1.9: Лінійні комбінації хвиль

Далі розглянемо комбінації різних складних експоненціальних функцій. Наприклад, на малюнку 1.9.1 ми будуємо хвильову функцію, яка могла б описати електрон, рівноймовірний у положенні\(x_{1}\) та положенні\(x_{2}\). Представлення k -простору - це просто накладання двох складних експоненціальних функцій, відповідних\(x_{1}\) і\(x_{2}\). \(^{†}\)

\[ \psi(x)=c_{1}\delta(x-x_{1})+c_{2}(x-x_{2}) \Leftrightarrow A(\omega) = c_{1}e^{-ikx_{1}}+c_{2}e^{-ikx_{2}} \nonumber \]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): k -космічна хвильова функція, що відповідає двом позиціям\(x_{1}\) і\(x_{2}\) є просто суперпозицією k -простору уявлень\(\delta(x-x_{1})\) і\(\delta(x-x_{2})\).

Ми також можемо узагальнити до довільного розподілу позицій,\(\psi(x)\). Якщо\(\psi(x)\) описує електрон, наприклад, ймовірність того, що електрон знаходиться в позиції х дорівнює\(|\psi(x)|^{2}\). Таким чином, в k -просторі електрон описується сумою складних експоненціальних,\(e^{-ikx}\) кожен коливається в k -просторі і зважений за амплітудою\(\psi(x)\).

\[ A(k)=\int^{+\infty}_{-\infty}\psi(x)e^{-ikx}dx \nonumber \]

Ви можете розпізнати це з 6.003 як перетворення Фур'є. Аналогічно, зворотне перетворення є

\[ \psi(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty}A(k)e^{ikx}dk \nonumber \]

Для перетворення між часом і кутовою частотою використовуйте

\[ A(\omega) =\int^{+\infty}_{-\infty} \psi(t)e^{i\omega t}dt \nonumber \]

і

\[ \psi(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} A(\omega)e^{-i\omega t}d\omega \nonumber \]

Зверніть увагу, що фактори\(\frac{1}{2\pi}\) присутні кожного разу, коли ви інтегруєте стосовно k або\(\omega\). Зауважте також, що при перетворенні між складними експоненціальними і дельта-функціями корисна наступна ідентичність:

\[ 2\pi\delta(u)=\int^{+\infty}_{-\infty} \text{exp}[iux]dx \nonumber \]

\(^{†}\)Зверніть увагу, що ця хвильова функція насправді не нормалізується.