9.4: Динамічна оснащення

Конспекти лекцій обмежені статичними та квазістатичними задачами. Однак характер задачі оснащення вимагає розгляду повного динамічного аналізу. Припустимо, що навантаження двухбарной системи контролюється навантаженням. На ділянці АВ є стійкий шлях рівноваги. При$\bar{P}_{\text{max}} = \frac{2}{3 \sqrt{3}}\bar{\delta}^3$ досягненні система миттєво перескакує до наступної точки рівноваги F в статичному розчині. Величина сили однакова, але відповідне зміщення визначається з рішення кубічного рівняння

$$\frac{2}{3\sqrt{3}}\bar{\delta}^3 = \delta \bar{\delta}^2 − \delta^3$$

Це рівняння має три реальних кореня

$$\delta_1 = \frac{\bar{\delta}}{\sqrt{3}}, \delta_2 = \delta_3 = − \frac{2 \bar{\delta}}{\sqrt{3}}$$

Додаючи сили інерції в рівняння рівноваги, процес оснащення відбувається в часі. Барна система спочатку прискорюється на частині BCD спадної сили, а потім сповільнюється на зростаючій частині DEF.

Динамічне рішення прямо вперед, якщо розподілена маса стрижня згорнута в дві дискретні точкові маси$m = lA\rho$, як показано на малюнку ($\PageIndex{1}$).

Додаючи сили інерції д'Аламбера в статичну рівновагу, рівняння (9.3.5), отримують

$$−P − 2m \frac{\ddot{w}_o}{2} = 2N \frac{w_o}{l} \label{10.52}$$

де зараз$P$ позитивно в напрузі.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Еквівалент двох безмасових брусків і двох загострених мас.

Усунувши осьову силу$N$ в прутках між рівняннями (9.3.4) та\ ref {10.52}, отримують наступне диференціальне рівняння

$$−\bar{P} − \frac{l^2 \rho}{E} \ddot{\delta} = \delta [ \delta^2 − \bar{\delta}^2 ] \label{10.53}$$

де точка позначає диференціацію по відношенню до часу. Зручно вводити безрозмірний час$\bar{t} = \frac{t}{t_1}$, де$t_1 = \frac{l}{c}$ -$c^2 = \frac{E}{\rho}$ еталонний час, і швидкість поздовжньої хвилі напруги в барі. У системі, керованій силою, збудливий термін постійний$\bar{P} = \frac{2}{3 \sqrt{3}}\bar{\delta}^3$. У новій безрозмірній координаті Equation\ ref {10.53} набуває вигляду

$$−\bar{P} − \ddot{\delta} = \delta^3 − \bar{\delta}^2 \delta \label{10.54}$$

де точка позначає диференціацію щодо безрозмірного часу$\bar{t}$. Використовуючи ланцюгове правило диференціації,

$$\ddot{\delta} = \frac{d \dot{\delta}}{d\bar{t}} = \frac{d \dot{\delta}}{d\delta} \frac{d \delta}{d\bar{t}} = \frac{d \dot{\delta}}{d\delta} \dot{\delta} \label{10.55}$$

можна отримати рішення на фазовій площині$(\delta, \dot{\delta}$) швидше засмаги в часовій області. Підставляючи рівняння\ ref {10.55} на рівняння\ ref {10.54}, отримано наступне рівняння

$$−\bar{P} d\delta − \dot{\delta}d \dot{\delta} = (\delta^3 − \bar{\delta}^2 \delta ) d\delta$$

які можуть бути легко інтегровані, щоб дати

$$−\bar{P} \delta − \frac{1}{2} \dot{\delta}^2 = \frac{\delta^4}{4} − \frac{\bar{\delta^2}\delta^2}{2} + C \label{10.57}$$

Константа інтеграції$C$ визначається з початкової умови, що швидкість$\dot{\delta}$ дорівнює нулю при досягненні прогину$\delta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (точка В). Рішенням для швидкості$\dot{\delta}$ є

$$\dot{\delta} = 2\bar{\delta}^2 \sqrt{−P \left(\frac{\delta}{\bar{\delta}}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{\delta}{\bar{\delta}}\right)^2 − \frac{1}{4} \left(\frac{\delta}{\bar{\delta}}\right)^4 + \frac{1}{12}} \label{10.58}$$

З точки зору нормованої швидкості$\frac{\dot{\delta}}{2 \bar{\delta}^2} = \bar{v}$ та нормованого відхилення$\eta = \frac{\delta}{\bar{\delta}}$ рівняння\ ref {10.58} читає

$$\bar{v} = \sqrt{−\frac{2}{3 \sqrt{3}}\eta + \frac{1}{2}\eta^2 − \frac{1}{4}\eta^4 + \frac{1}{12}} \label{10.59}$$

Сюжет$\bar{v}$ versus$\eta$ показаний на малюнку ($\PageIndex{2}$).

Малюнок$\PageIndex{2}$: Сюжет$\bar{v}$ проти$\eta$ в динамічному оснащенні.

Многочлен$\eta$ під квадратним коренем у Equation\ ref {10.59} має два дійсних кореня, at$\eta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ і$\eta = − \sqrt{3}$. Динамічний рух починається з B, збільшується повільно, досягає максимуму в F і швидко падає до нуля в точці G з координатою$\eta_f = \sqrt{3}$. Зверніть увагу, що динамічний прогин значно перевершує прогин, досягнутий у статичній задачі$\eta_{\text{stat}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = 1.15$.

На завершальному етапі, коли рух системи припиняється, в штанзі зберігається достатня енергія розтягування для початкової вільної вібрації зі$\bar{P}$ знятим терміном форсування. Розв'язок цієї фази задається рівнянням\ ref {10.57} with$\bar{P} = 0$, і новою константою інтеграції$C_1 = \frac{3}{4}$ таким чином, що досягається неперервність швидкості. Сюжет вільної вібрації системи, що регулюється

$$\bar{v} = \sqrt{\frac{1}{2}\eta^2 − \frac{1}{4}\eta^4 + \frac{3}{4}}$$

показано на малюнку ($\PageIndex{3}$), у порівнянні з динамічним скрізним графіком.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Графік$\bar{v}$ versus$\eta$ у вільній вібрації, в порівнянні з динамічно-наскрізним сюжетом.