4.2: Комплексна серія Фур'є

Цілі навчання

• Визначення комплексного ряду Фур'є.

У попередньому модулі ми показали, що квадратна хвиля може бути виражена як суперпозиція імпульсів. Настільки корисним, як це розкладання було в цьому прикладі, воно погано узагальнює інші періодичні сигнали: Як суперпозиція імпульсів може дорівнювати плавному сигналу, як синусоїда? Через важливість синусоїдів для лінійних систем, ви можете задатися питанням, чи можна їх скласти разом, щоб представляти велику кількість періодичних сигналів. Ви б мали рацію і в хорошій компанії, а також. Ейлер і Гаусс особливо стурбовані цією проблемою, і Жан Батіст Фур'є отримав заслугу, хоча жорсткі математичні питання не були вирішені пізніше. Вони працювали над тим, що зараз відомо як ряд Фур'є: представляючи будь-який періодичний сигнал як суперпозицію синусоїдів.

Але ряд Фур'є виходить далеко за рамки іншого методу розкладання сигналу. Швидше за все, серія Фур'є починає нашу подорож, щоб оцінити, як сигнал може бути описаний або в часовій області, або в частотній області без компромісів.

Нехай s (t) є періодичним сигналом з періодом T. Ми хочемо показати, що періодичні сигнали, навіть ті, які мають постійно-значні сегменти, як квадратна хвиля, можуть бути виражені як сума гармонічно пов'язаних синусоїд: синусоїди, що мають частоти, що є цілими кратними основній частоті. Оскільки сигнал має період T, основна частота становить 1/T. Комплексний ряд Фур'є виражає сигнал у вигляді суперпозиції складних експоненціальних, що мають частоти:

\[\frac{k}{T},k=\left \{ ....,-1,0,1,....\right \} \nonumber \]

\[s(t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{i\frac{2\pi kt}{T}} \nonumber \]

із

\[c_{k}=\frac{1}{2}\left ( a_{k}-ib_{k}\right ) \nonumber \]

Справжня і уявна частини коефіцієнтів Фур'є c _k записані таким незвичайним способом для зручності визначення класичного ряду Фур'є. Нульовий коефіцієнт дорівнює середньому значенню сигналу і є реальним для реальних сигналів: c ₀ = a ₀. сімейство функцій

\[\left \{ e^{i\frac{2\pi kt}{T}} \right \} \nonumber \]

називаються базисними функціями і складають основу ряду Фур'є. Незалежно від того, яким може бути періодичний сигнал, ці функції завжди присутні і утворюють будівельні блоки представлення. Вони залежать від періоду сигналу T, і індексуються k.

Примітка

Припускаючи, що ми знаємо період, знання коефіцієнтів Фур'є еквівалентно знанню сигналу. Таким чином, немає ніякої різниці, якщо ми маємо часову область або частотно-доменну характеристику сигналу.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Що являє собою складний ряд Фур'є для синусоїди?

Рішення

Через відношення Ейлера,

\[\sin (2\pi ft)=\frac{1}{2i}e^{i2\pi ft}-\frac{1}{2i}e^{-(i2\pi ft)} \nonumber \]

Таким чином,

\[c_{1}=\frac{1}{2i},\; c_{-1}=-\frac{1}{2i} \nonumber \]

а інші коефіцієнти - нуль.

Для знаходження коефіцієнтів Фур'є відзначимо властивість ортогональності

\[\int_{0}^{T}e^{i\frac{2\pi kt}{T}} e^{(-i)\frac{2\pi kt}{T}} dt=\begin{cases} T & \text{ if } k=l \\ 0&\text{ if } k\neq l \end{cases} \nonumber \]

Припускаючи на той момент, що комплексний ряд Фур'є «працює», ми можемо знайти комплексні коефіцієнти Фур'є сигналу, його спектр, використовуючи властивості ортогональності гармонічно пов'язаних комплексних експоненціальностей.

Просто помножте кожну сторону рівняння ряду Фур'є на

\[e^{(-i2\pi lt)} \nonumber \]

та інтегрувати через інтервал [0, T].

\[c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(t)e^{-\left ( i\frac{2\pi kt}{T}\right )} dt \nonumber \]

\[c_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(t)dt \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Знайти коефіцієнти рядів Фур'є для квадратної хвилі _sq T (t) дуже просто. Математично цей сигнал може бути виражений у вигляді

\[sq_{T}(t)=\begin{cases} 1 & \text{ if } 0< t< \frac{T}{2} \\ -1& \text{ if } \frac{T}{2}< t< T \end{cases} \nonumber \]

Вираз для коефіцієнтів Фур'є має вигляд

\[c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}e^{-\left ( i\frac{2\pi kt}{T}\right )} dt-\frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{T}e^{-\left ( i\frac{2\pi kt}{T}\right )} dt \nonumber \]

При інтеграції виразу, що містить i, розглядайте його так само, як і будь-яку іншу константу.

Два інтеграли дуже схожі, один дорівнює негативному іншому. Кінцевим виразом стає

\[c_{k}=\frac{-2}{i2\pi k}\left ( (-1)^{k}-1 \right )\\ c_{k}=\begin{cases} \frac{2}{i\pi k} & \text{ if } k=odd \\ 0 & \text{ if } k=even \end{cases} \nonumber \]

\[sq(t)=\sum_{k\in \left \{ ...,-3,-1,1,3,... \right \}}\frac{2}{i2\pi k}e^{(i)\frac{2\pi kt}{T}} \nonumber \]

Отже, квадратна хвиля дорівнює сумі складних експоненціальних, але тільки тих, що мають частоти, рівні непарним кратним основної частоти 1/T. Коефіцієнти повільно зникають при збільшенні частотного індексу k. Цей показник відповідає k-ій гармоніці періоду сигналу.

Властивості спектра рядів Фур'є

Спектр ряду Фур'є сигналу c _k має цікаві властивості.

Нерухомість 1

Якщо s (t) реальний,

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

Реальні періодичні сигнали мають кон'югатно-симетричні спектри.

Цей результат випливає з інтеграла, який обчислює c _k з сигналу. Крім того, цей результат означає, що:

\[\Re (c_{k})=\Re ({c_{-k}}) \nonumber \]

Реальна частина коефіцієнтів Фур'є для реальних сигналів парна. Аналогічно,

\[\Im (c_{k})=\Im ({c_{-k}}) \nonumber \]

Уявні частини коефіцієнтів Фур'є мають непарну симетрію. Отже, якщо вам задані коефіцієнти Фур'є для позитивних індексів і нуль, і вам кажуть, що сигнал є реальним, ви можете знайти негативно-індексовані коефіцієнти, отже, весь спектр. Цей вид симетрії,

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

відомий як спряжена симетрія.

Нерухомість 2

Якщо s (-t) = s (t), що говорить, що сигнал має навіть симетрію щодо походження,

\[c_{-k}=c_{k} \nonumber \]

З огляду на попередню властивість для реальних сигналів, коефіцієнти Фур'є парних сигналів є реальними. Реальне розширення Фур'є становить розширення лише косинусів, що є найпростішим прикладом рівномірного сигналу.

Нерухомість 3

Якщо s (-t) = - s (t), що говорить, що сигнал має непарну симетрію,

\[c_{-k}=-c_{k} \nonumber \]

Тому коефіцієнти Фур'є суто уявні. Квадратна хвиля - прекрасний приклад непарно-симетричного сигналу.

Нерухомість 4

Спектральні коефіцієнти для періодичного сигналу, затриманого на τ, s (t-τ), складають:

\[c_{k}e^{-\frac{i2\pi k\tau }{T}} \nonumber \]

де c _k позначає спектр s (t).

Затримка сигналу на τ секунд призводить до того, що спектр має лінійний фазовий\[-\frac{2\pi k\tau }{T} \nonumber \] зсув порівняно зі спектром незатриманого сигналу. Зверніть увагу, що спектральна величина не впливає. Показати цю властивість легко.

\[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(t-\tau )e^{(-i)\frac{2\pi kt}{T}} dt=\frac{1}{T}\int_{-\tau }^{T-\tau }s(t)e^{(-i)\frac{2\pi k(t+\tau )}{T}} dt \nonumber \]

\[\therefore \; \; \; \; \; \frac{1}{T}\int_{0}^{T}s(t-\tau )e^{(-i)\frac{2\pi kt}{T}} dt=\frac{1}{T}e^{(-i)\frac{2\pi kt}{T}} \int_{-\tau }^{T-\tau }s(t)e^{(-i)\frac{2\pi kt}{T}} dt \nonumber \]

Зверніть увагу, що діапазон інтеграції поширюється на період integrand. Отже, не має значення, як ми інтегруємося протягом певного періоду, а це означає, що:

\[\int_{-\tau }^{T-\tau }(\cdot )dt=\int_{0}^{T}(\cdot )dt \nonumber \]

і ми маємо свій результат.

Складний ряд Фур'є підпорядковується теоремі Парсеваля, одному з найважливіших результатів аналізу сигналів. Цей загальний математичний результат говорить, що ви можете обчислити потужність сигналу або в часовій області, або в частотній області.

Теорема Парсеваля

Середня потужність, розрахована в часовій області, дорівнює потужності, розрахованої в частотній області.

\[\frac{1}{T}\int_{0}^{T}s^{2}(t)dt=\sum_{-\infty }^{\infty }\left ( \left | c_{k} \right | \right )^{2} \nonumber \]

Цей результат є (простішим) повторним вираженням того, як обчислити потужність сигналу, ніж з реальним виразом рядів Фур'є для потужності.

Розрахуємо коефіцієнти Фур'є періодичного імпульсного сигналу, показані на малюнку 4.2.1 нижче.

Малюнок 4.2.1 Періодичний імпульсний сигнал

Ширина імпульсу Δ, період T і амплітуда А. Складний спектр Фур'є цього сигналу задається:

\[c_{k}=\frac{1}{T}\int_{0}^{\Delta }Ae^{-\frac{i2\pi kt}{T}}dt=-\left ( \frac{A}{i2\pi k}\left ( e^{-\frac{i2\pi \Delta }{T}} -1\right ) \right ) \nonumber \]

У цей момент спрощення цього виразу вимагає знання цікавого властивості.

\[1-e^{-(i\theta )}=e^{-\frac{i\theta }{2}}\left ( e^{\frac{i\theta }{2}}-e^{-\frac{i\theta }{2}}\right )=e^{-\frac{i\theta }{2}}2i\sin \left ( \frac{\theta }{2}\right ) \nonumber \]

Озброївшись цим результатом, ми можемо просто висловити коефіцієнти рядів Фур'є для нашої імпульсної послідовності.

\[c_{k}=Ae^{-\frac{i\pi k\Delta }{T}}\frac{\sin \left ( \frac{\pi k\Delta }{T} \right )}{\pi k} \nonumber \]

Оскільки цей сигнал є реальним значенням, ми виявляємо, що коефіцієнти дійсно мають сполучену симетрію:

\[c_{k}=\overline{c_{-k}} \nonumber \]

Періодичний імпульсний сигнал не має ні парної, ні непарної симетрії, отже, в спектрі не існує додаткової симетрії. Оскільки спектр є складним значенням, для його побудови нам потрібно обчислити його величину і фазу.

\[\left | c_{k}\right |=A\left | \frac{\sin \left ( \frac{\pi k\Delta }{T} \right )}{\pi k} \right | \nonumber \]

\[\angle c_{k}=-\frac{\pi k\Delta }{T}+\pi \, neg\left | \frac{\sin \left ( \frac{\pi k\Delta }{T} \right )}{\pi k} \right |\, sign(k) \nonumber \]

Функція neg (•) дорівнює -1, якщо її аргумент від'ємний і нуль в іншому випадку. Дещо складний вираз для результатів фази, оскільки синусоїдальний термін може бути негативним; величини повинні бути позитивними, залишаючи випадкові негативні значення, які слід враховувати як зсув фази$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$$.$

Малюнок 4.2.2 Періодична послідовність імпульсів

Показано величину і фазу спектра періодичної імпульсної послідовності для позитивно-частотних індексів. Тут Δ/T = 0,2 і А = 1

Також зверніть увагу на наявність лінійного фазового члена (перший член в c _k пропорційний частоті K/т). Порівнюючи цей термін з передбаченим від затримки сигналу, затримка Δ/2 присутня в нашому сигналі. Просування сигналу на цю величину центрує імпульс про походження, залишаючи рівний сигнал, що, в свою чергу, означає, що його спектр є реальним. Таким чином, наш обчислений спектр узгоджується з властивостями спектра Фур'є.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Що таке значення c ₀? Згадуючи, що цей спектральний коефіцієнт відповідає середньому значенню сигналу, чи має сенс ваша відповідь?

Рішення

\[c_{0}=\frac{A\Delta }{T} \nonumber \]

Ця величина чітко відповідає середньому значенню періодичного імпульсного сигналу.

Фазовий графік, показаний на малюнку 4.2.2, вимагає деякого пояснення, оскільки він, здається, не погоджується з тим, що пропонує рівняння для c _k. Там фаза має лінійну складову, зі стрибком$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$кожен раз, коли синусоїдальний термін змінює знак. Ми повинні розуміти, що будь-яке ціле число, кратне 2$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$можна додати до фази на кожній частоті, не впливаючи на значення комплексного спектра. Бачимо, що при частотному індексі 4 фаза майже -$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$. Фаза при індексі 5 не визначена, оскільки величина дорівнює нулю в цьому прикладі. При індексі 6 формула передбачає, що фаза лінійного члена повинна бути менше -$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$(Більш негативний). Крім того, ми очікуємо зрушення -$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$у фазі між індексами 4 і 6. Таким чином, значення фази, прогнозоване за формулою, трохи менше - (2$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$). Тому що ми можемо додати 2$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$не впливаючи на значення спектра при індексі 6, в результаті виходить трохи від'ємне число, як показано на малюнку. Таким чином, формула і сюжет дійсно згодні. У фазових розрахунках, таких як у MATLAB, значення зазвичай обмежуються діапазоном [-$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$,$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$]$\pi$додаючи деякі (можливо негативні) кратні 2$\mathrm{<strong>\pi </strong>}$до кожного значення фази.