Розділ 5: Практичні вправи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52216

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Якщо вам потрібна додаткова практика, ви можете побудувати таблиці істинності для будь-якого з речень та аргументів у вправах для попередньої глави.

*Частина А Визначте, чи є кожне речення тавтологією, протиріччям чи умовним реченням. Обґрунтуйте свою відповідь повною або частковою таблицею істинності, де це доречно.

1. \(A\)→\(A\)
2. ¬\(B\) &\(B\)
3. \(C\)→¬\(C\)
4. ¬\(D\) ⠀\(D\)
5. (\(A\)↔\(B\)) ↔ ¬ (\(A\)↔ ¬\(B\))
6. (\(A\)&\(B\)) (\(B\)&\(A\))
7. (\(A\)→\(B\)) (\(B\)→\(A\))
8. ¬ [\(A\)→ (\(B\)→\(A\))]
9. (\(A\)&\(B\)) → (\(B\)\(A\))
10. \(A\)↔ [\(A\)→ (\(B\)&¬\(B\))]
11. ¬ (\(A\)\(B\)) ↔ (¬\(A\) &¬\(B\)
12. ¬ (\(A\)&\(B\)) ↔\(A\)
13. [(\(A\)&\(B\)) &¬ (\(A\)&\(B\))] &\(C\)
14. \(A\)→ (\(B\)\(C\)
15. [(\(A\)&\(B\)) &\(C\)] →\(B\)
16. (\(A\)&¬\(A\)) → (\(B\)\(C\))
17. ¬ [(\(C\)\(A\))\(B\)]
18. (\(B\)&D) ↔ [\(A\)↔ (\(A\)\(C\))]

* Частина B Визначте, чи кожна пара речень логічно еквівалентна. Обґрунтуйте свою відповідь повною або частковою таблицею істинності, де це доречно.

1. \(A\), ¬\(A\)
2. \(A\),\(A\) ⠀\(A\)
3. \(A\)→\(A\),\(A\) ↔\(A\)
4. \(A\)¬\(B\),\(A\) →\(B\)
5. \(A\)&¬\(A\), ¬\(B\) ↔\(B\)
6. ¬ (\(A\)&\(B\)),\(A\) ¬ ¬\(B\)
7. ¬ (\(A\)→\(B\)), ¬\(A\) →¬\(B\)
8. (\(A\)→\(B\)), (¬\(B\) →¬\(A\))
9. [(\(A\)\(B\))\(C\)], [\(A\)(\(B\)⠀\(C\))]
10. [(\(A\)\(B\)) &\(C\)], [\(A\)(\(B\)&\(C\))]

* Частина C Визначте, чи є кожен набір речень послідовним чи суперечливим. Обґрунтуйте свою відповідь повною або частковою таблицею істинності, де це доречно.

1. \(A\)→\(A\), ¬\(A\) →¬\(A\),\(A\) &\(A\),\(A\) ∨\(A\)
2. \(A\)&\(B\),\(C\) →¬\(B\),\(C\)
3. \(A\)⠀\(B\),\(A\) →\(C\),\(B\) →\(C\)
4. \(A\)→\(B\),\(B\) →\(C\)\(A\), ¬\(C\)
5. \(B\)& (\(C\)\(A\)),\(A\) →\(B\), ¬ (\(B\)\(C\))
6. \(A\)⠀\(B\),\(B\)\(C\),\(C\) →¬\(A\)
7. \(A\)↔ (\(B\)\(C\)),\(C\) →¬\(A\),\(A\) →¬\(B\)
8. \(A\),\(B\), ¬\(C\), ¬\(D\), ¬\(E\),\(F\)

* Частина D Визначте, чи є кожен аргумент дійсним чи недійсним. Обґрунтуйте свою відповідь повною або частковою таблицею істинності, де це доречно.

1. \(A\)→\(A\),. \(A\)
2. \(A\)⠀ [\(A\)→ (\(A\)↔\(A\))],.. \(A\)
3. \(A\)→ (\(A\)&¬\(A\)),.. ¬\(A\)
4. \(A\)↔ ¬ (\(B\)↔\(A\)),.. \(A\)
5. \(A\)⠀ (\(B\)→\(A\)),.. ¬\(A\) →¬\(B\)
6. \(A\)→\(B\)\(B\),,. \(A\)
7. \(A\)⠀\(B\),\(B\)\(C\), ¬\(A\),.. \(B\)&\(C\)
8. \(A\)⠀\(B\),\(B\)\(C\), ¬\(B\),.. \(A\)&\(C\)
9. (\(B\)&\(A\)) →\(C\), (\(C\)&\(A\)) →\(B\),.. (\(C\)&\(B\)) →\(A\)
10. \(A\)↔\(B\),\(B\) ↔\(C\),.. \(A\)↔\(C\)

* Частина E Дайте відповідь на кожне з наведених нижче питань і обґрунтуйте свою відповідь.

1. Припустимо, що\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є логічно рівнозначними. Що ви можете сказати про\(\mathcal{A}\) ↔\(\mathcal{B}\)?
2. Припустимо, що (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\)) →\(\mathcal{C}\) є умовним. Що можна сказати про аргумент «\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,..
3. Припустимо, що {\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,\(\mathcal{C}\)} є непослідовним. Що ви можете сказати про (\(\mathcal{A}\)&\(\mathcal{B}\) &\(\mathcal{C}\))?
4. Припустимо, що\(\mathcal{A}\) це протиріччя. Що можна сказати про аргумент «\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,.. \(\mathcal{C}\)»?
5. Припустимо, що\(\mathcal{C}\) це тавтологія. Що можна сказати про аргумент «\(\mathcal{A}\)\(\mathcal{B}\),,.. \(\mathcal{C}\)»?
6. Припустимо, що\(\mathcal{A}\) і\(\mathcal{B}\) є логічно рівнозначними. Що ви можете сказати про (\(\mathcal{A}\)⠀\(\mathcal{B}\))?
7. Припустимо, що\(\mathcal{A}\) і не\(\mathcal{B}\) є логічно рівнозначними. Що ви можете сказати про (\(\mathcal{A}\)⠀\(\mathcal{B}\))?

Частина F Ми могли б залишити біумовне (↔) поза мовою. Якби ми це зробили, ми все одно могли б написати\(B\) '\(A\)↔', щоб зробити речення легше читати, але це було б скорочено для (\(A\)→\(B\)) & (\(B\)→\(A\)). Отримана мова буде формально еквівалентною SL, оскільки\(A\) ↔\(B\) і (\(A\)→\(B\)) & (\(B\)→\(A\)) логічно еквівалентні в SL. Якби ми цінували формальну простоту над виразним багатством, ми могли б замінити більше зв'язків нотаційними конвенціями і все ще мати мову, еквівалентну SL.

Існує ряд рівнозначних мов, що мають лише два з'єднання. Досить було б тільки заперечення і матеріал умовний. Покажіть це шляхом написання пропозицій, які логічно еквівалентні кожному з наступних, використовуючи лише дужки, літери речення, заперечення (¬) та матеріал умовний (→).

*1. \(A\)⠀\(B\)
*2. \(A\)&\(B\)
*3. \(A\)↔\(B\)

Ми могли б мати мову, яка еквівалентна SL з лише запереченням та диз'юнкцією як сполучні. Показати це: Використовуючи лише дужки, літери речення, заперечення (¬) та диз'юнкцію (∨), записуйте речення, логічно еквівалентні кожному з наступних.

4. \(A\)&\(B\)
5. \(A\)→\(B\)
6. \(A\)↔\(B\)

Інсульт Шеффера є логічним сполучним з наступною характерною правдивою таблицею:

\(\mathcal{A}\)

\(\mathcal{B}\)

\(\mathcal{A}\)|\(\mathcal{B}\)

7. Напишіть речення, використовуючи зв'язки SL, логічно еквівалентні (\(A\)|\(B\)).

Кожне речення, написане з використанням сполучної SL, може бути переписано як логічно еквівалентне речення за допомогою одного або декількох штрихів Шеффера. Використовуючи лише штрих Шеффера, напишіть речення, еквівалентні кожному з наведених нижче.

8. ¬\(A\)
9. (\(A\)&\(B\)
10. (\(A\)⠀\(B\))
11. (\(A\)→\(B\))
12. (\(A\)↔\(B\))