Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Рівняння Максвелла

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    32112

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Рівняння Максвелла задаються

    \[\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \nonumber \]

    \[\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \label{eq2.1.2} \]

    \[\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho, \nonumber \]

    \[\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \nonumber \].

    Матеріальні рівняння, що супроводжують рівняння Максвелла, є:

    \[\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}, \nonumber \]

    \[\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \vec{M}. \nonumber \]

    \(\vec{H}\)Тут\(\vec{E}\) і електричне і магнітне поле,\(\vec{D}\) діелектричний потік,\(\vec{B}\) магнітний потік,\(\vec{j}\) щільність струму вільних переносів,\(\rho\) - це щільність вільного заряду,\(\vec{P}\) поляризація і\(\vec{M}\) намагніченість. Взявши завиток рівняння\ ref {eq2.1.2} і враховуючи\(\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{E}) - \Delta \vec{E}\), отримаємо

    \[\Delta \vec{E} - \mu_0 \dfrac{\partial}{\partial t} \left (\vec{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t} \right ) = \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) \nonumber \]

    і, отже,

    \[\left (\Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \vec{E} = \mu_0 \left ( \dfrac{\partial vec{j}}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P} \right ) + \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E}).\label{eq2.1.8} \]

    Швидкість вакууму світла становить

    \[c_0 = \sqrt{\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}}. \nonumber \]