1.14: Теорема Парсеваля

Часто зручно нормалізувати хвильовий пакет в k просторі. Для цього ми можемо застосувати теорему Парсеваля.

Розглянемо дужку двох функцій, f (x) і g (x) з парами перетворення Фур'є F (k) і G (k) відповідно..

$$\langle f|g\rangle = \int^{\infty}_{-\infty} f(x)^{*}g(x)dx \nonumber$$

Тепер заміна функцій на їх перетворення Фур'є дає

$$\int^{\infty}_{-\infty} f(x)^{*}g(x)dx=\int^{\infty}_{-\infty}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)e^{-ik’x}dk’]^{*}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}G(k)e^{-ikx}dk]dx \nonumber$$

Перестановка порядку інтеграції дає

$$\int^{\infty}_{-\infty}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)e^{-ik’x}dk’]^{*}[\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}G(k)e^{-ikx}dk]dx \nonumber$$

$=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)*G(k)\frac{1}{2\pi}e^{-i(k-k’)x}dxdk’dk$

З рівняння (1.9.6) інтеграція над комплексною експоненціальною дає дельта-функцію

$$\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)*G(k)\frac{1}{2\pi}e^{-i(k-k’)x}dxdk’dk = \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}F(k’)^{*}G(k)\delta (k-k’)dk’dk \nonumber$$

Таким чином,

$$\int^{\infty}_{-\infty}f(x)^{*}g(x)dx=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(k)^{*}G(k)dk \nonumber$$

Звідси випливає, що якщо хвильова функція нормалізується в реальному просторі, вона також нормалізується в k- просторі, т. Е.

$$\langle \psi|\psi \rangle = \langle A|A \rangle \nonumber$$

де

$$\langle A|A \rangle = \frac{1}{2\pi} \int^{\infty}_{-\infty}A(k)^{*}A(k)dk \nonumber$$