13.2: Державна залежна модель диверсифікації

Last updated
Save as PDF

Page ID: 4721

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Моделі, які ми розглянемо в цьому розділі, включають еволюцію рис та пов'язану з цим диверсифікацію родової лінії. У найпростішому випадку ми можемо розглянути модель, де характер має два стани, 0 і 1, і коефіцієнти диверсифікації залежать від цих станів. Нам потрібно змоделювати переходи між цими станами, що ми можемо зробити ідентично тому, що ми зробили в главі 7, використовуючи марковську модель безперервного часу. Ми виражаємо цю модель, використовуючи два параметри швидкості, швидкість вперед q ₀₁ та зворотну швидкість q ₁₀.

Зараз ми розглядаємо думку про те, що темпи диверсифікації можуть залежати від стану характеру. Припускається, що види зі станом характеру 0 мають певну швидкість видоутворення (λ ₀) і швидкість вимирання (μ ₀), і що види в 1 мають потенційно різні швидкості як видоутворення (λ ₁), так і вимирання (μ ₁₎). Тобто, коли персонаж еволюціонує, це впливає на швидкість видоутворення та/або вимирання родовищ. Таким чином, ми маємо шестипараметричну модель (Maddison et al. 2007). Ми припускаємо, що батьківські роди народжують дочок з однаковим статусом характеру, тобто стани характеру не змінюються при видобутку.

Імітувати еволюцію в рамках нашої державозалежної моделі диверсифікації просто. Ми продовжуємо так само, як і для моделей народження-смерті, малюючи час очікування, але ці часи очікування можуть бути часом очікування до наступної зміни стану персонажа, видоутворення або події вимирання. Зокрема, уявіть, що в момент t є n ліній, і що k цих ліній знаходяться у стані 0 (а n − k знаходяться у стані 1). Час очікування наступної події буде слідувати за експоненціальним розподілом з параметром швидкості:

\[ρ = k(q_{01} + λ_0 + μ_0)+(n − k)(q_{10} + λ_1 + μ_1) \label{13.1}\]

Це рівняння говорить, що загальна швидкість подій - це сума подій, які можуть статися з лініями зі станом 0 (зміна стану на 1, видоутворення або вимирання) та аналогічних подій, які можуть статися з лініями зі станом 1. Після того, як у нас є час очікування, ми можемо призначити тип події залежно від ймовірностей. Наприклад, ймовірність того, що подія є зміною стану символу з 0 на 1, дорівнює:

\[p_{q_{01}} = (n ⋅ q_{01})/ρ\label{13.2}\]

І ймовірність того, що подія - це згасання роду з характером стану 1, становить:

\[p_{μ_1} = \dfrac{(n − k)⋅μ_1}{ρ} \label{13.3}\]

І так далі для інших чотирьох можливих подій.

Після того, як ми вибрали подію таким чином, ми можемо випадковим чином призначити її одній з родовищ у відповідному стані, причому кожна лінія однаково ймовірно буде обрана. Потім ми продовжуємо вперед у часі, поки не отримаємо набір даних із бажаним розміром або загальною глибиною часу.

Приклад моделювання показаний на малюнку 13.1. Як бачите, за цими параметрами моделі легко очевидний вплив станів характеру на диверсифікацію. У наступному розділі ми з'ясуємо, як витягти цю інформацію з наших даних.

Малюнок 13.1. Моделювання характерно-залежної диверсифікації. Дані моделювалися за моделлю, де швидкість диверсифікації стану нульового (червоного кольору) істотно нижча, ніж у стані 1 (чорний; параметри моделі q ₀₁ = 1 ₁₀ = 0,05, λ ₀ = 0,2, λ ₁ = 0,8, μ ₀ = μ ₁ = 0,05). Зображення автора, може бути використано повторно за ліцензією CC-BY-4.0.