1.4: Кінематика теорії елементарного пучка

Last updated

Oct 26, 2022
Save as PDF
- 1.3: Опис деформації в циліндричній системі координат
- 1.5: Гіпотеза Ейлера-Бернуллі

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Слово «кінематика» походить від грецького слова «кінема», що означає руху, рух. Будь-який рух тіла передбачає $u_i$ зсуви, їх $du_i$ прирости і швидкості $\dot{u}_i$ . Якщо виключити переклади і обертання жорсткого тіла, розвиваються деформації. Ми часто говоримо «Кінематичне припущення» або «Кінематичні граничні умови» або «Кінематичні величини» тощо Все це означає, що висловлювання робляться про зміщення та деформації та/або їх швидкості. На відміну від цього, слово «статичний» зарезервовано для опису напружень та/або сил, навіть якщо тіло може рухатися. Справа в тому, що для статично визначених конструкцій можна було визначити напруження і сили, не викликаючи руху. Такі вирази, як «статична формулювання», «статичні граничні умови», «статичні величини» завжди відносяться до напружень і сил.

Elementary - це ще одне слово в назві цього розділу, яке вимагає пояснення. Балка - це струнка конструкція, яка може бути стиснута, витягнута або зігнута. Балка повинна піддаватися поперечному навантаженню (перпендикулярно її осі). Інакше це стає чимось іншим, як пояснено на малюнку ( $\PageIndex{1}$ ).

1.4.1.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : За типом навантаження розрізняють п'ять різних типів конструкцій.

Всі перераховані вище конструкції можуть володіти подібною стрункістю. Наскільки стрункою має бути конструкція, щоб стати пучком. Стрункість визначається як відношення довжини до товщини $\frac{l}{h}$ . Якщо $\frac{l}{h} > 20$ , балка підпорядковується спрощеним кінематичним припущенням і називається вона «балкою Ейлера». Набагато коротші балки з $\frac{l}{h} < 10$ розвиваються значними напруженнями зсуву на додаток до напружень вигину і повинні бути оброблені іншим набором припущень. Такі балки іменуються балками Тимошенко. Проміжним діапазоном $10 < \frac{l}{h} < 20$ є сіра область, де спрощені припущення теорії елементарного променя поступово втрачають дійсність.

У цьому розділі розглядаються балки суцільного перетину, на відміну від тонкостінних секцій. У цих конспектах лекцій послідовно використовується прямокутна $(x, y, z)$ праворучна система координат. Вісь Х спрямована по довжині балки з початком в зручне місце розташування, як правило, кінець центру балки. Вісь Y знаходиться в напрямку ширини своїм початком на площині симетрії поперечного перерізу, рис. ( $\PageIndex{2}$ ). Нарешті, вісь z спрямована вниз і вимірюється від центроїдальної осі поперечного перерізу (див. Декламація 2 для визначення центроїдальної осі).

1.4.2.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Призматичний стрункий пучок з симетричним перетином.

У будівельній механіці складові вектора зміщення в $x$ $y$ , і $z$ напрямки позначаються відповідно $(u, v, w)$ . Розвиток теорії елементарного пучка ґрунтується на трьох кінематичних припущеннях. Додаткові припущення щодо стресового стану будуть введені пізніше.