3.6: Гаусова PDF

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Нормальний або гаусовий pdf є одним з найпопулярніших дистрибутивів для опису випадкових величин, почасти тому, що багато фізичних систем виявляють гаусову мінливість, а частково тому, що гаусовий pdf піддається деяким дуже потужним інструментам у проектуванні та аналізі. Це

$\underline{p}(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{(x - \bar{x})^2 \ 2 \sigma^2},$

де $\sigma$ і $\sigma^2$ є стандартним відхиленням і дисперсією відповідно і $\bar{x}$ є середнім значенням. За дизайном цей pdf завжди має площу, яка дорівнює одиниці. Функція кумулятивної ймовірності дорівнює

$P(x) = \dfrac{1}{2} + \textrm{erf} \left( \dfrac{x - \bar{x}}{\sigma} \right)$

де

$\textrm{erf} (\xi) = \dfrac{1}{\sqrt {2 \pi}} \int\limits_{0}^{\xi} e ^{-\xi^2 /2} \, d\xi.$

Не намагайтеся обчислити функцію помилки erf (); шукайте її в таблиці або викликайте підпрограму! Гауссова розподіл має стенографію: $N(\bar{x} , \sigma^2)$ . Аргументи - середнє значення і дисперсія.