2.7: Відносини Крамерса-Кроеніга

Franz X. Kaertner
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Лінійна сприйнятливість - це частотна характеристика лінійної системи до прикладного електричного поля, яка є причинним, а тому реальна і уявна частини підкоряються відносинам Крамерса-Кроеніга

$\chi_r (\Omega) = \dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\omega \chi_i (\omega)}{\omega^2 - \Omega^2} d\omega = n^2 (\Omega) - 1, \nonumber$

$\chi_i (\Omega) = -\dfrac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\Omega \chi_r (\omega)}{\omega^2 - \Omega^2} d\omega. \nonumber$

У прозорих середовищах працює далеко від резонансів. Тоді поглинання або уявна частина сприйнятливості може бути наближена

$\chi_i (\Omega) = \sum_i A_i \delta (\omega -\omega_i) \nonumber$

та результати співвідношення Крамерса-Кроеніга в рівнянні Сельмайєра для показника заломлення

$\begin{align*} n^2 (\Omega) &= 1 + \sum_i A_i \dfrac{\omega_i}{\omega_i^2 - \Omega^2} \\[4pt] &= 1 + \sum_i a_i \dfrac{\lambda}{\lambda^2 - \lambda_i^2} \end{align*} \nonumber$

Для прикладу в таблиці 2.1 наведені коефіцієнти Селлмейєра для плавленого кварцу і сапфіру.

Таблиця 2.1: Таблиця з коефіцієнтами Сельмейєра для плавленого кварцу і сапфіру.
	Плавлений кварц	Сапфір
$a_1$	0.6961663	1.023798
$a_2$	0.4079426	1.058364
$a_3$	0,8974794	5.280792
$\lambda_1^2$	$4.679148 \cdot 10^{-3}$	$3.77588 \cdot 10^{-3}$
$\lambda_2^2$	$1.3512063 \cdot 10^{-2}$	$1.22544 \cdot 10^{-2}$
$\lambda_3^2$	$0.9793400 \cdot 10^{2}$	$3.213616 \cdot 10^{2}$

Типова ситуація для матеріалу, що має резонанси в УФ і ІЧ, наприклад скла, показана на малюнку 2.12

2021-04-06 пн — Малюнок 2.12: Типовий розподіл ліній поглинання в середовищі, прозорому у видимому. Малюнок MIT OCW.

Регіони, де показник заломлення зменшується з довжиною хвилі, зазвичай називають нормальним діапазоном дисперсії, а протилежною поведінкою - аномальною дисперсією.

$\begin{array} {rcl} {\dfrac{dn}{d\lambda}} & < & {\text{0: normal dispersion (blue refracts more than red)}} \\ {\dfrac{dn}{d\lambda}} & > & {\text{0: abnormal dispersion}} \end{array}\nonumber$

На рис.2.13 показаний діапазон прозорості деяких часто використовуваних носіїв.

2021-04-06 пнг — Малюнок 2.13: Діапазон прозорості деяких матеріалів. Малюнок MIT OCW.