2.1: Рівняння Максвелла

Рівняння Максвелла задаються

$$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \nonumber$$

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \label{eq2.1.2}$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho, \nonumber$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \nonumber$$ .

Матеріальні рівняння, що супроводжують рівняння Максвелла, є:

$$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}, \nonumber$$

$$\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \vec{M}. \nonumber$$

$\vec{H}$Тут$\vec{E}$ і електричне і магнітне поле,$\vec{D}$ діелектричний потік,$\vec{B}$ магнітний потік,$\vec{j}$ щільність струму вільних переносів,$\rho$ - це щільність вільного заряду,$\vec{P}$ поляризація і$\vec{M}$ намагніченість. Взявши завиток рівняння\ ref {eq2.1.2} і враховуючи$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{E}) - \Delta \vec{E}$, отримаємо

$$\Delta \vec{E} - \mu_0 \dfrac{\partial}{\partial t} \left (\vec{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t} \right ) = \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) \nonumber$$

і, отже,

$$\left (\Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \vec{E} = \mu_0 \left ( \dfrac{\partial vec{j}}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P} \right ) + \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E}).\label{eq2.1.8}$$

Швидкість вакууму світла становить

$$c_0 = \sqrt{\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}}. \nonumber$$