Глава A: Символічні позначення
- Page ID
- 52262
В історії формальної логіки різні символи використовувалися в різний час і різними авторами. Часто автори змушені були використовувати позначення про те, що їх принтери могли друкувати.
В одному сенсі символи, що використовуються для різних логічних констант, довільні. На небі немає нічого написаного, що говорить про те, що «¬» має бути символом заперечення істини функціонального. Ми могли б вказати інший символ, щоб грати цю роль. Після того, як ми дали визначення для добре сформованих формул (wff) і для істини в наших логічних мовах, однак, використання '¬' більше не є довільним. Тобто символ заперечення в цьому підручнику, і тому він є символом заперечення при написанні пропозицій на наших мовах SL або QL.
У цьому додатку представлені деякі загальні символи, щоб ви могли їх розпізнати, якщо зіткнетеся з ними в статті або в іншій книзі.
зведення символів
заперечення ¬, ↑
кон'юнкція &,, •
диз'юнкція
умовний →, aKL
двоумовний ↔, ≡
Заперечення Двома часто використовуваними символами є мотика, '¬', і розгойдується тире, ''. У деяких більш просунутих формальних системах необхідно розрізняти два види заперечення; різниця іноді представлена використанням як '¬', так і '
Диз'юнкція Символ '₵' зазвичай використовується для символізації інклюзивної диз'юнкції.
Connection Connection часто символізується з амперсандом, '&.' Амперсанд насправді є декоративною формою латинського слова 'et', що означає 'і'; він зазвичай використовується в англійській писемності. Як символ у формальній системі амперсанд не є словом «і»; його значення надається формальною семантикою мови. Можливо, щоб уникнути цієї плутанини, деякі системи використовують інший символ для кон'юнкції. Наприклад, '' є аналогом символу, який використовується для диз'юнкції. Іноді використовується одна крапка, '•'. У деяких старих текстах взагалі немає символу для кон'юнкції;\(B\) '\(A\)і' просто пишеться '\(AB\).
Матеріал Умовний Існує два загальні символи для умовного матеріалу: стрілка, '→', і гачок, 'taLi.'
Матеріал Біумовний Двоголова стрілка, '↔', використовується в системах, які використовують стрілку для представлення матеріалу умовного. Системи, які використовують гак для умовного, зазвичай використовують потрійний бар, '≡', для біумовних.
Квантори Універсальний квантор, як правило, символізується як перевернутий A, '', а екзистенціальний квантор як зворотний E, ''. У деяких текстах окремого символу універсального квантора немає. Замість цього змінна просто записана в дужках перед формулою, яку вона зв'язує. Наприклад, написано «all\(x\) are\(P\)» (\(x\))\(P\)\(x\).
У деяких системах квантори символізуються більшими версіями символів, що використовуються для кон'юнкції та диз'юнкції. Хоча кількісні вирази не можуть бути переведені у вирази без квантіфікаторів, існує концептуальний зв'язок між універсальним квантором та сполучником, а також між екзистенціальним квантором та диз'юнкцією. Розглянемо речення\(xPx\), наприклад. Це означає, що або перший член УД - а, або другий -, або третій -,.\(P\) Така система використовує символ '\(⋁\)' замість ''.
Польські позначення
Позначення SL польських позначень
¬ & ₵ → ↔\(N\)\(K\)\(A\)\(C\)\(E\)
У цьому розділі коротко розглядається логіка речення в польській нотації, система позначень, введена наприкінці 1920-х років польським логіком Яном Лукасевичем.
Малі літери використовуються як літери речення. Велика літера\(N\) використовується для заперечення. \(A\)використовується для диз'юнкції,\(K\) для кон'юнкції,\(C\) для умовного,\(E\) для біумовного. ('\(A\)' - для чергування, інша назва логічної диз'юнкції. '\(E\)' призначений для еквівалентності.)
У польських позначеннях двійковий сполучний пишеться перед двома реченнями, які вона з'єднує. Наприклад, речення\(A\) &\(B\) з SL буде написано\(Kab\) польською позначенням.
Речення ¬\(A\) →\(B\) і ¬ (\(A\)→\(B\)) дуже різні; головним логічним оператором першого є умовний, але основний сполучний другого - заперечення. У SL ми показуємо це, поставивши дужки навколо умовного в другому реченні. У польських позначеннях дужки ніколи не потрібні. Сама ліва сполучна завжди є основною сполучною. Перше речення було б просто написано,\(CNab\) а друге\(NCab\).
Ця особливість польських позначень означає, що оцінювати пропозиції можна просто опрацьовуючи символи справа наліво. Якщо ви будували таблицю істинності для\(NKab\), наприклад, ви б спочатку розглянули значення правди, присвоєні\(a\),\(b\) а потім розглянули їх кон'юнкцію, а потім звести нанівець результат. Загальне правило того, що оцінювати далі в SL не так вже й просто. У SL таблиця істинності для ¬ (\(A\)&\(B\)) вимагає дивитися\(A\) і\(B\), потім дивлячись посередині пропозиції на сполучник, а потім на початку речення на заперечення. Оскільки порядок операцій може бути заданий більш механічно в польських позначеннях, варіанти польських позначень використовуються як внутрішня структура для багатьох мов комп'ютерного програмування.