6.9: Прямокутний хвилевід- Режими TE

Прямокутний хвилевід - це провідний циліндр прямокутного перерізу, який використовується для направлення поширення хвиль. Прямокутний хвилевід зазвичай використовується для транспортування радіочастотних сигналів на частотах в діапазоні СВЧ (3—30 ГГц) і вище. Поля в прямокутному хвилеводі складаються з ряду режимів поширення, що залежить від електричних розмірів хвилеводу. Ці режими широко класифікуються як поперечні магнітні (ТМ) або поперечні електричні (TE). У цьому розділі ми розглянемо режими TE.

$\PageIndex{1}$На малюнку показана цікава геометрія. Тут стіни розташовуються за адресою$x=0$,,$x=a$$y=0$, і$y=b$; таким чином, розміри поперечного перерізу хвилеводу становлять$a$ і$b$. Передбачається, що внутрішня частина хвилеводу складається з матеріалу без втрат, що демонструє реальну проникність$\mu$ та реальну діелектричну проникність$\epsilon$, а стіни вважаються ідеально провідними.

Рисунок$\PageIndex{1}$: Геометрія для аналізу полів у прямокутному хвилеводі.

Обмежимо нашу увагу областю в межах хвилеводу, яка не містить джерел. Виражена в фазоровому вигляді, напруженість магнітного поля всередині хвилеводу регулюється хвильовим рівнянням:

$$\nabla^2 \widetilde{\bf H} + \beta^2 \widetilde{\bf H} = 0 \label{m0225_eWE}$$

де

$$\beta = \omega \sqrt{\mu \epsilon} \nonumber$$

Рівняння\ ref {M0225_EWE} є рівнянням з частинними похідними. Цього рівняння в поєднанні з граничними умовами, що накладаються ідеально провідними пластинами, достатньо для визначення унікального рішення. Це рішення найлегше визначити в декартових координатах, як ми зараз продемонструємо. Спочатку виражаємо$\widetilde{\bf H}$ в декартових координатах:

$$\widetilde{\bf H} = \hat{\bf x}\widetilde{H}_x + \hat{\bf y}\widetilde{H}_y + \hat{\bf z}\widetilde{H}_z \label{m0225_eE}$$

Це полегшує розкладання Equation\ ref {M0225_EWE} на окремі рівняння$\hat{\bf x}$, що регулюють$\hat{\bf y}$, і$\hat{\bf z}$ компоненти$\widetilde{\bf H}$:

\ begin {вирівнювання}\ nabla^2\ широка ширина {H} _x +\ бета ^ 2\ ширина {H} _x &= 0\\\ nabla^2\ ширина {H} _y +\ бета^2\ ширина {H} _y &= 0\\\ nabla^2\ ширина {H} _z +\ beta^2\ широка ширина {H} _z &= 0\ end {вирівнювання}

Далі ми спостерігаємо, що оператор$\nabla^2$ може бути виражений в декартових координатах наступним чином:

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \nonumber$$

тому рівняння, що регулюють декартові компоненти,$\widetilde{\bf H}$ можуть бути записані наступним чином:

\ begin {вирівнювання}\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий x^2}\ widetilde {H} _x +\ розрив {\ частковий ^2} {\ частковий y^2}\ widetilde {H} _x +\ frac {\ частковий z ^ 2}\ widetilde {H} _x +\ beta^2\ widetilde де {H} _x &= 0\ мітка {M0225_EEFX}\\ розрив {\ часткова ^ 2} {\ часткова x^2}\ ширина {H} _y +\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий y^2}\ широкий {H} _y + \ frac {\ частковий ^ 2} {\ частковий z^2}\ широкий {H} _y +\ бета^2\ widetilde {H} _y &= 0\ мітка {M0225_EEFY}\\ розрив {\ часткова ^ 2} {\ часткова x^2}\ ширина {H} _z +\ frac {\ часткова ^ 2} {\ частковий y^2}\ широкий {H} _z +\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий z^2}\ широкий {H} _z +\ бета^2\ widetilde {H} _z &= 0\ мітка {m0225_EEFZ}\ кінець {вирівнювання}

Загалом, ми очікуємо, що загальне поле в хвилеводі буде складатися з односпрямованих хвиль, що поширюються в$-\hat{\bf z}$ напрямках$+\hat{\bf z}$ і. Ми можемо проаналізувати будь-яку з цих хвиль; тоді інша хвиля легко виводиться за допомогою симетрії, а загальне поле - це просто лінійна комбінація (суперпозиція) цих хвиль. Маючи це на увазі, ми обмежуємо свою увагу хвилею, що поширюється в$+\hat{\bf z}$ напрямку.

У розділі 6.7 показано, що всі складові електричного та магнітного полів можна легко розрахувати один раз$\widetilde{E}_z$ і$\widetilde{H}_z$ відомі. Задача ще більше спрощується шляхом розкладання односпрямованої хвилі на компоненти ТМ і TE. При цьому розкладанні компонент TE визначається властивістю that$\widetilde{E}_z=0$; тобто є поперечним (перпендикулярним) напрямку поширення. Таким чином, компонент TE повністю визначається по$\widetilde{H}_z$. Рівняння 6.7.21 - 6.7.24 спростити стати:

\ begin {вирівнювання}\ widetilde {E} _x &= -j\ frac {\ омега\ му} {k_ {\ rho} ^2}\ розрив {\ часткова\ широка {H} _z} {\ часткова y}\ мітка {m0225_EEXU}\\ widetilde {E} _y &= +j\ frac {\ омега\ му} {k_ {\ rho} ^2}\ розрив {\ часткова\ широка {H} _z} {\ часткова х}\ мітка {m0225_EEYU}\\ ширина {H} _x &= -j\ frac {k_z} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ часткова\ широка {H} _z} {\ часткова x}\ мітка {m0225_EHXU}\\ широка ширина {H} _y &= -j\ розрив {k_z} {k_ {\ rho} ^2}\ frac {\ часткова\ широка {H} _z} {\ часткова y}\ мітка {M0225_EHU}\ кінець {вирівняти}

де

$$k_{\rho}^2 \triangleq \beta^2 - k_z^2 \label{m0225_ekrho}$$

і$k_z$ є постійною поширення фази; тобто хвиля, як передбачається, поширюється відповідно до$e^{-jk_z z}$.

Тепер займемося проблемою знаходження$\widetilde{H}_z$, яка потім повністю визначить поле ТЕ. Як і в розділі 6.7, ми визнаємо, що$\widetilde{H}_z$ може бути представлений як коефіцієнт поширення$e^{-jk_z z}$ разів на фактор, який описує варіації щодо решти просторових розмірів$x$ і$y$:

$$\widetilde{H}_z = \widetilde{h}_z(x,y) e^{-jk_z z} \nonumber$$

Підстановка цього виразу на Equation\ ref {M0225_EEFZ} і розділення загального коефіцієнта$e^{-jk_z z}$ прибутковості:

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\widetilde{h}_z + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\widetilde{h}_z - k_z^2 \widetilde{h}_z + \beta^2 \widetilde{h}_z = 0 \nonumber$$

Останні два члени можуть бути об'єднані за допомогою Equation\ ref {m0225_ekrho}, що дає:

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\widetilde{h}_z + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\widetilde{h}_z + k_{\rho}^2 \widetilde{h}_z = 0 \label{m0225_eDE1}$$

Це рівняння з частинними$\widetilde{h}_z$ похідними для в змінних$x$ і$y$. Це рівняння може бути вирішено за допомогою методики поділу змінних. У цій техніці ми визнаємо, що$\widetilde{h}_z(x,y)$ можна записати як добуток функції,$X(x)$ яка залежить тільки від$x$, і функція,$Y(y)$ яка залежить тільки від$y$. Тобто,

$$\widetilde{h}_z(x,y) = X(x) Y(y) \nonumber$$

Підставивши цей вираз в Equation\ ref {M0225_edE1}, отримаємо:

$$Y\frac{\partial^2}{\partial x^2}X + X\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y + k_{\rho}^2 XY = 0 \label{m0225_eDE2}$$

Далі діливши через на$XY$, отримуємо:

$$\frac{1}{X}\frac{\partial^2}{\partial x^2}X + \frac{1}{Y}\frac{\partial^2}{\partial y^2}Y + k_{\rho}^2 = 0 \label{m0225_eDE3}$$

Зверніть увагу, що перший термін залежить тільки від$x$, другий термін залежить тільки від$y$, а решта термін є постійним. Тому сума першого і другого членів є постійною; а саме$-k_{\rho}^2$. Оскільки ці терміни залежать від того$x$ чи іншого$y$, а не від обох, перший член повинен дорівнювати деякій константі, другий член повинен дорівнювати деякій константі, і ці константи повинні сумувати до$-k_{\rho}^2$. Тому ми виправдовуємося в поділі рівняння на два рівняння наступним чином:

\ begin {вирівнювання}\ розрив {1} {X}\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий x^2} X + k_x^2 &= 0\ мітка {M0225_edE4x}\\ frac {1} {Y}\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий y^2} Y + k_y^2 &= 0\ мітка {0225_ede4y}\ кінець {вирівнювання}

де нові константи$k_x^2$ і$k_y^2$ повинні задовольняти

$$k_x^2+k_y^2 = k_{\rho}^2 \nonumber$$

Тепер множимо рівняння\ ref {M0225_edE4x} і\ ref {m0225_ede4y} на$X$ і$Y$, відповідно, знаходимо:

\ begin {вирівнювання}\ розрив {\ частковий ^ 2} {\ частковий x^2} X + k_x^2 X &= 0\ мітка {m0225_edE5x}\\ розрив {\ частковий ^2} {\ частковий y^2} Y + k_y^2 Y &= 0\ мітка {m0225_edE5Y}\ кінець {вирівнювання}

Це знайомі одновимірні диференціальні рівняння. Рішення такі: ¹

\ begin {вирівняти} X &= A\ cos\ ліворуч (k_x x\ праворуч) + B\ sin\ ліворуч (k_x x\ праворуч)\ мітка {M0225_ex}\ Y &= C\ cos\ ліворуч (k_y y\ праворуч) + D\ sin\ ліворуч (k_y y\ праворуч)\ мітка {M0225_EY}\ кінець {вирівнювання}

де$A$,$B$$C$, і$D$ — як$k_x$ і$k_y$ — константи, які потрібно визначити. У цей момент ми спостерігаємо, що хвиля, яку ми шукаємо, може бути виражена наступним чином:

\ begin {вирівнювання}\ ширина {H} _z &=\ ширина {h} _z (x, y) e^ {-jk_z z}\ номер\ &= X (x) ~Y (y) ~e^ {-jk_z z}\ мітка {m0225_eezxYZ}\ кінець {вирівнювання}

Рішення по суті є завершеним за винятком значень констант$A$$B$,$C$,$D$,$k_x$, і$k_y$. Значення цих констант визначаються шляхом застосування відповідної електромагнітної граничної умови. При цьому потрібно, щоб будь-яка складова,$\widetilde{\bf E}$ яка є дотичною до ідеально провідної стіни, повинна дорівнювати нулю. Тому:

\ почати {вирівняти}\ ширина {E} _y\ ліворуч (x = 0\ праворуч) &= 0\\\ widetilde {E} _y\ ліворуч (x = а\ праворуч) &= 0\\\ widetilde {E} _x\ ліворуч (y = 0\\ праворуч) &= 0\\\ widetilde {E} _x\ ліворуч (y = 0\\ праворуч) &= 0\ end {вирівняти}

Посилаючись на рівняння\ ref {M0225_EEZxyz} і використовуючи рівняння\ ref {M0225_Eexu} -\ ref {M0225_EHYU}, отримаємо:

\ begin {вирівнювання}\ розрив {\ частковий} {\ частковий x} X\ лівий (x = 0\\ праворуч) &= 0\\\ гідророзриву {\ частковий} {\ частковий x} X\ лівий (x = a\ праворуч) &= 0\\\ frac {\ частковий} {\ частковий y} Y\ лівий (y=0\ праворуч) &= 0\\\ frac {\ partial}\ частковий y} Y\ лівий (y=b\ праворуч) &= 0\ end {вирівнювання}

Оцінюючи часткові похідні і розділивши загальні фактори$k_x$ і$k_y$, знайдемо:

\ почати {вирівняти} -A\ sin (k_x\ cdot 0) + Б\ cos (k_x\ cdot 0) &= 0\\ -A\ sin (k_x\ cdot a) + Б\ cos (k_x\ cdot a) &= 0\\ -C\ sin (k_y\ cdot 0) + D\ cos (k_y\ cdot 0) &= 0\\ -C\ sin (k_y\ cdot b) + D\ cos (k_y\ cdot b) &= 0\ кінець {вирівнювання}

Оцінка:

\ begin {вирівнювання} -A\ cdot 0 + B\ cdot 1 &= 0\ мітка {m0225_exbc1}\\ -A\ sin\ ліворуч (k_x а\ вправо) + B\ cos\ ліворуч (k_x a\ праворуч) &= 0\ мітка {m0225_exbc2}\ -C\ cdot 0 + D\ cdot 1 &= 0\ мітка {m0225_exbc2}\ -C\ cdot 0 + D\ cdot 1 &= 0\ мітка {m0225_exbc2} 0225_EYBC1}\\ -C\ sin\ ліворуч (k_y b\ праворуч) + D\ cos\ ліворуч (k_y b\ праворуч) &= 0\ мітка {m0225_EYBC2}\ кінець {вирівнювання}

Рівняння\ ref {M0225_exbc1} і\ ref {M0225_EYBC1} можуть бути задоволені тільки якщо$B=0$ і$D=0$ відповідно. Згодом рівняння\ ref {m0225_exbc2} і\ ref {M0225_EYBC2} зводяться до:

\ begin {вирівняти}\ sin\ ліворуч (k_x а\ праворуч) &= 0\ мітка {m0225_exbc2a}\\ sin\ ліворуч (k_y b\ праворуч) &= 0\ етикетка {m0225_EYBC2a}\ кінець {вирівняти}

Для цього в свою чергу потрібно:

\ begin {вирівнювання} k_x &=\ гідророзриву {m\ pi} {a} ~, ~~~ m=0, 1, 2... \ етикетка {m0225_ekxm}\\ k_y &=\ розрив {n\ pi} {b} ~, ~~ n=0, 1, 2... \ етикетка {m0225_ekyn}\ кінець {вирівнювання}

Кожне натуральне ціле значення$m$ і$n$ призводить до коректного виразу,$\widetilde{H}_z$ відомого як режим. Підводячи підсумки:

$$\widetilde{H}_z = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \widetilde{H}_z^{(m,n)} \label{m0225_eEzTEall}$$

де

$$\widetilde{H}_z^{(m,n)} \triangleq H_0^{(m,n)} \cos\left(k_x x\right) \cos\left(k_y y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \widetilde{H}_z^{(m,n)} \triangleq H_0^{(m,n)} \cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{b} y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \label{m0225_eEzTE}$$

де$H_0^{(m,n)}$ - довільна константа (консолідує константи$A$ і$C$), і, так як$k_x^2 + k_y^2 = k_{\rho}^2 \triangleq \beta^2-k_z^2$:

$$k_z^{(m,n)} = \sqrt{ \omega^2\mu\epsilon - \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 - \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 } \label{m0225_ekzm}$$

Підводячи підсумки:

Компонент TE ($\widetilde{E}_z=0$) односпрямованої ($+\hat{\bf z}$-біжучої) хвилі в прямокутному хвилеводі повністю визначається рівнянням\ ref {m0225_eezteAll} і складається з режимів, визначених рівняннями\ ref {m0225_eezte},\ ref {m0225_ekxm}, і\ ref {m0225_ekxm}, і\ ref {m0225_ekxm}. Решта ненульові компоненти поля можна визначити за допомогою Рівняння\ ref {M0225_Eexu} -\ ref {M0225_eHYU}.

Прийнято і зручно звертатися до режимів ТЕ в прямокутному хвилеводі, використовуючи позначення «ТЕ»$_{mn}$. Наприклад, режим TE$_{12}$ задається рівнянням\ ref {M0225_EEZTE} з$m=1$ і$n=2$.

Хоча Equation\ ref {M0225_EEZteAll} передбачає існування$_{00}$ режиму TE, слід зазначити, що ця хвиля не має ненульових компонентів електричного поля. Це можна визначити математично, дотримуючись процедури, викладеної вище. Однак це також легко підтверджується наступним чином:$\widetilde{E}_x$ є постійним для$_{00}$ режиму TE, оскільки$k_{\rho}=0$ для цього режиму, однак,$\widetilde{E}_x$ повинен дорівнювати нулю, щоб відповідати граничним умовам на стінках при$y=0$ і$y=b$. Аналогічно,$\widetilde{E}_y$ є постійним для$_{00}$ режиму TE, однак,$\widetilde{E}_y$ повинен дорівнювати нулю, щоб відповідати граничним умовам на стінках при$x=0$ і$x=b$.

Нарешті, зауважте, що значення,$k_z^{(m,n)}$ отримані з Equation\ ref {m0225_ekzm}, не обов'язково є дійсними. Очевидно, що для будь-якого заданого значення$m$,$k_z^{(m,n)}$ буде уявним для всіх значень$n$ більше, ніж деяке значення. Аналогічно, очевидно, що для будь-якого заданого значення$n$,$k_z^{(m,n)}$ буде уявним для всіх значень$m$ більше, ніж деяке значення. Це явище є загальним як для TE, так і для TM компонентів, і тому розглядається в окремому розділі (Розділ 6.10).

Додаткове читання:

• «Хвилевід (радіочастотний)» у Вікіпедії.
• «Поділ змінних» у Вікіпедії.

---

1. Студентам рекомендується підтвердити, що вони правильні, підтвердивши, що вони є розв'язками рівнянь\ ref {m0225_ede5x} та\ ref {M0225_edE5x} відповідно. ↩