5.5: Поєднання лінійної оптимізації з марківськими моделями погіршення
- Page ID
- 9148
У попередньому розділі проілюстровано використання очікуваних компонентних умов для використання в оптимізації та прийнятті рішень. Також можна включити розподіл можливих умов протягом певного періоду часу. Найпоширенішим засобом створення цього синтезу є поєднання оптимізації з марківськими моделями зносу. Ряд систем управління мостами та тротуарами засновані на цьому синтезі; наприклад, див. AASHTO (2016) або Golabi (1997). Навряд чи менеджер інфраструктури сформулював би такий синтез проблеми оптимізації, але менеджери регулярно використовують програмні програми, що вбудовують синтезовану оптимізацію.
У таблиці 5.5.1 наведено приклад матриці переходу Марковського процесу та можливих дій для конкретної складової. Визначено п'ять станів стану стану, причому 1 представляє хороший стан, а 5 - несправність компонента. Для компонентів у стані 1 рекомендована дія управління - нічого не робити. У кожному році в державі 1 існує 3% ймовірність погіршення стану 2. Для компонентів у станах 2 та 3 можливі дії з можливими діями з можливими наслідками ймовірності, як показано. Є істотні шанси, що виправлення може виявитися неефективним, оскільки компоненти можуть залишатися в початковому стані або погіршуватися далі (хоча з низькою ймовірністю такого зносу). Для компонентів у стані 4 можливі дії «нічого», реабілітація або заміна. При діях «нічого» та початковому стані 4 існує 13% ймовірність невдачі протягом року.
| Початковий стан | Дія | \(Pr\text{(state 1)}\) | \(Pr\text{(state 2)}\) | \(Pr\text{(state 3)}\) | \(Pr\text{(state 4)}\) | \(Pr\text{(state 5)}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.97 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.03 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 2 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.97 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.03 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 2 | патч | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.62 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.34 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.04 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 3 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.92 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.08 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 3 | патч | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.52 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.35 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.10 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.03 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 4 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.87 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; "> 0.13 |
| 4 | Реабілітувати | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.68 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.27 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.05 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 4 | Реплака | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.99 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.01 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 4)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 5)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
Початковим кроком аналізу з таблицею ймовірностей переходу, таких як це, може бути мінімізація довгострокових витрат на утримання конкретного компонента. Звичайно, нічого не робити на кожному етапі мінімізувало б витрати, за винятком того, що врешті-решт компонент вийде з ладу. Імовірно, менеджер намагатиметься мінімізувати витрати за умови уникнення переходу до стану 5. Змінні рішення будуть певною дією, заданою державою. Завданою функцією буде мінімізація очікуваного стану (або, можливо, ймовірності відмови). При горизонті планування та початковому стані зміни ймовірностей з плином часу можна простежити як лінійну функцію змінних рішення. Також може бути накладено обмеження на бюджет (як у еквалайзері 5.2.4) над усіма компонентами мосту, якими керується.
Цей підхід до оптимізації ми проілюструємо невеликою проблемою. Припустимо, набір однакових компонентів може мати три можливі стани стану стану: 1 — добре, 2 — середнє і 3 — погане. Можна здійснити одну технічну діяльність, яка перемістить компонент з будь-якого стану в стан 1 за ціною ci. У таблиці 5.5.2 показані ймовірності переходу для компонента з нічого не робити та технічним обслуговуванням. Нарешті, існує бюджет, доступний на рік, і відомий стан si для кожного компонента.
| Початковий стан | Дія | \(Pr\text{(state 1)}\) | \(Pr\text{(state 2)}\) | \(Pr\text{(state 3)}\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.8 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.2 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 1 | Технічне обслуговування | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 2 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.8 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.2 |
| 2 | Технічне обслуговування | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
| 3 | Нічого не робити | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1.0 |
| 3 | Технічне обслуговування | \ (Pr\ text {(стан 1)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">1.0 | \ (Pr\ text {(стан 2)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 | \ (Pr\ text {(стан 3)}\)» style="вертикальне вирівнювання: середина; ">0.0 |
Дотримуючись рецептурного підходу, розглянутого в попередньому розділі:
- Визначимо нашу змінну рішення так,\(x_i = 0\) ніби нічого не робити і\(x_i = 1\) якщо технічне обслуговування виконується. (Якби було більше двох дій можливих, то ми могли б додати індекс, як у Eq. 5.2.2 для кожного компонента та кожної можливої дії, а змінна рішення була\(x|{ij}\) б 0, якщо дія не\(j\) була зроблена на компоненті,\(I\) і один, якщо дія\(j\) була зроблена на компоненті \(i\)).
- Припустимо, що мета полягає в мінімізації середнього стану компонента.
- Єдине обмеження - обмеження бюджету на всі дії. (Однак, якщо можливо більше однієї дії, нам доведеться додати обмеження, подібне до Eq. 5.2.3 для кожного компонента).
Виникає проблема:
\(\text{Minimize Average Condition State}\)
\[=\sum_{s=1}(.8+2 * .2) *\left(1-x_{i}\right)+\sum_{s=2}(2 * 0.8+3 * 0.2) *\left(1-x_{i}\right)+\sum_{s=3} 3 *\left(1-x_{i s}\right)+\sum_{i} x_{i}\]
\(\text {Subject to } \sum_{i} c_{i} * x_{i} \leq B, x_{i} \text { binary }\)
Якщо цільова функція має чотири терміни: (1) результуючий стан компонентів у стані 1 без дії, (2) результуючий стан компонентів, що починаються у стані 2 без дії, (3) результуючий стан компонентів у стані 3 без дії (вони залишаються в стані 3), і (4) компоненти з підтримкою переміщення заявити 1. Обмеженнями є загальний бюджет і обмеження\(x_i\) до нуля або одиниці. Як зазначалося вище, варіація додасть додаткові потенційні дії (використовуючи позначення\ (x_ {iS}) та різні результуючі умови.