4.1: Рівняння швидкості

У розділі 2.5 ми вивели для взаємодії дворівневого атома з лазерним полем, що поширює праворуч рівняння руху (2.5.13) і (2.5.14), які наведені тут знову:

$$\left ( \dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{v_g} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = \dfrac{N\hbar}{4T_2 E_s} w (z, t) A(z, t), \label{4.1.1}$$

$$\dot{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(z,t)|^2}{E_s} w(z, t), \label{4.1.2}$$

де швидкість релаксації енергії,$T_1$$v_g$ групова швидкість у матеріалі господаря, де вбудовані два атоми рівня$E_s = I_sT_1$, флюенс насичення [$J/cm^2$], середовища. І$I_s$ інтенсивність насичення відповідно до рівняння (2.4.7)

$$I_s = \left [\dfrac{2T_1T_2Z_F}{\hbar} \dfrac{|\vec{M} \hat{\vec{E}}|^2}{|\hat{\vec{E}}|^2} \right ]^{-1},\nonumber$$

яка пов'язує інтенсивність насичення з мікроскопічними параметрами переходу, такими як поздовжня і поперечна швидкості релаксації, а також дипольний момент переходу.

Малюнок 4.1: Рівняння швидкості для дворівневого атома

У багатьох випадках зручніше нормалізувати рівняння\ ref {4.1.1} і\ ref {4.1.2} до популяцій на рівні$\text{e}$$\text{g}$ і/або 2$N_2$ і 1 відповідно і$N_1$, і щільності фотонів$n_L$, в режимі взаємодії з атомами і рухаються на відповідному групова швидкість, vg, див. Рис. 4.1. Інтенсивність$I$ в режимі, що поширюється з$v_g$ груповою швидкістю з режимним об'ємом,$V$ пов'язана з кількістю фотонів,$N_L$ що зберігаються в режимі з$V$ об'ємом на

$$I = hf_L \dfrac{N_L}{2^*V} v_g = \dfrac{1}{2^*} hf_Ln_Lv_g, \nonumber$$

де$hf_L$ - енергія фотонів. $2^* = 2$для лінійного лазерного резонатора (тоді тільки половина фотонів йде в одному напрямку), і$2^* = 1$ для кільцевого лазера. У цій першій обробці розглядається випадок незалежних від простору рівнянь швидкості, тобто ми припускаємо, що лазер коливається в одному режимі, а густини енергії накачування і режиму рівномірні всередині лазерного матеріалу. З взаємодією поперечний переріз$\sigma$ визначається як

$$\sigma = \dfrac{hf_L}{2^*I_s T_1},\label{eq4.1.4}$$

і множення рівняння (??) з кількістю атомів в режимі отримуємо

$$\dfrac{d}{dt} (N_2 - N_1) = -\dfrac{(N_2 - N_1)}{T_1} - \sigma (N_2 - N_1) v_g n_L + R_p \nonumber$$

Зверніть увагу,$v_gn_L$ це потік фотонів, таким чином σ - це поперечний переріз стимульованого випромінювання між атомами і фотонами. $R_p$це швидкість накачування в верхній лазерний рівень. Аналогічне рівняння швидкості можна вивести для густини фотонів

$$\dfrac{d}{dt} n_L = -\dfrac{n_L}{\tau_p} + \dfrac{l_g}{L} \dfrac{\sigma v_g}{V_g} [N_2 (n_L + 1) - N_1 n_L].\label{eq4.1.6}$$

Ось час життя фотонів у порожнині або порожнині час розпаду і той, що в еквалайзері.$\tau_p$ ($\ref{4.1.6}$) припадає на спонтанне випромінювання, що еквівалентно стимульованому випромінюванню одним фотоном, що займає режим. $V_g$- це обсяг активного середовища посилення. Для лазерної порожнини з напівпрозорим дзеркалом з передачею$T$, що виробляє невеликі втрати потужності$2l = - \ln(1 - T) \approx T$ (для малих$T$) на кругообіг в порожнині, час розпаду порожнини становить$\tau_p = 2l/T_R$, якщо$T_R = 2^*L/c_0$ це час кругообігу в лінійній порожнині з оптичною довжиною$2L$ або кільцем порожнину з оптичною довжиною$L$. Оптична довжина$L$ - це сума оптичної довжини в середовищі посилення$n_{group} l_g$ та довжини порожнини вільного простору$l_a$. Внутрішні втрати можна лікувати аналогічним чином і сприяти часу розпаду порожнини. Зверніть увагу, швидкість розпаду при інверсії при відсутності поля$1/T_1$, обумовлена не тільки спонтанним випромінюванням, але і є результатом нерадіаційних процесів розпаду. Дивіться, наприклад, систему чотирьох рівнів, показану на малюнку 4.2. У межі, де популяції третього і першого рівня дорівнюють нулю, через швидкі темпи релаксації$T_{32}$$T_{10} \to 0$, т. Е.

$$\dfrac{d}{dt} N_2 = -\dfrac{N_2}{\tau_L} - \sigma v_g N_2 n_L + R_p \nonumber$$

$$\dfrac{d}{dt} n_L = -\dfrac{n_L}{\tau_p} + \dfrac{l_g}{L} \dfrac{\sigma v_g}{V_g} N_2 (n_L + 1). \nonumber$$

Малюнок 4.2: Ніве-лазер

де$\tau_L = T_{21}$ - термін служби верхнього лазерного рівня. Експериментально число фотонів та інверсія в лазерному резонаторі є не дуже зручними величинами, тому ми нормалізуємо обидва рівняння до посилення амплітуди в зворотному напрямку, що$g = \dfrac{l_g}{L} \dfrac{\sigma v_g}{2V_g} N_2 T_R$ відчувається світлом та циркулюючою внутрішньорезонаторною потужністю$P = I \cdot A_{eff}$

$$\dfrac{d}{dt} g = -\dfrac{g-g_0}{\tau_L} - \dfrac{gP}{E_{sat}} \nonumber$$

$$\dfrac{d}{dt} P = -\dfrac{1}{\tau_p} P + \dfrac{2g}{T_R} (P + P_{vac}), \nonumber$$

із

$$E_s = I_s A_{eff} \tau_{L} = \dfrac{hf_L}{2^* \sigma} \nonumber$$

$$P_{sat} = E_{sat}/\tau_L \nonumber$$

$$P_{vac} = hf_L v_g/2^* L = hf_L/T_R \nonumber$$

$$g_0 = \dfrac{2^* v_g R_p}{2A_{eff} c_0} \sigma \tau_L,\label{eq4.1.14}$$

невеликий сигнал зворотного посилення лазера. Зверніть увагу, коефіцієнт двох перед виграшем і втратою обумовлений тим, що$g$ і$l$ є посилення і втрати щодо амплітуди. Рівняння\ ref {eq4.1.14} з'ясовує, що цифра заслуги, яка характеризує малий посилення сигналу, досяжний з певним лазерним матеріалом, є$\sigma \tau_L$ -продуктом.

Таблиця 4.1: Діапазон довжин хвиль, поперечний переріз для стимульованого випромінювання, термін служби верхнього стану, ширина лінії, тип лінійної форми (H = однорідно розширена, I = неоднорідно розширена) та індекс для деяких часто використовуваних твердотільних лазерних матеріалів, а також у порівнянні з напівпровідниковими та барвниковими лазерами.

Лазерне середовище	Довжина хвилі$\lambda_0$ ($n$м)	Поперечний$\sigma$ переріз ($\text{cm}^2$)	Верхня Св. Термін служби$\tau_L$ ($\mu$и)	Ширина лінії$\Delta f_{FWHM} = \tfrac{2}{T_2} (\text{THz})$	Тип	Реф. індекс$n$
$\text{Nd}^{3+}: \ce{YAG}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,064	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$4.1 \cdot 10^{-19}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">1,200	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.210	Ч	\ (n\) ">1,82
$\text{Nd}^{3+}: \ce{LSB}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,062	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$1.3 \cdot 10^{-19}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">87	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">1.2	Ч	\ (n\) ">1.47 (ne)
$\text{Nd}^{3+}: \ce{YLF}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,047	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$1.8 \cdot 10^{-19}$	\ (\ тау_л\) ($\mu$и) ">450	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.390	Ч	\ (n\) ">1.82 (ne)
$\text{Nd}^{3+}: \ce{YVO4}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,064	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$2.5 \cdot 10^{-19}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">50	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.300	Ч	\ (n\) ">2.19 (ne)
$\text{Nd}^{3+}: \ce{glass}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,054	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$4 \cdot 10^{-20}$	\ (\ тау_л\) ($\mu$и) ">350	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">3	Ч/Я	\ (n\) ">1.5
$\text{Er}^{3+}: \ce{glass}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">1,55	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$6 \cdot 10^{-21}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">10,000	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">4	Ч/Я	\ (n\) ">1,46
Рубін	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">694.3	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$2 \cdot 10^{-20}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">1,000	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.06	Ч	\ (n\) ">1,76
$\text{Ti}^{3+}: \ce{Al2O3}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">660-1180	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$3 \cdot 10^{-19}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">3	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">100	Ч	\ (n\) ">1,76
$\text{Cr}^{3+}: \ce{LiSAF}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">760-960	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$4.8 \cdot 10^{-20}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">67	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">80	Ч	\ (n\) ">1.4
$\text{Cr}^{3+}: \ce{LiCAF}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$м) ">710-840	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$1.3 \cdot 10^{-20}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$и) ">170	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">65	Ч	\ (n\) ">1.4
$\text{Cr}^{3+}: \ce{LiSGAF}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$м) ">740-930	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$3.3 \cdot 10^{-20}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">88	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">80	Ч	\ (n\) ">14
Хе-Не	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">632.8	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$1 \cdot 10^{-13}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">0.7	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.0015	Я	\ (n\) ">~1
$\ce{Ar+}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">515	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$3 \cdot 10^{-12}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">0.07	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.0035	Я	\ (n\) ">~1
$\ce{CO2}$	\ (\ лямбда_0\) ($n$м) ">10,600	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$3 \cdot 10^{-18}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">2 900 000	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">0.000060	Ч	\ (n\) ">~1
Родамін-6Г	\ (\ лямбда_0\) ($n$m) ">560-640	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">$3 \cdot 10^{-16}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">0.0033	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">5	Ч	\ (n\) ">1,33
напівпровідників	\ (\ лямбда_0\) ($n$м) ">450-30,000	\ (\ сигма\) ($\text{cm}^2$) ">~$10^{-14}$	\ (\ tau_l\) ($\mu$s) ">~ 0,002	\ (\ Дельта f_ {FWHM} =\ tfrac {2} {T_2} (\ текст {ТГц})\) ">25	Ч/Я	\ (n\) ">3-4

Чим більше цей продукт, тим більшим є малий коефіцієнт посилення сигналу ($g_0$) досяжний з певним лазерним матеріалом. Таблиця 4.1

Від ур. (2.4.7) і ($\ref{eq4.1.4}$) ми знаходимо наступний зв'язок між перетином взаємодії переходу та його мікроскопічними параметрами, такими як ширина лінії, дипольний момент та швидкість релаксації енергії

$$\sigma = \dfrac{hf_L}{I_{sat} T_1} = \dfrac{2T_2}{\hbar^2 Z_F} \dfrac{|\vec{M} \hat{\vec{E}}|^2}{|\hat{\tilde{E}}|^2}.\nonumber$$

Це рівняння говорить нам, що широкосмугові лазерні матеріали, природно, показують менші перерізи посилення, якщо дипольний момент однаковий.