10.7: Ефект початкової недосконалості

Last updated
Save as PDF

Page ID: 33249

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Плити можуть виявитися геометрично недосконалими через процес виготовлення, спотворення зварювання або неправильного поводження при транспортуванні. Форму недосконалої пластини можна виміряти так, як визначено функцією\(\bar{w}(x, y)\). Загалом початкова форма поза площиною може бути розширена в рядах Фур'є. Перший фундаментальний режим зростає швидше. Тому досить врахувати, що недосконалості розподіляються в першому режимі.

\[\bar{w}(x, y) = \bar{w}_o \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{a}\]

При початковій недосконалості визначення кривизн і деформацій мембрани необхідно модифікувати.

\[\kappa_{\alpha \beta} = −(w − \bar{w})_{,\alpha \beta} \]

\[\epsilon_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} (u_{\alpha, \beta} + u_{\beta , \alpha}) + \frac{1}{2} w_{,\alpha} w_{\beta} − \frac{1}{2} \bar{w}_{,\alpha} \bar{w}_{,\beta} \]

які зводять до рівнянь (10.2.7) і (10.1.7) відповідно, коли\(\bar{w}(x, y) = 0\). Похідне, представлене в розділі 10.5, все ще діє, і вираз для загальної потенційної енергії однаковий, за винятком усіх термінів, що стосуються wo, тепер слід замінити на\((w_o − \bar{w}_o)\). Структурні недосконалості зазвичай невеликі і можна порівняти з товщиною плити. Графік кривої навантаження-зміщення геометрично досконалої пластини і пластини з двома величинами початкових недосконалостей показаний на малюнку (\(\PageIndex{1}\)). Навантаження було нормалізовано з критичним навантаженням на вигин та зміщеннями критичним зміщенням стійкості.

10.7.1.png — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Криві переміщення навантаження для недосконалих просто підтримуваних пластин.