повинні спалювати тексти, що містять - твердження, які не є експериментом та спостереженням, або з логіки та математики. Але врахуйте це твердження: ми маємо знання про тему t тоді і тільки в тому випадку, якщо наші претензії про t дізналися з експерименту або наші твердження про t вивчені з логіки або математики.

Х'юм виявив це твердження через експерименти? Або він виявив це за допомогою логіки? Яка доля постраждала б книга Юма, якби ми скористалися його порадою?

9.6 Деякі приклади

Це може бути корисно довести деякі теореми, які використовують біумовні, щоб проілюструвати, як ми можемо міркувати з біумовним.

Ось корисний принцип. Якщо два речення мають таку ж істинну цінність, як і третє речення, то вони мають таку ж істинну цінність, як і один одного. Ми стверджуємо це як (((P ↔ Q) ^ (R ↔ Q)) → (P ↔ R)). Щоб проілюструвати міркування з біумовним, доведемо цю теорему.

Ця теорема є умовною, тому зажадає умовного виведення. Наслідком умовного є двозастережним, тому ми очікуємо, що знадобляться два умовні похідні, один для доведення (P → R) і один для доказу (R→P). Доказ буде виглядати наступним чином. Вивчіть його уважно.

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ лінія [1.] {(P\ liff Q)\ земля (R\ liff Q))} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [2.] {(P\ liff Q)} [спрощення, 1]\\\ pline [3.] {(R\ liff Q)} [спрощення, 1]\\\ підзахисний {\ pline [4.] {P} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [5.] {Q} [еквівалентність, 2, 4]\\\ pline [6.] {R} [еквівалентність, 3, 5]\\}\ pline [7.] {(P\ lif R)} [умовне деривація, 4-6]\\\ підзахисний {\ pline [8.] {R} [припущення для умовного похідного]} {\ pline [9.] {Q} [еквівалентність, 3, 8]\\\ pline [10.] {R} [еквівалентність, 2, 9]\\}\ pline [11.] {(R\ lif P)} [умовне деривація, 8-10]\\ pline [12.] {(P\ liff R)} [біумова, 7, 11]\\}\ pline [13.] {(((P\ liff Q)\ земля (R\ liff Q))\ lif (P\ liff R))} [умовне похідне 1-12]\\}\]» клас = "ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «461" назва = "461" назва = «Відображено QuickLatex.com» width="654" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...1853a7099180bf 3adf_l3.png "/>

Ми згадували раніше принципи, які ми пов'язуємо з математиком Августом Де Морганом (1806-1871), і які сьогодні називаються «Закони Де Моргана» або «Еквіваленти Де Моргана». Це визнання того, що ¬ (PvQ) і (¬P^¬Q) еквівалентні, а також те, що ¬ (P^Q) і (¬Pv¬q) еквівалентні. Тепер ми можемо висловити їх за допомогою двозастережного. Нижче наведені теореми нашої логіки:

(¬ (PvQ) ↔ (¬P ^ ¬Q))

(¬ (P ^ Q) ↔ (¬пв¬q))

Доведемо другу з цих теорем. Це, мабуть, найскладніший доказ, який ми бачили; він вимагає вкладених непрямих доказів та неабиякої кмітливості у пошуку того, що буде відповідним протиріччям.

\ [\ fitchprf {} {\ підзахисний {\ лінія [1.] {\ lnot (P\ land Q)} [припущення для умовного деривації]} {\ subproof {\ pline [2] {\ not (\ not P\ або\ not Q)} [припущення для непрямого похідного]} {\ subproof {\ pline [3]. {\ not P} [припущення для непрямої деривації]} {\ line [4.] {(\ not P\ або\ not Q)} [додавання, 3]\\\ рядок [5] {\ not (\ not P\ або\ not Q)} [повторити, 2]\\}\ рядок [6] {P} [непряме деривація, 3-5]\\\ субдоказ {\ pline [7.] {\ not Q} [припущення для непрямого похідного]} {\ рядок [8]. {(\ not P\ або\ not Q)} [додавання, 7]\\\ рядок [9] {\ not (\ not P\ або\ not Q)} [повторити, 2]\\}\ рядок [10] {Q} [непряма деривація, 6-9]\\ рядок [11.] {(P\ земля Q)} [примикання, 6, 10]\\\ pline [12.] {\ not (P\ and Q)} [повторити, 1]\\}\ рядок [13] {(\ not P\ або\ not Q)} [непряме похідне, 2-12]\\}\ рядок [14]. {(\ lnot (P\ land Q)\ lif (\ not P\ або\ not Q))} [умовне похідне, 1-13]\\\ підзахисна {\ лінія [15.] {(\ not P\ або\ not Q)} [припущення для умовного похідного]} {\ subproof {\ pline [16.] {\ not\ not (P\ land Q)} [припущення для непрямого похідного]} {\ лінія [17.] {(P\ Land Q)} [подвійне заперечення 16]\\\ pline [18.] {P} [спрощення, 17]\\\ pline [19.] {\ lnot\ not P} [подвійне заперечення, 18]\\\ рядок [20] {\ not Q} [режим полендо, 15, 19]\\\ рядок [21] {Q} [спрощення, 17]\\}\ plline [22.] {\ not (P\ land Q)} [непряме похідне 16-21]\\}\ рядок [23]. {(\ not P\ або\ not Q)\ lif\ not (P\ земля Q))} [умовне похідне, 15-22]\\\ рядок [24]. {(\ lnot (P\ land Q)\ liff (\ не P\ або\ lnot Q))} [біумова,14, 23]\\}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «822" title="Відображено QuickLatex.com» width="653" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...8147e7e_l3.png» />

9.7 Використання теорем

Кожне речення нашої логіки, в смисловому сенсі, одне з трьох видів. Це або тавтологія, суперечливе речення, або умовне вирок. Ми вже визначили «тавтологію» (речення, яке повинно бути істинним) та «суперечливе речення» (речення, яке повинно бути помилковим). Умовне вирок - це речення, яке не є ні тавтологією, ні суперечливим реченням. Таким чином, умовне речення - це речення, яке може бути істинним, а може бути помилковим.

Ось приклад кожного виду речення:

(Пв¬п)

(П ↔ ¬П)

П

Перша - тавтологія, друга - суперечливе речення, а третє - контингентне. Ми можемо побачити це за допомогою таблиці правди.

П	¬П	(Пв¬п)	(П ↔ ¬П)	П
Т	F	Т	F	Т
F	Т	Т	F	F

Зверніть увагу, що заперечення тавтології - це протиріччя, заперечення протиріччя - тавтологія, а заперечення умовного речення - умовне вирок.

¬ (Пв¬п)

¬ (П ↔ ¬П)

¬П

П	¬П	(Пв¬п)	¬ (Пв¬п)	(П ↔ ¬П)	¬ (П ↔ ¬П)
Т	F	Т	F	F	Т
F	Т	Т	F	F	Т

Рефлексія моменту покаже, що було б досить катастрофою, якби суперечливе речення або умовне речення були теоремою нашої логіки пропозиції. Наша логіка була покликана виробляти тільки вагомі аргументи. Аргументи, які не мають передумов, ми спостерігали, повинні мати висновки, які повинні бути правдивими (знову ж таки, це випливає, оскільки речення, яке можна довести без приміщень, може бути доведено будь-якими приміщеннями, і тому краще було б бути правдою незалежно від того, які приміщення ми використовуємо). Якби теорема була суперечливою, ми б знали, що можемо довести неправду. Якби теорема була контингентною, то іноді ми могли б довести неправду (тобто ми могли б довести речення, яке за деяких умов є помилковим). І, враховуючи, що ми прийняли непряму деривацію як метод доказування, випливає, що як тільки ми маємо протиріччя або суперечливе речення в аргументі, ми можемо довести що завгодно.

Теореми можуть бути дуже корисними для нас в аргументах. Припустимо, ми знаємо, що ні Сміт, ні Джонс не поїдуть до Лондона, і ми хочемо довести, отже, що Джонс не поїде в Лондон. Якби ми дозволили собі використовувати одну з теорем Де Моргана, ми могли б швидко працювати над аргументом. Припустимо наступну клавішу.

П: Сміт поїде до Лондона.

Q: Джонс поїде до Лондона.

І у нас є наступний аргумент:

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {\ not (P\ або Q)} [приміщення]\\} {\ рядок [2] {(\ lnot (P\ або Q)\ liff (\ не P\ земля\ не Q))} [теорема]\\ pline [3.] {(\ не P\ земля\ не Q)} [еквівалентність, 2, 1]\\\ pline [4.] {\ not Q} [спрощення, 3]\\}\\]» class="q"l-img-відображений-рівняння швидкого латексного автоматичного формату» висота = «143" title="Відображено QuickLatex.com» ширина = «489" src =» https://human.libretexts.org/@api/de...2c33c34_l3.png "/>

Це доказ було зроблено дуже легко завдяки використанню теореми в рядку 2.

Є дві речі, які слід зазначити з цього приводу. По-перше, ми повинні дозволити собі це зробити, тому що якщо ми знаємо, що речення є теоремою, то ми знаємо, що ми могли б довести цю теорему в піддоказі. Тобто ми могли б замінити рядок 2 вище довгим піддоказом, який доводить (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)), який ми могли б потім використовувати. Але якщо ми впевнені, що (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)) є теоремою, нам не потрібно робити це доказ знову і знову, кожного разу, коли ми хочемо використовувати теорему.

Друге питання, яке ми повинні визнати, є більш тонким. Є нескінченно багато речень у формі нашої теореми, і ми повинні мати можливість використовувати їх також. Наприклад, кожне з наступних речень матиме доказ, ідентичний нашому доказу теореми (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)), за винятком того, що літери будуть різними:

(¬ (R v S) ↔ (¬R ^ ¬S))

(¬ (Т в У) ↔ (¬Т ^ ¬У))

(¬ (V v W) ↔ (¬V ^ ¬W))

Сподіваюся, це очевидно. Візьміть доказ (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)), і в цьому доказ замініть кожен екземпляр P на R, а кожен екземпляр Q на S, і у вас буде доказ (¬ (R v S) ↔ (¬R ^ ¬S)).

Але ось щось, що, можливо, менш очевидно. Кожне з наступного можна вважати подібним до теореми (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)).

(¬ ((П ^ Q) v (R^S)) ↔ (¬ (П^Q) ^ ¬ (R^S))

(¬ (Т v (Q v V)) ↔ (¬Т ^ ¬ (Q v V))

(¬ (Q ↔ Р) v (¬R→¬Q)) ↔ (¬ (Q ↔ Р) ^ ¬ (¬R→¬Q))

Наприклад, якби взяв доказ (¬ (P v Q) ↔ (¬P ^ ¬Q)) і замінити кожен початковий екземпляр P на (Q ↔ P), а кожен початковий екземпляр Q на (¬R→¬Q), то мав би доказ теореми (¬ (Q ↔ P) v (¬R→¬Q) ↔ (¬ (Q ↔ P) ^ ¬ (¬R→Q) ¬Q) )).

Ми могли б зафіксувати це розуміння двома способами. Ми могли б викласти теореми нашої метамови і дозволити, що вони мають екземпляри. Таким чином, ми могли б прийняти (¬ (Φ v ψ) ↔ (¬Φ ^ ¬ψ)) як теорему метамови, в якій ми могли б замінити кожне Φ реченням, а кожне ψ реченням і отримати певний екземпляр теореми. Альтернатива полягає в тому, щоб дозволити, що з теореми ми можемо виробляти інші теореми шляхом підстановки. Для зручності ми візьмемо цю другу стратегію.

Наше правило буде таким. Як тільки ми доведемо теорему, ми можемо навести її на доказ у будь-який час. Наше обгрунтування полягає в тому, що твердження є теоремою. Ми дозволяємо підміну будь-якого атомного речення в теоремі будь-яким іншим реченням тоді і лише тоді, коли ми замінюємо кожен початковий екземпляр цього атомного речення в теоремі тим самим реченням.

Перш ніж розглядати приклад, вигідно перерахувати деякі корисні теореми. Теорем нашої мови нескінченно багато, але ці десять часто дуже корисні. Кілька ми довели. Решта можуть бути доведені як вправа.

Т1 (П в ¬П)

Т2 (¬ (П → Q) ↔ (Р ^ ¬Q)

Т3 (¬ (П v Q) ↔ (¬П ^ ¬Q))

Т4 ((¬П v ¬Q) ↔ ¬ (Р ^ Q)

Т5 (¬ (П ↔ Q) ↔ (Р ↔ ¬Q)

Т6 (¬П → (Р → Q)

Т7 (Р → (Q → П)

Т8 ((Р → (Q → R) → ((Р → Q) → (Р → Р))

Т9 ((¬П → ¬Q) → ((¬P → Q) →П)

T10 ((Р → Q) → (¬Q → ¬П)

Деякі приклади дозволять зрозуміти перевагу використання теорем. Розглянемо інший аргумент, спираючись на вищеописаний. Ми знаємо, що також не так, що якщо Сміт поїде до Лондона, він поїде до Берліна, а також не так, що якщо Джонс поїде до Лондона, він поїде до Берліна. Ми хочемо довести, що Джонс поїде до Берліна не так. Додаємо до нашого ключа наступне:

Р: Сміт поїде до Берліна.

С: Джонс поїде до Берліна.

І у нас є наступний аргумент:

\ [\ fitchprf {\ лінія [1] {\ not ((P\ lif R)\ або (Q\ lif S))} [передумова]\\} {\ лінія [2] {\ зламаної форми {(\ lnot ((P\ lif R)\ lor (Q\ lif S))\ liff} {\ lnot (P\ lif R)\ земля\ lnot (Q\ lif S))}}} [теорема T3]\\ pline [3.] {(\ lnot (P\ lif R)\ земля\ lnot (Q\ lif S))} [еквівалентність, 2, 1]\\ pline [4.] {\ lnot (Q\ lif S)} [спрощення, 3]\\\ pline [5.] {(\ lnot (Q\ lif S)\ liff (Q\ земля\ не S))} [ Теорема Т2]\\\ pline [6.] {(Q\ земля\ не S)} [еквівалентність, 5, 4]\\\ лінія [7.] {\ lnot S} [спрощення, 6]}\]» клас = «ql-img-відображений-рівняння швидкого латекс-автоформату» висота = «209" title="Відображено QuickLatex.com» width="489" src=» https://human.libretexts.org/@api/de...6b03821_l3.png "/>

Використання теорем зробило цей доказ набагато коротшим, ніж могло б бути інакше. Крім того, теореми часто полегшують доказ, оскільки ми визнаємо теореми як тавтології - як речення, які повинні бути правдивими.

9.8 Проблеми

1. Доведіть, що кожен з наступних аргументів є дійсним.
   1. Приміщення: P, ¬Q. Висновок: ¬ (Р ↔ Q).
   2. Приміщення: (¬PVQ), (Pv¬q). Висновок: (Р ↔ Q).
   3. Приміщення: (П ↔ Q), (R ↔ S). Висновок: ((P ^ R) ↔ (Q ^ S)).
2. Доведіть кожну з наступних теорем.
   1. Т1
   2. T2
   3. Т5
   4. Т6
   5. Т7
   6. T8
   7. Т9
   8. ((P^Q) ↔ ¬ (¬Pv¬q))
   9. ((Р → Q) ↔ ¬ (Р^¬Q))
3. У звичайній розмовній англійській мові напишіть свій власний вагомий аргумент принаймні з двома передумовами, і з висновком, який є двозастережним. Ваш аргумент повинен бути просто абзацом (а не впорядкованим списком речень або чимось іншим, що виглядає формально, як логіка). Переведіть його в логіку пропозиції і доведіть, що вона дійсна.

---

[11] З запиту Юма щодо розуміння людини, с.161 у Селбі-Бігге та Ніддіч (1995 [1777]).