1.21: Хвильове рівняння Шредінгера

Енергія нашого електрона може бути розбита на дві частини, кінетичну і потенційну. Ми могли б написати це як

$$\text{total energy} = \text{kinetic energy} + \text{potential energy} \nonumber$$

Тепер кінетична енергія пов'язана з імпульсом

$$\text{kinetic energy} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} \nonumber$$

Таким чином, використовуючи наші оператори, ми могли б написати

$$\hat{E}\psi(x,t)=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \psi(x,t)+\hat{V} \psi(x,t) \nonumber$$

Де$\hat{V}$ потенційний енергетичний оператор.

$$\hat{V}=V(x,t) \nonumber$$

Ми можемо переписати рівняння (1.21.3) в ще простішому вигляді, визначивши так званий гамільтонівський оператор

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\hat{V} \nonumber$$

Тепер,

$$\hat{E}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \nonumber$$

Або ми могли б переписати вираз як

$$i\hbar \frac{d}{dt}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} \psi(x,t) +V(x,t)\psi(x,t) \nonumber$$

Всі ці рівняння є твердженнями хвильового рівняння Шредінгера. Ми можемо використовувати будь-яку форму, яка є найбільш зручною.