8.5: Стабільність у напрузі

Для деяких матеріалів нестійкість в напрузі проявляється розвитком локальної шийки, рис. ($\PageIndex{1}$).

Малюнок$\PageIndex{1}$: Шийка в суцільному перерізі бруса і тонкостінної труби під натягом.

Розглянемо круглий пруток початкової площі поперечного перерізу, що$A_o$ піддається зусиллям розтягування$P$. Бар стає довшим і тому, що ефект Пуассона його поперечний переріз зменшується до значення струму$A$. Цей аналіз справедливий для матеріалів, які є нестисливими, тобто не змінюють об'єм, а лише форму. Певні полімери, гума і метали (в пластиковому асортименті) є нестисливими.

Обсяг нескінченно малої довжини$l$ дорівнює

$$V = lA$$

Приріст обсягу для нестисливого матеріалу повинен дорівнювати нулю

$$\delta V = \delta (lA) = \delta lA + l \delta A = 0$$

Візьмемо логарифмічне визначення осьової деформації

$$\epsilon = \ln \frac{l}{l_o} ; \quad \delta \epsilon = \frac{\delta l}{l}$$

З перерахованих вище двох рівнянь

$$\delta \epsilon = \frac{\delta l}{l}= − \frac{\delta A}{A}$$

Інтеграція обох сторін

$$\epsilon = − \ln A + C \nonumber$$

В$A = A_o$,$\epsilon = 0$ так$C = \ln A_o$.

Тому виразом для осьової деформації стає

$$\epsilon = \ln \frac{A_o}{A} = \ln \frac{l}{l_o}$$

Зроблено висновок, що осьова деформація може бути визначена або вимірюванням зміни довжини, або зміною площі поперечного перерізу. Справжнє (Коші) напруга визначається як навантаження, розділене на поперечний переріз струму$A$

$$\sigma = \frac{P}{A}$$

Побудуємо загальну потенційну енергію і її першу варіацію

$$\delta \prod = \int_{V} \sigma \delta \epsilon dv − P \delta u \label{9.60}$$

Перед виникненням нестабільності деформація і напруга (одновісний натяг) рівномірні по перерізу бруса довжини$l$

$$u = l \epsilon = l \ln \frac{A_o}{A} \label{9.61a}$$

$$\delta u = −l \frac{\delta A}{A} \label{9.61b}$$

Таким чином, з рівнянь\ ref {9.60} і\ ref {9.61a} -\ ref {9.61b}

$$\delta \prod = \int_{V} \sigma \delta \epsilon dv + Pl \frac{\delta A}{A}$$

Друга варіація загальної потенційної енергії -

$$\delta^2 \prod = \int_{V} \delta \sigma \delta \epsilon dv − Pl \frac{\delta A \delta A}{A^2}$$

Застосовуючи умову стійкості Trefftz,$\delta^2 \prod = 0$ отримуємо

$$lA \delta \sigma \delta \epsilon = Pl \delta \epsilon \delta \epsilon$$

або

$$\delta \sigma = \frac{P}{A} \delta \epsilon = \sigma \delta \epsilon$$

і наостанок

$$\frac{\delta \sigma}{\delta \epsilon} = \sigma \label{9.66}$$

Нестисливий стрижень втрачає стійкість у напрузі, коли локальна дотична до кривої напруження-деформації стає рівним значенню напруги в цій точці. Графічна інтерпретація показана на малюнку ($\PageIndex{2}$).

Малюнок$\PageIndex{2}$: Побудова «Розглядач», який першим вивів рівняння\ ref {9.66}.

При якому напруженні розвивається нестабільність для еластичного матеріалу? При одноосьовому напруженні

$$\sigma = E\epsilon$$

$$\frac{d\sigma}{d\epsilon} = E$$

Рівняння\ ref {9.66} задовольняється, якщо$\epsilon = 1$. Для металів така деформація не досяжна в еластичному діапазоні, оскільки вихід буде досягнутий при деформації$\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} \cong 10^{−3}$. Однак для гуми і подібних полімерних матеріалів модуль Юнга на чотири порядки менше, тому шийка є звичайним явищем. Виведення умови нестабільності\ ref {9.66} проводилося без будь-яких припущень про відношення напружено-деформованого матеріалу. Тому ця умова справедлива для еластичного, а також пластичного матеріалу. Це підводить нас до наступної теми, яка є пластиковим вигином колон.