1.21: Хвильове рівняння Шредінгера

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Енергія нашого електрона може бути розбита на дві частини, кінетичну і потенційну. Ми могли б написати це як

$\text{total energy} = \text{kinetic energy} + \text{potential energy} \nonumber$

Тепер кінетична енергія пов'язана з імпульсом

$\text{kinetic energy} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} \nonumber$

Таким чином, використовуючи наші оператори, ми могли б написати

$\hat{E}\psi(x,t)=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \psi(x,t)+\hat{V} \psi(x,t) \nonumber$

Де $\hat{V}$ потенційний енергетичний оператор.

$\hat{V}=V(x,t) \nonumber$

Ми можемо переписати рівняння (1.21.3) в ще простішому вигляді, визначивши так званий гамільтонівський оператор

$\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\hat{V} \nonumber$

Тепер,

$\hat{E}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \nonumber$

Або ми могли б переписати вираз як

$i\hbar \frac{d}{dt}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} \psi(x,t) +V(x,t)\psi(x,t) \nonumber$

Всі ці рівняння є твердженнями хвильового рівняння Шредінгера. Ми можемо використовувати будь-яку форму, яка є найбільш зручною.