Глава A: Символічні позначення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 52262

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

В історії формальної логіки різні символи використовувалися в різний час і різними авторами. Часто автори змушені були використовувати позначення про те, що їх принтери могли друкувати.

В одному сенсі символи, що використовуються для різних логічних констант, довільні. На небі немає нічого написаного, що говорить про те, що «¬» має бути символом заперечення істини функціонального. Ми могли б вказати інший символ, щоб грати цю роль. Після того, як ми дали визначення для добре сформованих формул (wff) і для істини в наших логічних мовах, однак, використання '¬' більше не є довільним. Тобто символ заперечення в цьому підручнику, і тому він є символом заперечення при написанні пропозицій на наших мовах SL або QL.

У цьому додатку представлені деякі загальні символи, щоб ви могли їх розпізнати, якщо зіткнетеся з ними в статті або в іншій книзі.

зведення символів

заперечення ¬, ↑

кон'юнкція &,, •

диз'юнкція

умовний →, aKL

двоумовний ↔, ≡

Заперечення Двома часто використовуваними символами є мотика, '¬', і розгойдується тире, ''. У деяких більш просунутих формальних системах необхідно розрізняти два види заперечення; різниця іноді представлена використанням як '¬', так і '

Диз'юнкція Символ '₵' зазвичай використовується для символізації інклюзивної диз'юнкції.

Connection Connection часто символізується з амперсандом, '&.' Амперсанд насправді є декоративною формою латинського слова 'et', що означає 'і'; він зазвичай використовується в англійській писемності. Як символ у формальній системі амперсанд не є словом «і»; його значення надається формальною семантикою мови. Можливо, щоб уникнути цієї плутанини, деякі системи використовують інший символ для кон'юнкції. Наприклад, '' є аналогом символу, який використовується для диз'юнкції. Іноді використовується одна крапка, '•'. У деяких старих текстах взагалі немає символу для кон'юнкції;\(B\) '\(A\)і' просто пишеться '\(AB\).

Матеріал Умовний Існує два загальні символи для умовного матеріалу: стрілка, '→', і гачок, 'taLi.'

Матеріал Біумовний Двоголова стрілка, '↔', використовується в системах, які використовують стрілку для представлення матеріалу умовного. Системи, які використовують гак для умовного, зазвичай використовують потрійний бар, '≡', для біумовних.

Квантори Універсальний квантор, як правило, символізується як перевернутий A, '', а екзистенціальний квантор як зворотний E, ''. У деяких текстах окремого символу універсального квантора немає. Замість цього змінна просто записана в дужках перед формулою, яку вона зв'язує. Наприклад, написано «all\(x\) are\(P\)» (\(x\))\(P\)\(x\).

У деяких системах квантори символізуються більшими версіями символів, що використовуються для кон'юнкції та диз'юнкції. Хоча кількісні вирази не можуть бути переведені у вирази без квантіфікаторів, існує концептуальний зв'язок між універсальним квантором та сполучником, а також між екзистенціальним квантором та диз'юнкцією. Розглянемо речення\(xPx\), наприклад. Це означає, що або перший член УД - а, або другий -, або третій -,.\(P\) Така система використовує символ '\(⋁\)' замість ''.

Польські позначення

Позначення SL польських позначень

¬ & ₵ → ↔\(N\)\(K\)\(A\)\(C\)\(E\)

У цьому розділі коротко розглядається логіка речення в польській нотації, система позначень, введена наприкінці 1920-х років польським логіком Яном Лукасевичем.

Малі літери використовуються як літери речення. Велика літера\(N\) використовується для заперечення. \(A\)використовується для диз'юнкції,\(K\) для кон'юнкції,\(C\) для умовного,\(E\) для біумовного. ('\(A\)' - для чергування, інша назва логічної диз'юнкції. '\(E\)' призначений для еквівалентності.)

У польських позначеннях двійковий сполучний пишеться перед двома реченнями, які вона з'єднує. Наприклад, речення\(A\) &\(B\) з SL буде написано\(Kab\) польською позначенням.

Речення ¬\(A\) →\(B\) і ¬ (\(A\)→\(B\)) дуже різні; головним логічним оператором першого є умовний, але основний сполучний другого - заперечення. У SL ми показуємо це, поставивши дужки навколо умовного в другому реченні. У польських позначеннях дужки ніколи не потрібні. Сама ліва сполучна завжди є основною сполучною. Перше речення було б просто написано,\(CNab\) а друге\(NCab\).

Ця особливість польських позначень означає, що оцінювати пропозиції можна просто опрацьовуючи символи справа наліво. Якщо ви будували таблицю істинності для\(NKab\), наприклад, ви б спочатку розглянули значення правди, присвоєні\(a\),\(b\) а потім розглянули їх кон'юнкцію, а потім звести нанівець результат. Загальне правило того, що оцінювати далі в SL не так вже й просто. У SL таблиця істинності для ¬ (\(A\)&\(B\)) вимагає дивитися\(A\) і\(B\), потім дивлячись посередині пропозиції на сполучник, а потім на початку речення на заперечення. Оскільки порядок операцій може бути заданий більш механічно в польських позначеннях, варіанти польських позначень використовуються як внутрішня структура для багатьох мов комп'ютерного програмування.