Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

Розділ 6: Ідентичність

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    52236

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розглянемо це речення:

    35. Павло заборгував гроші всім іншим.

    Нехай УД будуть людьми; це дозволить нам перевести «всіх» як універсального кількісного показника. Нехай\(Oxy\) означає «\(x\)заборгував гроші\(y\)», а нехай\(p\) означає Павло. Тепер ми можемо символізувати речення 35\(xOpx\) як На жаль, цей переклад має деякі дивні наслідки. У ній йдеться про те, що гроші Павло зобов'язаний кожному члену УД, в тому числі і Павлу; це тягне за собою, що Павло заборгував гроші самому собі. Однак вирок 35 не говорить про те, що Павло заборгував гроші самому собі; він повинен гроші всім іншим. Це проблема, тому що\(xOpx\) є найкращим перекладом, який ми можемо дати цього речення на QL.

    Рішення полягає в тому, щоб додати ще один символ в QL. Символ '=' є двомісним присудком. Так як він має особливе логічне значення, запишемо його трохи по-іншому: для двох членів\(t\) 1 і\(t\) 2\(t\) 1 =\(t\) 2 - атомна формула.

    Присудок\(x\) =\(y\) означає '\(x\)ідентичний\(y\).' Це не означає лише те, що\(x\) і не\(y\) відрізняються, або що всі ті ж присудки вірні для них. Швидше, це означає, що\(x\) і\(y\) є одним і тим же.

    Коли ми пишемо\(x\) ≠\(y\), ми маємо на увазі, що\(x\) і\(y\) не ідентичні. Немає підстав вводити це як додатковий присудок. Замість цього\(x\) ≠\(y\) є абревіатурою ¬ (\(x\)=\(y\)).

    Тепер припустимо, що ми хочемо символізувати це речення:

    36. Павло - Містер Чеков.

    Нехай постійна\(c\) означає пан Чеков. Речення 36 можна символізувати як\(p\) =\(c\). Це означає, що константи\(p\) і\(c\) обидва відносяться до одного і того ж хлопця.

    Це все добре і добре, але як це допомагає з реченням 35? Це речення можна перефразувати так: «Кожен, хто не є Павлом, повинен гроші Павло». Це структура речення, яку ми вже знаємо, як символізувати: «Бо всіх\(x\), якщо\(x\) не Павло,\(x\) то заборгував гроші Павлу». У QL з ідентичністю це стає\(x\) (\(x\)≠\(p\) →\(Opx\)).

    Окрім речень, які використовують слово «else», ідентичність буде корисною при символізації деяких речень, які містять слова «крім» та «тільки». Розглянемо такі приклади:

    37. Ніхто крім Павла не заборгував гроші Хікару.
    38. Тільки Павло винен Хікару гроші.

    Додаємо константу\(h\), що означає Хікару.

    Речення 37 можна перефразувати як: «Ніхто, хто не є Павлом, не повинен гроші Хікару». Це можна перекласти як\(x\) ¬(\(x\) ≠\(p\) &\(Oxh\)).

    Речення 38 можна перефразувати як: «Павло винен Хікару, і ніхто, крім Павла, не винен Хікару гроші». Ми вже перевели один із кон'юнктів, а інший - прямолінійний. Речення 38 стає\(Oph\)\(x\) &¬(\(x\) ≠\(p\) &\(Oxh\)).

    Вирази кількості

    Ми також можемо використовувати ідентичність, щоб сказати, скільки речей є певного роду. Наприклад, розглянемо такі пропозиції:

    39. На столі є хоча б одне яблуко.
    40. На столі є як мінімум два яблука.
    41. На столі є як мінімум три яблука.

    Нехай UD будуть речі на столі, і нехай Сокира означає «\(x\)це яблуко».

    Речення 39 не вимагає ідентичності. Це може бути перекладено адекватно як\(xAx\): Є яблучко на table— можливо, багато, але принаймні один.

    Можливо, буде спокусливо також перекласти речення 40 без ідентичності. Однак розглянемо речення\(x\)\(y\) (\(Ax\)&\(Ay\)). Це означає, що\(x\) в UD є яблучко і яблучко\(y\) в UD. Оскільки ніщо не заважає\(x\) і\(y\) вибирати один і той же член UD, це було б правдою, навіть якби було лише одне яблуко. Для того щоб переконатися, що є два різних яблука, нам потрібен присудок ідентичності. Речення 40 має сказати, що два яблука, які існують, не однакові, тому його можна перекласти як\(y\) (\(Ax\)\(Ay\)&\(x\) ≠\(y\)).\(x\)

    Речення 41 вимагає говорити про три різних яблука. Його можна перекласти як\(x\)\(z\) (\(y\)&\(Ax\) &\(x\) ≠\(Ay\)\(Az\) & ≠\(y\) &\(y\) ≠\(z\) &\(x\) ≠\(z\)).

    Продовжуючи таким чином, ми могли б перекласти «На столі є принаймні\(n\) яблука». Існує короткий виклад того, як символізувати подібні речення на стор. 151.

    Тепер розглянемо такі пропозиції:

    42. На столі є щонайменше одне яблуко.
    43. На столі є не більше двох яблук.

    Речення 42 можна перефразувати як: «Це не так, що на столі є принаймні два яблука». Це всього лише заперечення речення 40:

    \(x\)\(y\)¬(\(Ax\) &\(Ay\) &\(x\) ≠\(y\))

    До пропозиції 42 можна підійти і по-іншому. Це означає, що будь-які яблука, які є на столі, повинні бути однойменними яблуками, тому його можна перекласти\(x\) як «\(y\)[(\(Ax\)&\(Ay\)) →\(x\) =\(y\)]. Два переклади логічно еквівалентні, тому обидва є правильними.

    Аналогічним чином речення 43 можна перекласти двома еквівалентними способами. Це можна перефразувати як: «Це не так, що існує три або більше різних яблук», тому це можна перекласти як заперечення речення 41. Використовуючи універсальні квантифікатори, його також можна перекласти як

    ??\(x\)??\(y\)??\(z\)???\(Ax\)??\(Ay\)??\(Az\)?????\(x\)??\(y\)??\(x\)??\(z\)?\(y\)??\(z\)?????

    Наведені вище приклади є реченнями про яблука, але логічна структура речень перекладає математичні нерівності на кшталт\(a\) ≥ 3,\(a\) ≤ 2 тощо. Ми також хочемо мати можливість перекладати твердження рівності, які точно говорять про те, скільки речей існує. Наприклад:

    44. На столі рівно одне яблуко.
    45. На столі рівно два яблука.

    Речення 44 можна перефразувати як: «На столі є принаймні одне яблуко, а на столі є щонайменше одне яблуко». Це лише сполучник речення 39 та речення 42:\(xAx\)\(x\)\(y\) &[ (\(Ax\)&\(Ay\)) →\(x\) =\(y\)]. Це дещо складний спосіб йти про це. Можливо, простіше перефразувати речення 44 як: «Є річ, яка є єдиним яблуком на столі». Думаючи таким чином, речення можна перекласти\(x\) [\(Ax\)\(y\)&¬(\(Ay\) &\(x\) ≠\(y\))].

    Так само речення 45 можна перефразувати як: «На столі є два різних яблука, і це єдині яблука на столі». Це можна перекласти як\(x\)\(y\) [\(Ax\)\(Ay\)&\(x\) ≠\(y\)\(z\) &¬(\(Az\) &\(x\) ≠\(y\) &\(y\) ≠\(z\))].

    Нарешті, розглянемо таке речення:

    46. На столі є щонайменше дві речі.

    Можливо, буде спокусливо додати присудок,\(Tx\) щоб означати «\(x\)це річ на столі». Однак це зайве. Так як УД - це набір речей на столі, всі члени УД знаходяться на столі. Якщо ми хочемо поговорити про річ на столі, нам потрібно використовувати лише квантіфікатор. Речення 46 можна символізувати як речення 43 (в якому говорилося, що є не більше двох яблук), але повністю залишаючи присудок. Тобто, речення 46 можна перекласти як\(x\)\(y\)\(z\)\(x\)\(y\)\(x\)\(z\)\(y\)\(z\)

    Методи символізації виразів кількості («максимум», «принаймні» та «точно») узагальнено на стор. 151.

    Визначте описи

    Нагадаємо, що константа QL повинна посилатися на якийсь член УД. Це обмеження дозволяє уникнути проблеми непосилаються термінів. Враховуючи UD, який включав лише фактично існуючих істот, але константу\(c\), яка означала «химеру» (міфічну істоту), речення, що містять, стало\(c\) б неможливо оцінити.

    Найбільш впливове рішення цієї проблеми було введено Бертраном Расселом в 1905 році. Рассел запитав, як ми повинні розуміти це речення:

    47. Нинішній король Франції лисий.

    Фраза «теперішній король Франції» повинна вибрати людину за допомогою визначеного опису. Однак у 1905 році короля Франції не було, і зараз його немає. Оскільки опис є терміном, що не посилається, ми не можемо просто визначити константу, що означає «теперішній король Франції», і перекласти речення як\(Kf\).

    Ідея Рассела полягала в тому, що речення, що містять визначені описи, мають іншу логічну структуру, ніж речення, що містять власні імена, хоча вони мають однакову граматичну форму. Що ми маємо на увазі, коли використовуємо безпроблемний, посилаючись опис, як «найвищий пік у штаті Вашингтон»? Ми маємо на увазі, що є такий пік, тому що ми не могли говорити про це інакше. Ми також маємо на увазі, що це єдиний такий пік. Якби в штаті Вашингтон була ще одна вершина точно такої ж висоти, як і гора Реньє, то гора Реньє не була б найвищою вершиною.

    Згідно з цим аналізом, речення 47 говорить три речі. По-перше, він висуває твердження про існування: є якийсь справжній король Франції. По-друге, це робить твердження про унікальність: Цей хлопець є єдиним справжнім королем Франції. По-третє, він висуває претензію: Цей хлопець лисий.

    Для того, щоб таким чином символізувати певні описи, нам потрібен присудок ідентичності. Без нього ми не могли б перевести твердження про унікальність, яке (за словами Рассела) неявне у визначеному описі.

    Нехай UD будуть людьми насправді живуть, нехай\(Fx\) означають «\(x\)це нинішній король Франції», і нехай\(Bx\) означає «\(x\)лисий». Речення 47 потім можна перекласти як\(x\) [\(Fx\)\(y\)&¬(\(Fy\) &\(x\) ≠\(y\)) &\(Bx\)]. Це говорить про те, що є якийсь хлопець, який є нинішнім королем Франції, він єдиний справжній король Франції, і він лисий.

    Зрозумівши таким чином, речення 47 є значущим, але помилковим. Там написано, що цей хлопець існує, але він цього не робить.

    Проблема термінів, що не посилаються, є найбільш неприємною, коли ми намагаємося перевести заперечення. Отже, розглянемо це речення:

    48. Нинішній король Франції не лисий.

    За словами Рассела, це речення неоднозначне в англійській мові. Це може означати будь-яку з двох речей:

    48а. Це не так, що нинішній король Франції лисий.
    48б. Нинішній король Франції нелисий.

    Обидва можливі значення заперечують пропозицію 47, але вони ставлять заперечення в різні місця.

    Речення 48а називається широкомасштабним запереченням, оскільки воно заперечує все речення. Його можна перекласти як\(xFx\)\(y\) ¬&¬(\(Fy\) &\(x\) ≠\(y\)) &\(Bx\). Це нічого не говорить про нинішнього короля Франції, а скоріше говорить про те, що якесь речення про нинішнього короля Франції є помилковим. Оскільки речення 47, якщо помилкове, речення 48a є істинним.

    Вирок 48b говорить щось про нинішнього короля Франції. У ньому йдеться про те, що йому не вистачає властивості облисіння. Як і речення 47, він висуває претензію на існування та твердження про унікальність; він просто заперечує твердження про присудження. Це називається вузькомасштабним запереченням. Його можна перекласти як\(xFx\)\(y\) &¬(\(Fy\) &\(x\) ≠\(y\)) &¬\(Bx\). Оскільки немає нинішнього короля Франції, це вирок є помилковим.

    Теорія Рассела про визначені описи вирішує проблему термінів, що не посилаються, а також пояснює, чому це здавалося таким парадоксальним. Перш ніж ми розрізнили широкі та вузькомасштабні заперечення, здавалося, що такі речення, як 48, повинні бути як істинними, так і помилковими. Показавши, що такі речення неоднозначні, Рассел показав, що вони правда зрозуміли так, але помилково розуміють іншим способом.

    Для більш детального обговорення теорії Рассела про визначені описи, включаючи заперечення проти неї, див. «Описи» Пітера Ладлоу в Стенфордській енциклопедії філософії: видання Summer 2005, під редакцією Едварда Н. Zalta, http://plato.stanford.edu/archives/s... /описи/