Розділ 3: Використання таблиць істинності

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52214

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Тавтології, протиріччя та умовні вироки

Нагадаємо, що англійське речення - це тавтологія, якщо воно повинно бути істинним як питання логіки. З повною таблицею істинності ми розглядаємо всі способи, якими може бути світ. Якщо речення вірно на кожному рядку повної таблиці істинності, то воно вірно як питання логіки, незалежно від того, яким є світ.

Таким чином, речення є тавтологією в sl, якщо стовпець під його основною сполучною є 1 на кожному рядку повної таблиці істинності.

І навпаки, речення є протиріччям у sl, якщо стовпчик під його основним сполучним дорівнює 0 у кожному рядку повної таблиці істинності.

Речення є умовним у sl, якщо воно не є ні тавтологією, ні протиріччям; тобто якщо воно дорівнює 1 принаймні одному рядку і 0 принаймні на одному рядку.

З таблиць істинності в попередньому розділі ми знаємо, що (\(H\)&\(I\)) →\(H\) це тавтологія, що [(\(C\)↔\(C\)) →\(C\)] &¬ (\(C\)→\(C\)) є протиріччям, і що\(M\) & (\(N\)∨\(P\)) є контингентом.

Логічна еквівалентність

Два речення логічно еквівалентні англійською мовою, якщо вони мають однакове значення істини, що і логіка матерії. Знову ж таки, таблиці істинності дозволяють нам визначати аналогічне поняття для SL: Два речення логічно еквівалентні в sl, якщо вони мають однакове значення істини в кожному рядку повної таблиці істинності.

Розглянемо пропозиції ¬ (\(A\)∨\(B\)) і ¬\(A\) &¬\(B\). Чи вони логічно еквівалентні? Щоб з'ясувати, ми будуємо таблицю істинності.

\(A\)

\(B\)

¬ (\(A\)∨\(B\))

¬\(A\) & ¬\(B\)

0 1 1

0 1 1 0

0 0 1 1

1 0 0 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

1 0 0 0 1

1 0 1 1 0

Подивіться на стовпці основних зв'язків; заперечення для першого речення, сполучник для другого. На перших трьох рядах обидва 0. У заключному ряду обидва - 1. Оскільки вони збігаються у кожному рядку, два речення логічно еквівалентні.

Послідовність

Набір речень англійською мовою є послідовним, якщо логічно можливо, щоб всі вони були правдивими відразу. Набір речень логічно узгоджується в sl, якщо є хоча б один рядок повної таблиці істинності, на якій всі речення є істинними. Інакше це непослідовно.

Термін дії

Аргумент англійською мовою є дійсним, якщо логічно неможливо, щоб приміщення було істинним, а висновок був помилковим одночасно. Аргумент є дійсним у sl, якщо немає рядка повної таблиці істинності, у якій є всі умови 1, а висновок 0; аргумент є недійсним у sl, якщо є такий рядок.

Розглянемо цей аргумент:

¬\(L\) → (\(J\)∨\(L\))
¬\(L\)
.. \(J\)

Чи дійсно це? Щоб з'ясувати, ми будуємо таблицю істинності.

\(J\)

\(L\)

¬\(L\) → (\(J\)∨\(L\))

¬\(L\)

\(J\)

0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 0 0

0 1

1 0

0 1

1 0

Так, аргумент є справедливим. Єдиний ряд, на якому обидва приміщення 1 - це другий ряд, а на тому ряду висновок теж 1.