8.2: Система настройки

Цілі навчання

• Огляд систем настройки музики.

Вступ

Перше, що повинні зробити музиканти, перш ніж вони зможуть грати разом, - це «мелодія». Для музикантів у стандартній західній музичній традиції це означає узгодження того, яка саме висота тону (яка частота) є «А», що таке «B flat» і так далі. Інші культури не тільки мають різні назви нот та різні масштаби, вони можуть навіть мати різні ноти - різні смоли - на основі іншої системи налаштування. Насправді сучасна західна система тюнінгу, яку називають рівним темпераментом, замінила (порівняно недавно) інші системи тюнінгу, які колись були популярні в Європі. Всі системи тюнінгу засновані на фізиці звуку. Але на всіх них впливає і історія їх музичних традицій, а також особливості настройки інструментів, використовуваних в тих традиціях. Піфагор, середній тон, просто інтонація, добре темпераменти, рівний темперамент і широка настройка.

Щоб зрозуміти все обговорення нижче, ви повинні бути зручні як з музичною концепцією інтервалу, так і фізикою концепції частоти. Якщо ви хочете стежити за всім цим, але трохи туманно ставитеся до взаємозв'язку між висотою та частотою, може бути корисним наступне: Pitch; Акустика для теорії музики; Гармонічна серія I: Тембр і октави; і Октави та Major-Minor Tonal System. Якщо ви не знаєте, які інтервали (наприклад, основні третини та ідеальні четверті), див. Інтервальні та гармонічні серії II: Гармоніки, інтервали та інструменти. Якщо вам потрібно переглянути математичні поняття, будь ласка, перегляньте розділ Музичні інтервали, частота та співвідношення та повноваження, коріння та рівний темперамент. Тим часом, ось досить нетехнічне резюме наведеної нижче інформації: Сучасна західна музика використовує рівну систему налаштування темпераменту. У цій системі октава (скажімо, від С до С) ділиться на дванадцять однаково розташованих нот. «Рівновіддалені» для музиканта в основному означає, що кожна з цих нот знаходиться на півкроку від наступної, і що всі половина кроків звучать як однакова зміна висоти тону. (Для вченого чи інженера «рівнорозміщені» означає, що співвідношення частот двох нот на будь-якому півкроці завжди однакове.) Ця система настройки дуже зручна для деяких інструментів, таких як фортепіано, а також дозволяє дуже легко змінювати клавішу без переналаштування інструментів. Але уважне слухання музики або погляд на фізику задіяних звукових хвиль виявляє, що рівні температури темпераменту не засновані на гармоніках, які фізично виробляються будь-яким музичним звуком. «Рівні» співвідношення його половинних кроків - це дванадцятий корінь з двох, а не відображають більш прості співвідношення, вироблені самими звуками, і важливі інтервали, що будують гармонії, можуть звучати трохи не співзвучно. Це часто призводить до деякої «підгонки» тюнінгу в реальних виставах, далеко від рівного темпераменту. Це також призводить багато інших музичних традицій, щоб віддати перевагу налаштуванням, крім рівного темпераменту, особливо тюнінгів, в яких деякі важливі інтервали засновані на чистих, простому співвідношенні інтервалів фізики. Для того, щоб використовувати ці сприятливі інтервали, традиція налаштування може зробити одне або кілька з наступних дій: використовувати шкали, в яких нотатки не однаково розташовані; уникати будь-яких нот або інтервалів, які не працюють з певним налаштуванням; змінити налаштування деяких нот, коли клавіша або режим змінюється.

Тюнінг на основі серії Гармонік

Практично всі музичні традиції визнають октаву. Коли нота Y має частоту, яка вдвічі перевищує частоту ноти Z, то примітка Y на одну октаву вище, ніж нота Z. простий математичний спосіб сказати, що співвідношення частот становить 2:1. Дві ноти, які є рівно однією октавою один від одного, добре звучать разом, оскільки їх частоти пов'язані таким простим способом. Якби нота мала частоту, наприклад, яка була в 2,11 рази більше частоти іншої ноти (замість рівно 2 рази), дві ноти не звучали б так добре разом. Насправді більшість людей вважали б ефект дуже неприємним і сказали б, що ноти не «співзвучні» один з одним.

Щоб знайти інші ноти, які звучать «співзвучно» один з одним, ми шукаємо інші набори смол, які мають «просту» частотну залежність. Ці набори смол з тісно пов'язаними частотами часто записуються в загальних позначеннях як гармонійний ряд. Гармонічний ряд - це не просто корисна ідея, побудована музичною теорією; вона часто зустрічається в «реальному житті», в реальній фізиці музичних звуків. Наприклад, горбок може відтворювати тільки ноти конкретного гармонійного ряду. І кожна музична нота, яку ви чуєте, не є єдиною чистою частотою, а насправді є сумішшю смол певної гармонійної серії. Відносні сильні сторони гармонік - це те, що надає ноті її тембр. (Див Гармонічна серія II: Гармоніки, інтервали та інструменти; Стоячі хвилі та музичні інструменти; і стоячі хвилі та духові інструменти, щоб дізнатися більше про те, як і чому музичні звуки будуються з гармонійних серій.)

Гармонічна серія на C

Малюнок$\PageIndex{1}$: Ось перші шістнадцять смол у гармонійному ряду, який починається на природному C. Серія триває нескінченно, з смолами все ближче і ближче один до одного. Гармонічний ряд може починатися на будь-якій ноті, тому існує багато гармонійних серій, але кожна гармонічна серія має однаковий набір інтервалів і однакові частотні співвідношення.

Що означає сказати, що два смоли мають «просту частотну залежність»? Це не означає, що їх частоти майже однакові. Дві ноти, частоти яких практично однакові - скажімо, частота однієї в 1,005 рази інша - погано звучать разом. Знову ж таки, кожен, хто звик до точної настройки, скаже, що вони «не в ладі». Нотатки з тісним взаємозв'язком мають частоти, які можна записати у вигляді співвідношення двох невеликих цілих чисел; чим менше числа, тим тісніше пов'язані ноти. Дві ноти, які мають точно такий же крок, наприклад, мають частотне співвідношення 1:1, а октави, як ми вже бачили, 2:1. Зверніть увагу, що коли два смоли пов'язані цим простим співвідношенням, це означає, що вони можуть вважатися частиною одного гармонійного ряду, і фактично фактичний гармонічний ряд двох нот також може перекриватися і підсилювати один одного. Той факт, що ці дві ноти доповнюють і підсилюють один одного таким чином, а не представляють людське вухо двома абсолютно різними гармонійними серіями, може бути основною причиною того, чому вони звучать приголосно і «співзвучно».

Ніхто ще не довів фізичну основу для того, чому комбінації простого співвідношення звучать приємними для нас. Для читабельного вступу до теми я пропоную Роберта Журдена «Музика, мозок та екстаз»

Зверніть увагу, що фактичні частоти нот не мають значення. Важливим є те, як вони порівнюються один з одним - в основному, скільки хвиль однієї ноти проходить для кожної хвилі іншої ноти. Хоча фактичні частоти нот будуть змінюватися для кожного гармонійного ряду, порівняльна відстань між нотами, їх інтервал буде однаковим.

Додаткові приклади подивіться на гармонійний ряд на малюнку 1. Число під нотою говорить вам про зв'язок частоти цієї ноти до частоти першої ноти в серії - фундаментальної. Наприклад, частота ноти під номером 3 на малюнку 1 в три рази перевищує частоту фундаментальної, а частота ноти, пронумерованої п'ятнадцять, в п'ятнадцять разів перевищує частоту фундаментальної. У прикладі фундаментальним є C. Частота цієї ноти раз 2 дає вам інший C; раз 2 знову (4) дає інший C; раз 2 знову дає інший C (8), і так далі. Тепер подивіться на G в цій серії. Перший - номер 3 в ряду. 3 рази 2 - 6, а число 6 в ряду - це також Г. Так число 12 (6 разів 2). Перевірте для себе інші ноти серії, які знаходяться на октаві один від одного. Ви побачите, що співвідношення для однієї октави завжди 2:1, так само, як співвідношення для унісон завжди 1:1. Нотатки з цим співвідношенням малих чисел 2:1 настільки тісно пов'язані, що ми даємо їм однакову назву, і більшість систем настройки засновані на цій октавній залежності.

Наступна найближча залежність - це те, що базується на співвідношенні 3:2, інтервалі ідеальної п'ятої (наприклад, C і G в прикладі гармонійного ряду). Наступне найнижче співвідношення, 4:3, дає інтервал ідеальної четвертої. Знову ж таки, ці смоли настільки тісно пов'язані і звучать так добре разом, що їх інтервали були названі «ідеальними». Ідеальні п'яті фігури помітно в багатьох системах настройки. У західній музиці всі мажорні і мінорні акорди містять або, принаймні, сильно означають, ідеальну п'яту. (Див Тріади та Тріади іменування, щоб дізнатися більше про інтервали в основних та другорядних акордах.)

Піфагорійська інтонація

Піфагорійська система названа так тому, що її насправді обговорював Піфагор, відомий грецький математик і філософ, який у шостому столітті до н.е. вже визнав прості арифметичні відносини, що беруть участь в інтервалах октав, п'ятих і четвертих. Він і його послідовники вважали, що числа є правлячим принципом Всесвіту, і що музичні гармонії є основним виразом математичних законів Всесвіту. Їх модель Всесвіту включала «небесні сфери», створюючи своєрідну гармонію, коли вони рухалися колами, продиктованими тими ж арифметичними відносинами, що і музичні гармонії.

У системі Піфагора вся настройка заснована на інтервалі чистої п'ятої. Чисті інтервали - це ті, що знаходяться в гармонійному ряду, з дуже простими співвідношеннями частот. Таким чином, чиста п'ята матиме частотне співвідношення рівно 3:2. Використовуючи серію ідеальних п'ятих (і припускаючи ідеальні октави теж, щоб ви заповнювали кожну октаву, коли йдете), ви можете врешті-решт заповнити всю хроматичну шкалу.

Піфагорійська інтонація

Малюнок$\PageIndex{2}$: Ви можете продовжити цю серію ідеальних п'ятих, щоб отримати решту нот хроматичної шкали; серія продовжуватиметься F різкою, C різкою тощо.

Основна слабкість системи Піфагора полягає в тому, що серія чистих досконалих п'ятих ніколи не приведе вас до замітки, яка є чистою октавою над нотою, на якій ви почали. Щоб зрозуміти, чому це проблема, уявіть, що починається на C. Серія ідеальних п'ятих дасть: C, G, D, A, E, B, F різкий, C різкий, G різкий, D різкий, A різкий, E гострий, і B різкий. У рівному темпераменті (який не використовує чистих п'ятих), що B різкий буде точно такий же крок, як C сім октав вище, де ви почали (так що ряд може, по суті, бути перетворений в замкнутий цикл, Коло П'ятих). На жаль, різкий B, до якого ви приїжджаєте після серії чистих п'ятих, трохи вище, ніж C.

Отже, щоб зберегти чисті октави, інструменти, які використовують налаштування Піфагора, повинні використовувати одинадцять чистих п'ятих і одну меншу п'яту. Меншу п'яту традиційно називають вовчим п'ятим через свого неприємного звучання. Клавіші, які уникають п'ятого вовка, звучать просто чудово на інструментах, налаштованих таким чином, але клавіші, в яких часто чути вовк п'ятий, стають проблемою. Щоб уникнути деякої різкості вовчих інтервалів, деякі клавесини та інші клавішні інструменти були побудовані з розділеними клавішами для D Sharp/E flat та для G Sharp/A flat. Передня половина клавіші відтворювала б одну ноту, а задня половина інша (по-різному налаштована) нота.

Піфагорійський тюнінг широко використовувався в середньовічні та ренесансні часи. Основні секунди і третини більші в піфагорійській інтонації, ніж в рівному темпераменті, а незначні секунди і третини менші. Деякі люди вважають, що використання таких інтервалів в середньовічній музиці не тільки більш автентично, але і звучить краще, оскільки музика була складена для цієї системи налаштування.

Більш сучасна західна музика, з іншого боку, звучить не приємно, використовуючи піфагорійську інтонацію. Хоча п'яті звучать чудово, третини просто занадто далеко від чистої мажорної та другорядної третини гармонійного ряду. У середньовічній музиці третій вважався дисонансом і використовувався економно - і насправді, коли ви використовуєте настройку Піфагора, це дійсно дисонанс - але більшість сучасних гармоній будуються з третин (див. Тріади). Насправді загальну гармонійну традицію, яка включає в себе все, від контрапункту бароко до сучасного року, часто називають тріадичної гармонією.

Деякі сучасні незахідні музичні традиції, які мають зовсім інший підхід до мелодії і гармонії, все ще засновують свою настройку на ідеальній п'ятій. Вовчі п'яті і потворні третини не є проблемою в цих традиціях, які будують кожен режим в рамках ідеальної п'ятої, налаштовуючись на різні режими в міру необхідності. Щоб прочитати трохи про одну таку традицію, будь ласка, подивіться Індійська класична музика: Тюнінг і Рагас.

Система середніх тонів

Система середніх тонів, щоб мати приємні звучать третини, приймає швидше протилежний підхід від піфагора. Він використовує чисту основну третину. У цій системі весь тон (або цілий крок) вважається рівно половиною чистої основної третини. Це середнє, або середнє, двох тонів, що дає системі свою назву. Півтон (або половина кроку) - це рівно половина (інша середня) цілого тону.

Ці менші інтервали всі добре працюють при налаштуванні середнього тону, але результат - п'ята, яка помітно менше чистої п'ятої. І серія чистих третин також врешті-решт не буде вибудовуватися з чистими октавами, тому інструмент, налаштований таким чином, також матиме проблеми з інтервалами вовка.

Як вже говорилося вище, настройка Піфагора мала сенс в середньовічні часи, коли в музиці панували п'яті. Після того, як концепція гармонії в третині прийняла, третини стали найважливішим інтервалом; прості досконалі п'яті тепер чулися як «суворі» і, ну, середньовічні звучання. Так що середньотональний тюнінг був дуже популярний в Європі в 16-18 століттях.

Але п'ятих не можна уникнути повністю. Наприклад, основний мажор або мінор акорд побудований з двох третин, але він також має ідеальну п'яту між двома зовнішніми нотами (див. Тріади). Тож навіть тоді, коли настройка середніх тонів користувалася великою популярністю, деякі композитори та музиканти шукали інші рішення.

Просто інтонація

У просто інтонації п'ята і третя обидва базуються на чистому, гармонійному інтервалі рядів. Оскільки акорди побудовані з третин і п'ятих (див. Тріади), ця настройка робить типові західні гармонії особливо резонансними та приємними для вуха; тому цей тюнінг часто використовується (іноді несвідомо) музикантами, які можуть швидко вносити невеликі налаштування налаштування. Сюди входять вокалісти, більшість духових інструментів та багато струнних інструментів.

Як пояснювалося вище, використання чистих п'ятих і третин вимагатиме якоїсь коригування десь. Просто інтонація робить два розміщення, щоб дозволити його чисті інтервали. Один з них полягає в тому, щоб дозволити нерівність в інших інтервалах. Подивіться ще раз на гармонійний ряд.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Як співвідношення 9:8, так і співвідношення 10:9 в гармонійному ряду записуються як цілі ноти. 9:8 вважається основним цілим тоном, а 10:9 незначним цілим тоном. Різниця між ними становить менше чверті півтону.

У міру продовження серії співвідношення стають меншими, а ноти зближуються. Загальні позначення записують всі ці «близькі один до одного» інтервали як цілі кроки (цілі тони) або половину кроків (півтони), але вони, звичайно, все трохи відрізняються один від одного. Наприклад, нотатки з частотними співвідношеннями 9:8 і 10:9 і 11:10 записуються цілими кроками. Щоб порівняти, наскільки близькі (або далекі) вони насправді, перетворіть співвідношення в десяткові числа.

Коефіцієнти цілих кроків, написані у вигляді десяткових знаків

• 9/8 = 1,125
• 10/9 = 1,111
• 11/10 = 1,1

Це досить невеликі відмінності, але їх все одно легко почує людське вухо. Просто інтонація використовує як цілий тон 9:8, який називається основним цілим тоном, так і цілим тоном 10:9, який називається незначним цілим тоном, щоб побудувати як чисті третини, так і чисті п'яті.

Примітка

Якщо вам цікаво, розмір всього тону системи «середній тон» також є середнім, або середнім, основних і другорядних цілих тонів.

Інше розміщення з реальністю, яку повинна зробити лише інтонація, - це той факт, що одна настройка просто інтонації не може бути використана для відтворення кількома клавішами. При побудові налаштування просто інтонації має значення, які кроки шкали є основними цілими тонами, а які є незначними цілими тонами, тому інструмент, налаштований саме на те, щоб грати лише з інтонацією в клавіші C major, доведеться переналаштуватися, щоб грати в до-дієз мажор або ре мажор. Для інструментів, які можуть налаштовуватися майже миттєво, наприклад, голоси, скрипки та тромбони, це не проблема; але це непрацездатне для фортепіано, арф та інших інструментів, які не можуть швидко зробити невеликі налаштування.

На момент написання цієї статті була корисна інформація про різні системи налаштування на декількох різних веб-сайтах, включаючи «Розвиток музичних систем налаштування», де можна було почути, як звучать деякі інтервали в різних системах налаштування, і пояснив Just Intonation Kyle Gann, який включав деякі звукові зразки творів, які відтворюються за допомогою просто інтонації.

Темперамент

Бувають випадки, коли настройка не є великою проблемою. Коли хороший хор співає гармонійно без інструментів, вони будуть налаштовуватися, навіть не замислюючись про це. Усі акорди будуть прагнути до чистих п'ятих і третин, а також секунд, четвертих, шостих і сьомих, які відображають гармонійний ряд. Інструменти, які можуть згинати більшість смол достатньо, щоб точно налаштувати їх під час виступу - і це включає більшість оркестрових інструментів - також, як правило, відтворюють «чисті» інтервали. Це може статися несвідомо, або це може бути навмисним, як коли провідник просить інтервал «розширити» або «скоротити».

Але для багатьох інструментів, таких як фортепіано, орган, арфа, дзвіночки, клавесин, ксилофон - будь-який інструмент, який неможливо швидко налаштувати - настройка є великою проблемою. Клавесин, який був налаштований за допомогою системи Піфагора або просто інтонації, може звучати ідеально співзвучно в одній клавіші - до мажор, наприклад - і досить добре співзвучно в спорідненій клавіші - G major - але погано не налаштована в «віддаленій» клавіші, як D бемоль мажор. Додавання розділених клавіш або додаткових клавіш може допомогти (це було загальним рішенням на деякий час), але також ускладнює гру на інструменті. У західній музиці придумані і широко використовуються системи настройки, які безпосередньо вирішують цю проблему, - це різні темпераменти, при яких настройка нот трохи «загартована» з чистих інтервалів. (Незахідні музичні традиції мають свої системи налаштування, що занадто велика тема для звернення сюди. Див Прослуховування балійської гамеланської та індійської класичної музики: Тюнінг та Рагас для смаку того, що там.)

Добре Темпераменти

Як уже згадувалося вище, різні системи настройки, засновані на чистих інтервалах, в кінцевому підсумку повинні включати «вовчі» інтервали, які роблять деякі клавіші неприємними або навіть непридатними. Різні налаштування темпераменту добре, які були дуже популярні в 18 та 19 століттях, намагалися досягти балансу між перебуванням близько до чистих інтервалів та униканням вовчих інтервалів. Добре темперамент може мати кілька чистих п'ятих, наприклад, і кілька п'ятих, які менше чистої п'ятої, але не настільки малі, щоб вони були «вовчими» п'ятими. У таких системах тюнінг буде помітно відрізнятися в кожній клавіші, але кожна клавіша все одно буде приємним звучанням і корисною. Це зробило добре темпераменти особливо бажаними для гравців важко налаштованих інструментів, таких як клавесин та фортепіано.

Примітка

Історично існувала певна плутанина щодо того, чи добре темперамент і рівний темперамент є одним і тим же, можливо, тому, що добре темпераменти іноді називалися в той час як «рівний темперамент». Але ці добре темпераменти зробили всі клавіші однаково корисними, а не однаковими звучанням, як це робить сучасний рівний темперамент

Як вже говорилося вище, середньотональний тюнінг був ще дуже популярний в вісімнадцятому столітті. Дж. Бах написав свій знаменитий «Добре загартований Клав'є» частково як благання та рекламу, щоб перейти на систему темпераменту добре. Різні темпераменти добре стали дуже популярними у вісімнадцятому та дев'ятнадцятому століттях, і значна частина клавішно-інструментальної музики тих століть, можливо, була написана, щоб скористатися налаштуваннями характеристик конкретних клавіш, зокрема добре темпераменти. Деякі сучасні музиканти виступають за виконання таких творів, використовуючи добре темпераменти, щоб краще їх зрозуміти і оцінити. Цікаво відзначити, що різні клавіші в налаштуванні темпераменту добре іноді вважалися узгодженими з конкретними кольорами та емоціями. Таким чином, вони, можливо, мали більше спільного з різними режимами та рагами, ніж клавіші рівного темпераменту.

Рівний темперамент

В сучасний час добре темпераменти були замінені рівним темпераментом, настільки в західній музиці, що рівний темперамент вважається стандартним налаштуванням навіть для голосу і для інструментів, які частіше грають, використовуючи тільки інтонацію, коли можуть (див. Вище). При рівному темпераменті тільки октави є чистими інтервалами. Октава ділиться на дванадцять однаково розташованих половинних ступенів, а всі інші інтервали вимірюються в половині кроків. Це дає, наприклад, п'яту частину, яка трохи менше чистої п'ятої, і основну третину, яка більше, ніж чиста основна третина. Відмінності менші, ніж вовчі тони, знайдені в інших системах тюнінгу, але вони все ще є.

Рівний темперамент добре підходить до музики, яка часто змінює ключ, дуже хроматична або гармонійно складна. Це також очевидний вибір для атональної музики, яка взагалі відходить від ідентифікації з будь-яким ключем або тональністю. Рівний темперамент має чітку наукову/математичну основу, дуже прямолінійний, не вимагає переналагодження для ключових змін і беззаперечно приймається більшістю людей. Однак через відсутність чистих інтервалів деякі музиканти не знаходять його задовольняючим. Як уже згадувалося вище, просто інтонація іноді замінюється рівним темпераментом, коли практичним, і деякі музиканти також хотіли б знову ввести гарні темпераменти, принаймні для виступів музики, яка була складена з хорошим темпераментом на увазі.

Порівняння рівного темпераменту з гармонійним рядом

У певному сенсі рівний темперамент також є компромісом між Піфагорійським підходом і середньотональним підходом. Ні третій, ні п'ятий не чисті, але жоден з них теж не страшно далеко. Оскільки рівний темперамент ділить октаву на дванадцять рівних півтонів (половина ступенів), частотне співвідношення кожного півтону - дванадцятий корінь 2. Якщо ви не розумієте, чому це дванадцятий корінь 2, а не, скажімо, один дванадцятий, будь ласка, дивіться пояснення нижче. (Існує огляд повноважень та коренів у «Силах», «Коріння» та «Рівному темпераменті», якщо вам це потрібно.)

Малюнок$\PageIndex{4}$: При рівному темпераменті співвідношення частот в півтоні (половина кроку) - дванадцятий корінь з двох. Кожен інтервал - це просто певна кількість півтонів. Тільки октава (дванадцята сила дванадцятого кореня) є чистим інтервалом.

При рівному темпераменті єдиним чистим інтервалом є октава. (Дванадцята сила дванадцятого кореня двох - просто дві.) Всі інші інтервали задаються ірраціональними числами, заснованими на дванадцятому корені з двох, не приємних чисел, які можна записати у вигляді співвідношення двох малих цілих чисел. Незважаючи на це, рівний темперамент працює досить добре, тому що більшість інтервалів, які він дає, насправді падають досить близько до чистих інтервалів. Щоб побачити, що це так, подивіться на рисунок 5. Рівний темперамент і чисті інтервали обчислюються як десяткові числа і порівнюються один з одним. (Ви можете знайти ці десяткові знаки для себе за допомогою калькулятора.)

Порівняння частотних співвідношень для рівного темпераменту та чистих гармонійних серій

Малюнок$\PageIndex{1}$: щоб побачити, звідки беруться чисті інтервальні співвідношення. Співвідношення для рівного темпераменту все кратні дванадцятому кореню з двох. Обидва набори співвідношень перетворюються в десяткові числа (до найближчих десятитисячних), тому ви можете легко їх порівняти.

За винятком унісон і октави, жодне з співвідношень для рівного темпераменту не є точно таким же, як для чистого інтервалу. Однак багато хто з них досить близькі. Зокрема, ідеальні четверті та п'яті та великі третини не надто далекі від чистих інтервалів. Інтервали, які є найвіддаленішими від чистих інтервалів, є основною сьомою, незначною сьомою та другорядною секундою (інтервали, які все одно вважаються дисонансними).

Оскільки рівний темперамент зараз настільки широко прийнятий як стандартний тюнінг, музиканти зазвичай навіть не говорять про інтервали в співвідношеннях. Натомість сама настройка тепер визначається з точки зору рівного темпераменту, з налаштуваннями та інтервалами, виміряними в центах. Цент - це 1/100 (сотий корінь) рівного за темпераментом півтони. У цій системі, наприклад, основний весь тон, розглянутий вище, вимірює 204 центи, незначний цілий тон 182 центи, а чиста п'ята - 702 центи.

Чому цент - сотий корінь півтони, а чому півтон - дванадцятий корінь октави? Якщо вас турбує, що співвідношення в рівному темпераменті є корінням, згадайте чисті октави і п'яті гармонійного ряду.

Частотні відносини

Малюнок$\PageIndex{6}$: Пам'ятайте, що незалежно від того, на якій ноті ви починаєте, нота на октаву вище має в 2 рази більше частоти. Крім того, незалежно від того, на якій ноті ви починаєте, нота, яка є ідеальною п'ятою вище, має рівно в півтора рази свою частоту. Оскільки кожен з цих інтервалів стільки «разів» в плані частот, то при додаванні інтервалів ви множите їх частоти. Наприклад, серія з двох ідеальних п'ятих дасть частоту, яка становить 3/2 х 3/2 (або 9/4) початкову частоту.

Кожна октава має однакове співвідношення частот; вища нота матиме в 2 рази частоту нижньої ноти. Отже, якщо ви піднімаєтеся ще на октаву звідти (ще 2 рази), ця нота повинна мати 2 x 2 або 4 рази частоту найнижчої ноти. Наступна октава піднімає вас в 2 рази вище, ніж це, або в 8 разів перевищує частоту першої ноти і так далі.

Точно так само, у кожній ідеальній п'ятій, вища нота матиме частоту в півтора (3/2) рази нижчу ноту. Отже, щоб дізнатися, наскільки вища частота після серії ідеальних п'ятих, вам доведеться множити (не додавати) на півтора (3/2) кожного разу, коли ви піднімалися ще однією ідеальною п'ятою.

Всі інтервали працюють таким же чином. Отже, для того щоб дванадцять півтонів (половина сходинок) дорівнювали одній октаві, розмір половинного кроку повинен бути числом, яке дає відповідь «2» (розмір октави) при множенні її дванадцять разів: іншими словами, дванадцятий корінь з двох. І для того, щоб сто центів дорівнювали одній півтону, розмір цента повинен бути числом, яке, коли ви помножите його в 100 разів, закінчується тим самим розміром, що і півтону; іншими словами, сотий корінь дванадцятого кореня з двох. Це одна з причин, чому більшість музикантів вважають за краще говорити з точки зору центів і інтервалів замість частот.

Beats і широкий тюнінг

Одним з відомих результатів загартованих налаштувань є звукове явище, відоме як биття. Як уже згадувалося вище, в чистому інтервалі звукові хвилі мають частоти, які пов'язані один з одним дуже простими співвідношеннями. Фізично кажучи, це означає, що дві плавні хвилі вишикуються разом настільки добре, що комбінована хвиля - хвиля, яку ви чуєте, коли дві грають одночасно - також є гладкою і дуже стійкою хвилею. Тюнінги, які трохи відключені від чистого інтервалу, однак, призведуть до комбінованої хвилі, яка має додаткову нерівність в ній. Оскільки дві хвилі кожна дуже рівні, сама шишка дуже рівна і регулярна, і її можна почути як «удар» - дуже регулярна зміна інтенсивності звуку. Удари настільки регулярні, насправді, що їх можна приурочити; для рівного темпераменту вони знаходяться на порядку удару в секунду в середньому діапазоні фортепіано. Фортепіанний тюнер працює, слухаючи та синхронізуючи ці удари, а не вміючи точно «чути» рівні інтервали темпераменту.

Слід також зазначити, що деякі музичні традиції по всьому світу не використовують описаний вище тип точних тюнінгів не тому, що вони не можуть, а через естетичну перевагу широкому тюнінгу. У цих традиціях звук багатьох людей, які грають точно таку ж висоту, вважається тонким, нецікавим звуком; звук багатьох людей, що грають на одній і тій же висоті, чути як повний, живий, так і більш цікавий.

Деякі музичні традиції навіть використовують гранично точний варіант широкого тюнінгу. Гамеланські оркестри Південно-Східної Азії, наприклад, мають естетичну перевагу до «живих і повних» звуків, які надходять від інструментів, що грають поблизу, а не на одному і тому ж полі. У деяких типах гамеланів пари інструментів налаштовані дуже точно так, що кожна пара виробляє удари, а швидкість ударів однакова у всьому діапазоні цього гамелана. Багаторічні традиції дозволяють гамеланським майстрам надійно виробляти такі вражаючі подвиги тюнінгу.

Подальше вивчення

Станом на це написання:

• Вступ до історичних налаштувань Кайла Ганна є хорошим джерелом як про історичну довідку, так і про додаткову технічну інформацію про різні налаштування. Він також включає деякі аудіо приклади.
• Фонд Гюйгенса-Фоккера має дуже велику онлайнову бібліографію налаштування та темпераменту.
• Альфредо Капурсо, дослідник в Італії, розробив кругову гармонійну систему (c.ha.s), загартовану систему настройки, яка вирішує п'яту проблему вовка, регулюючи розмір октави, а також п'яту. У ньому також передбачений алгоритм генерації мікротональних шкал. Ви можете прочитати про це на веб-сайті кругової гармонійної системи або завантажити статтю на цю тему. Ви також можете слухати фортепіанні виступи, використовуючи цю настройку, шукаючи «CHAS tuning» на YouTube.
• Ряд відео YouTube надають порівняння, які ви можете слухати, наприклад порівняння просто інтонації та рівного темпераменту або порівняння різних темпераментів.