Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.21: Хвильове рівняння Шредінгера

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    31953

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Енергія нашого електрона може бути розбита на дві частини, кінетичну і потенційну. Ми могли б написати це як

    \[ \text{total energy} = \text{kinetic energy} + \text{potential energy} \nonumber \]

    Тепер кінетична енергія пов'язана з імпульсом

    \[ \text{kinetic energy} = \frac{1}{2}mv^{2} = \frac{p^{2}}{2m} \nonumber \]

    Таким чином, використовуючи наші оператори, ми могли б написати

    \[ \hat{E}\psi(x,t)=\frac{\hat{p}^{2}}{2m} \psi(x,t)+\hat{V} \psi(x,t) \nonumber \]

    Де\(\hat{V}\) потенційний енергетичний оператор.

    \[ \hat{V}=V(x,t) \nonumber \]

    Ми можемо переписати рівняння (1.21.3) в ще простішому вигляді, визначивши так званий гамільтонівський оператор

    \[ \hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+\hat{V} \nonumber \]

    Тепер,

    \[ \hat{E}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \nonumber \]

    Або ми могли б переписати вираз як

    \[ i\hbar \frac{d}{dt}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}} \psi(x,t) +V(x,t)\psi(x,t) \nonumber \]

    Всі ці рівняння є твердженнями хвильового рівняння Шредінгера. Ми можемо використовувати будь-яку форму, яка є найбільш зручною.