1.6: Електромагнітні хвилі

Рівняння Максвелла

У цьому тексті\(I\) позначають\(V\) і постійну напругу і струм відповідно,\(v\) а також\(i\) позначають змінний струм або змінну напругу і струм. При аналізі схем ми не стурбовані тим, що відбувається поза цими проводами. Нас цікавлять тільки напруга вузлів і струми через дроти. Крім того, напруги та струми в ланцюзі описуються як функції часу,\(t\) але не положення\((x, y, z)\). Пристрої, такі як резистори, конденсатори та індуктори теж вважаються точковими і не розширеними щодо положення\((x, y, z)\). Цей набір припущень є лише моделлю. У реальності, якщо два вузли в ланцюзі мають різницю напруг між ними, то обов'язково сила прикладається на сусідні заряди не на шляху проходження ланцюга. Ця сила на одиницю заряду є напруженістю електричного поля\(\overrightarrow{E}\). Аналогічно, якщо по проводу протікає струм, обов'язково виникає сила, що чиниться на електрони в сусідніх петель дроту, і ця сила на одиницю струмового елемента є щільністю магнітного потоку\(\overrightarrow{B}\). Енергія може зберігатися в електричному або магнітному полі. У наступних розділах ми обговоримо пристрої, включаючи антени, електрооптичні пристрої, фотоелектричні пристрої, лампи та лазери, які перетворюють енергію електромагнітного поля в електрику або з неї. Для опису електромагнітних полів використовуються чотири взаємопов'язані векторні величини. Ці векторні поля є функціями положення\((x, y, z)\) і часу\(t\). Чотири векторні поля

• \(\overrightarrow{E}(x, y, z, t) =\)Напруженість електричного поля в\(\frac{V}{m}\)
• \(\overrightarrow{D}(x, y, z, t) =\)Щільність поля зміщення в\(\frac{C}{m^2}\)
• \(\overrightarrow{H}(x, y, z, t) =\)Напруженість магнітного поля в\(\frac{A}{m}\)
• \(\overrightarrow{B}(x, y, z, t) =\)Щільність магнітного потоку в\(\frac{Wb}{m^2}\)

У цих виразах\(V\) представляє одиниці вольт,\(C\) представляє одиниці кулонів,\(A\) представляє одиниці ампер і\(Wb\) представляє одиниці вебер. Додаткові скорочення для одиниць наведені в Додатку В.

Закон Кулона:

\[\overrightarrow{F} = \frac{Q_1 Q_2 \hat a_r}{4 \pi \epsilon r^{2}} \nonumber \]

говорить нам про те, що заряджені предмети чинять сили на інші заряджені об'єкти. У цьому вираженні\(Q_1\) і\(Q_2\) знаходяться величини зарядів в кулоні. Величина\(\epsilon\) - це діелектрична проникність навколишнього матеріалу в одиницях фарад на метр, і вона обговорюється далі в 1.6.3 і 2.1.3. Величина\(r\) - це відстань між зарядами в метрах, і\(\hat a_r\) являє собою одиничний вектор, що вказує уздовж напрямку між зарядами. Сила в ньютонах представлена\(\overrightarrow{F}\). Протилежні заряди притягують, і подібні заряди відштовхують. Напруженість електричного поля - це сила на одиницю заряду, тому напруженість електричного поля за рахунок точкового заряду задається\[\overrightarrow{E} = \frac{Q \hat a_r}{4 \pi \epsilon r^{2}} \nonumber \]

Ці векторні поля можуть описувати сили на заряди або струми в ланцюзі, а також поза траєкторією ланцюга. Рівняння Максвелла пов'язують мінливі в часі електричні та магнітні поля. Рівняння Максвелла в диференціальній формі:

\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E} = -\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \quad \text{Faraday's Law} \nonumber \]

\[\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{H} = \overrightarrow{J} + \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \quad \text{Ampere's Law} \nonumber \]

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{D} = \rho_{ch} \quad \text{Gauss's Law for the Electric Field} \nonumber \]

\[\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{B} = 0 \quad \text{Gauss's Law for the Magnetic Field} \nonumber \]

Додатковими величинами в рівняннях Максвелла є об'ємна щільність струму\(\overrightarrow{J}\) в\(\frac{A}{m^2}\) і щільність заряду\(\rho_{ch}\) в\(\frac{C}{m^3}\). У цьому тексті ми не будемо вирішувати рівняння Максвелла, але зіткнемося з посиланнями на них.

Величина\(\overrightarrow{\nabla}\) називається оператором del. У декартових координатах він задається

\[\overrightarrow{\nabla} =\hat a_x \frac{\partial}{\partial x} + \hat a_y \frac{\partial}{\partial y} + \hat a_z \frac{\partial}{\partial z}. \nonumber \]

Коли цей оператор діє на скалярну функцію\(\overrightarrow{\nabla}f\), він називається градієнтом. Градієнт скалярної функції повертає вектор, що представляє просторову похідну функції, і вказує у напрямку найбільшої зміни цієї функції. У рівняннях Максвелла\(\overrightarrow{\nabla}\) діє на векторні, а не скалярні, функції. Операція\(\overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E}\) називається завивкою, а операція\(\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E}\) називається розбіжністю. Обидві ці операції являють собою типи просторових похідних векторних функцій. Оператор del підпорядковується ідентичності

\[\nabla^2 =\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\nabla}. \nonumber \]

Операція\(\nabla^2f\) називається лапласианом скалярної функції, і вона являє собою просторову другу похідну цієї функції.

Електромагнітні хвилі у вільному просторі

Електромагнітні хвилі рухаються крізь порожній простір зі швидкістю світла у вільному просторі\(c = 2.998 \cdot 10^8 \frac{m}{s}\), а через інші матеріали зі швидкістю менше\(c\). Для синусоїдальної електромагнітної хвилі швидкість поширення є добутком частоти та довжини хвилі\[|\overrightarrow{v}| =f \lambda \nonumber \]

де\(|\overrightarrow{v}|\) - величина швидкості в\(\frac{m}{s}\),\(f\) - частота в Гц, а\(\lambda\) довжина хвилі в метрах. У вільному просторі це стає\[c =f \lambda. \nonumber \]

Швидкість світла у вільному просторі пов'язана з двома константами, які описують вільний простір. \[c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}} \nonumber \]

Діелектрична проникність вільного простору задається тим,\(\epsilon_0 = 8.854 \cdot 10^{-12} \frac{F}{m}\) де\(F\) представляє фарад, а проникність вільного простору задається тим,\(\mu_0 = 1.257 \cdot 10^{-6} \frac{H}{m}\) де\(H\) представляє Генріс. (Константи, зазначені в цьому розділі і в Додатку А, округляються до чотирьох значущих цифр.)

У вільному просторі напруженість електричного поля\(\overrightarrow{E}\) і щільність потоку зміщення\(\overrightarrow{D}\) пов'язані між собою\(\epsilon_0\). \[\overrightarrow{D} = \mu_0 \overrightarrow{E} \nonumber \]

Відносно у вільному просторі напруженість магнітного поля\(\overrightarrow{H}\) та щільність магнітного потоку\(\overrightarrow{B}\) пов'язані між собою\(mu_0\). \[\overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{H}. \nonumber \]

Електромагнітні хвилі в матеріалах

Електромагнітні поля дуже по-різному взаємодіють з провідниками і з ізоляторами. Електромагнітні поля не поширюються на досконалі провідники. Замість цього на поверхні накопичуються заряди і струми. Хоча ніякі матеріали не є ідеальними провідниками, часто зустрічаються метали, такі як мідь та алюміній, є дуже хорошими провідниками. Коли ці матеріали поміщаються у зовнішнє електромагнітне поле, поверхневі заряди і струми накопичуються, і електромагнітне поле в матеріалі швидко наближається до нуля. Електромагнітні поля поширюються через ідеальні ізолятори на великі відстані, не розпадаючись, і ніякі заряди або струми не можуть накопичуватися на поверхні, оскільки немає електронів, вільних від їх атомів. У практичних діелектриках електромагнітні хвилі поширюються на великі відстані з дуже невеликим загасанням. Наприклад, оптичні електромагнітні хвилі залишаються досить сильними для виявлення після поширення сотень кілометрів через оптичні волокна, виготовлені з чистого діоксиду кремнію [10, с. 886].

Опір\(R\) в Омах, ємність\(C\) у фарадах і індуктивність\(L\) у Генрі описують електричні властивості пристроїв. Питомий опір\(\rho\) в\(\Omega m\),\(\epsilon\) діелектрична проникність і проникність\(\mu\)\(\frac{H}{m}\) описують електричні властивості матеріалів.\(\frac {F}{m}\) Кількість\(\rho\)\(\epsilon\), і\(\mu\) описують властивості матеріалів поодинці в той час як кількості\(R\)\(C\), і\(L\) включають ефекти матеріалу, форми і розміру пристрою.

Питомий опір\(\rho\) - це міра нездатності зарядів або електромагнітних хвиль поширюватися через матеріал. Провідники мають дуже малий питомий опір, тоді як ізолятори мають великий питомий опір. Іноді замість питомого\(\sigma =\frac{1}{\rho}\) опору використовується електропровідність\(\frac{1}{\Omega m}\), в одиницях. Для пристрою з однорідного матеріалу з довжиною\(l\) і площею поперечного перерізу\(A\) опір і питомий опір пов'язані\[R =\frac{\rho l}{A}. \nonumber \]

Опір - це міра нездатності зарядів або електромагнітних хвиль протікати через пристрій, тоді як питомий опір є мірою нездатності протікати через матеріал.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Геометрія паралельної пластини конденсатора і часткового витку індуктора.

Проникність\(\mu\) - це міра здатності матеріалу накопичувати енергію в магнітному полі за рахунок струмів, розподілених по всьому матеріалу. Матеріали також можуть бути описані їх відносною проникністю\(\mu_r\), безодичною мірою. \[\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} \nonumber \]

Хоча проникність описує матеріал, індуктивність описує пристрій. Щільність магнітного потоку в матеріалі є масштабованим варіантом напруженості магнітного поля.

\[\overrightarrow{B} =\mu\overrightarrow{H} \nonumber \]

Часто ізолятори мають проникність, близьку до,\(mu_0\) тоді як провідники, що використовуються для виготовлення постійних магнітів, мають значно більшу проникність. У правій частині малюнка\(\PageIndex{1}\): показана часткова виткова котушка у вакуумі з довжиною\(l\)\(d_{thick}\), товщиною та шириною\(w\). Індуктивність і проникність цього пристрою пов'язані [11, с. 311]

\[L =\frac{\mu d_{thick} l}{w}. \nonumber \]

Діелектрична проникність\(\epsilon\) - це міра здатності матеріалу зберігати енергію у вигляді електричного поля за рахунок поділу заряду, розподіленого по всьому матеріалу. Матеріали також можуть бути описані їх відносною діелектричною проникністю\(\epsilon_r\), безодичною мірою. \[\epsilon_r =\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \nonumber \]

Щільність потоку переміщення в матеріалі є масштабованим варіантом напруженості електричного поля. \[\overrightarrow{D} =\epsilon\overrightarrow{E} \nonumber \]

Деякі ізолятори мають діелектричну проникність в сотні разів більше, ніж діелектрична проникність вільного простору. Діелектрична проникність - це міра здатності зберігати енергію в матеріалі, тоді як ємність є мірою здатності зберігати енергію в пристрої.

Рівномірний паралельний пластинчастий конденсатор з площею поперечного перерізу пластин\(A =l \cdot w\) і відстанню між пластинами\(d_{thick}\)\(\PageIndex{1}\), показаний на лівій частині малюнка, і він має ємність,\[C =\frac{\epsilon A}{d_{thick}} \nonumber \] де\(\epsilon\) діелектрична проникність ізолятора між пластинами.

Діелектрична проникність, проникність та питомий опір залежать від частоти. У деяких контекстах частотну залежність можна ігнорувати, і протягом більшої частини цього тексту ці величини будуть вважатися константами. В інших контекстах залежність від частоти може бути досить значною. Наприклад, діелектрична проникність напівпровідникових матеріалів є сильною функцією частоти для частот, близьких до напівпровідникового енергетичного розриву. Діелектрична проникність\(\epsilon(\omega)\) і питомий опір не\(\rho(\omega)\) є незалежними. Якщо одна з них відома як функція частоти і\(\mu\) вважається постійною, інша може бути виведена. Цей зв'язок відомий як співвідношення Крамерса Кроніга [10] або іноді як формула діелектричної дисперсії [15].

При обговоренні електричних властивостей пристрою опір, індуктивність та ємність об'єднуються в одну комплексну міру, імпеданс. Так само деякі автори вважають зручним об'єднати питомий опір, діелектричну проникність і проникність в пару комплексних заходів електричних властивостей матеріалів [6]. Визначено складну діелектричну проникність та\(\epsilon^* =\epsilon+j\rho\) визначено складну проникність\(\mu^* =\mu+j\rho_{mag}\). Величина\(\rho\) являє собою питомий опір, який є мірою енергії, перетвореної в тепло, коли заряд протікає через матеріал за рахунок застосованого електричного поля. Величина\(\rho_{mag}\) являє собою аналогічну міру енергії, перетвореної в тепло від струмів в прикладеному магнітному полі. Складна діелектрична проникність і проникність в цьому тексті не використовуватимуться.