4.3: Стаціонарність

Стаціонарний випадковий процес - це той, ансамбльова статистика якого не залежить від часу. Інтуїтивно, це означає, що якби ми проводили вибірку послідовності процесів, одночасно в межах кожного процесу, і обчислюємо статистику цього набору даних, ми не виявили б залежності статистики від часу вибірки. Шум двигуна літака є стаціонарним процесом у рівні польоту, тоді як звук живих людських голосів не є. Для стаціонарного процесу\(m(t) = m\), тобто засіб ансамблю не має залежності від часу. Те ж саме стосується і інших статистичних даних:\(V(t) = R(t, \, 0) = V\), і\(R(t, \, \tau) = R(\tau)\). Формально стаціонарний процес має всю статистику ансамблю незалежно від часу, тоді як наш випадок, що середнє значення, дисперсія та автокореляційні функції не залежать від часу, визначає (слабший) стаціонарний процес другого порядку.

Ось приклад:\(y_i(t) = a \cos (\omega_o t + \theta_i)\), де\(\theta_i\) є випадкова величина, розподілена рівномірно в діапазоні\([0, 2\pi]\). Чи є цей процес стаціонарним? Ми маємо показати, що всі три ансамблю статистики не залежать від часу:

\ почати {вирівнювати*} E (y (t)) &=\ dfrac {1} {2\ пі}\ int\ limits_ {0} ^ {2\ pi} a\ cos (\ омега_о т +\ тета)\, d\ тета = 0\\ [4pt] R (t,\,\ tau) &= E (y (t +\ tau)\ [4pt] &=\ dfrac {1} {2\ пі}\ int\ limits_ {0} ^ {2\ pi} a^2\ cos (\ омега_о т +\ тета)\ cos (\ омега_о (т +\ тау) +\ тета)\, d\ тета\\ [4pt] & амп; =\ dfrac {1} {2} a^2\ cos (\ омега_о\ тау)\\ [4пт] V (t) &= R (t,\, 0). \ end {вирівнювати*}

Таким чином, процес другого порядку стаціонарний.

Як зазначалося вище, статистика стаціонарного процесу не обов'язково збігається з середніми часовими показниками. Дуже простим прикладом цього є підкидання монети, при якому головки спрацьовують\(x_1(t) = 1\) і\(x_2(t) = 2\). Зрозуміло, що середнє за часом\(x_1(t)\) одне, але ансамбль означає в будь-який час є\(E(x(t_o)) = 1.5\). Ця різниця виникає тут, навіть якщо процес, очевидно, стаціонарний.

Коли статистика ансамблю і середньочасові показники збігаються, ми говоримо, що процес ергодичний. Продовжуючи наш приклад вище, розрахуємо тепер середні за часом:

\ почати {вирівнювати*} м (y_i (t)) &=\ lim_ {T\ to\ infty}\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} a\ cos (\ омега_о т +\ тета_i)\, dt\\ [4pt] &=\ lim_ {T\ to\ infty}\ dfrac {1} {T}\, a\,\ dfrac {1} {\ омега_о}\ sin (\ омега_о т +\ тета_я) |_0^T\\ [4pt] &= 0;\\ [4pt] R^t (\ тау) &=\ lim_ {T\ to\ infty}\ dfrac {1 } {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} a^2\ cos (\ омега_о т +\ тета_i)\ cos (\ омега_о (т +\ тау) +\ тета_i)\, dt\\ [4pt] &=\ dfrac {1} {2} a^2\ cos (\ omega_o\ tau);\\ [4pt] В^т &= R^t (0) =\ dfrac {a^2} {2}. \ end {вирівнювати*}

Отже, синусоїда у випадковій фазі - це ергодичний процес. Дійсно, ця форма є основою для моделювання природних випадкових процесів, таких як океанські хвилі, атмосферні умови та різні типи шумів. Зокрема, можна перевірити, що конструкція

\[ y(t) = \sum_{n=1}^N a_n \cos (\omega_n t + \theta_n), \]

де\(\theta_n\) вони самостійно і рівномірно розподілені в\([0, \, 2 \pi]\) є стаціонарним і ергодичним. Він має середнє значення нуль, і автокореляцію

\[ R(\tau) = \sum_{n=1} \dfrac{a_n ^2}{2} \cos (\omega_n \tau). \]

Тепер робимо дві бічні нотатки. У стаціонарних та ергодичних умовах автокореляційна функція симетрична на позитивній та негативній,\(\tau\) оскільки ми завжди можемо писати

\[ R(\tau) = E(x(t)x(t + \tau)) = E(x(t' - \tau)x(t')), \textrm{ where } t' = t + \tau. \]

Крім того, у нас є нерівність, яка\(R(0) \geq |R(\tau))|\) для будь-якого\(\tau\). Щоб переконатися в цьому,

\ почати {вирівняти} 0\ leq Е [х (т) + х (т +\ тау)) ^2]\, &=\, Е [х (т) ^2] + 2E [х (т) х (т +\ тау)] + Е [х (т +\ тау) ^2]\\ [4pt] &=\, 2R (0) + 2R (\ тау);\ текст {аналогічно,}\ номер\\ [4pt] {}\ nonumber\\ [4pt] 0\ leq E [x (t) - x (t +\ тау)) ^2]\, &= E [x (t) ^2] - 2E [x (t) x (t +\ tau)] + E [x (t +\ tau) ^2\\ [4 pt] &=\, 2R (0) - 2R (\ тау). \ nonumber\ кінець {вирівняти}

Єдиний спосіб обидва з них можуть бути правдою, якщо\(R(0) \geq |R(\tau)|\).