7.8: Зберігання та передача електричної енергії

Через його важливість і унікальність потрібно уважніше поставитися до передачі і зберігання електричної енергії. Для початку, що саме ми маємо на увазі під електричною енергією? Для наших цілей ми будемо визначати електричну енергію як енергію, яка зберігається в електричному або магнітному полі. Наш акцент тут буде полягати в тому, щоб розглянути, як принцип збереження енергії застосовується до пристроїв і систем, які зазвичай зустрічаються в електричних та електронних пристроях. Ми обмежимося системами, які можна моделювати за допомогою згорнутих елементів схеми (як обговорюється в розділі 4.3 глави 4).

7.8.1 Миттєва та середня потужність

Раніше в цьому розділі ми розробили рівняння електричної потужності в плані протікання електричного струму по системі і різниці електричних потенціалів на клемах, де струм надходить і виходить з системи. У нашій більш ранній розробці ми мовчазно припускали, що струм і напруги не залежать від часу. Насправді ми знаємо, що практично вся наша електроенергія подається у вигляді змінного в часі змінного струму. Перехідна поведінка електричних ланцюгів також представляє інтерес при проектуванні всього, від енергосистем до систем управління до комп'ютерів. У цьому розділі ми розглянемо проблему розрахунку потужності змінного струму.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Двоклемна система для електричної роботи і харчування.

Миттєва електроенергія

Для цілей нашого обговорення ми обмежимося системою з двома терміналами, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Електричний струм\(i\) надходить в систему на клемі з напругою\(V_{\text {in-o}}\) і залишає систему на клемі з напругою\(V_{\text {out-o}}\). Обидві напруги вимірюються щодо однієї і тієї ж точки заземлення (точки\(O\)). Крім того, будемо вважати, що напруги і струм з часом можуть змінюватися. За цих умов наше попереднє вираження для електроенергії все ще діє; але воно являє собою миттєву електричну потужність для системи:\[\begin{array}{ll} \dot{W}_{\text {electric, in}} & =i \cdot\left(V_{\text {in-o}}-V_{\text {out-o}}\right) \quad & \\ &= i \cdot \Delta V & \text { Instantaneous Electric Power } \end{array} \nonumber \] За умовністю миттєва електрична потужність є позитивною, коли струм надходить в систему на терміналі з більш високою напругою і негативний, коли він залишає систему на клемі з більш високою напругою.

У системі постійного струму (постійного струму) миттєва потужність є постійною і незалежною від часу; таким чином, миттєва електрична потужність також є постійною і незалежною від часу.

У системі змінного струму (змінного струму) різницю струму\(i\) та напруги\(\Delta V\) для клем можна описати як синусоїдальні функції часу:\[\Delta V=V_{\max } \cos (\omega t) \quad \text { and } \quad i = i_{\max } \cos (\omega t+\theta) \nonumber \] де\(\omega\) частота\((\mathrm{rad} / \mathrm{s})\)\((\mathrm{s})\),\(t\) час і\(\theta\) кут фази (радіани) що описує, як струм веде або затримує напругу\([-\pi / 2 \leq \theta \leq \pi / 2]\). Період за один цикл залежить від частоти наступним чином:\[2 \pi=\omega \cdot t_{\text {period}} \quad \rightarrow \quad t_{\text {period}}=\frac{2 \pi}{\omega} \nonumber \]

У цих умовах миттєва потужність розраховується наступним чином:\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {electric, in}} &= i \cdot \Delta V = \left[i_{\max } \cos (\omega t)\right] \cdot\left[V_{\max } \cos (\omega t+\theta)\right] \\ &=i_{\max } \cdot V_{\max } \cdot \cos (\omega t) \cdot \cos (\omega t+\theta) \\ &=i_{\max } \cdot V_{\max } \cdot \dfrac{1}{2} \cdot[\cos (2 \omega t+\theta)+\cos (\theta)] \end{array} \nonumber \] де остання лінія виходить шляхом застосування стандартного тригонометричного співвідношення для множення косинусів. Перш ніж залишити цей вираз, корисно відокремити миттєву потужність, Eq. \(\PageIndex{4}\), на дві частини:\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {electric, in}} &= i_{\max } \cdot V_{\max } \cdot \dfrac{1}{2} \cdot [\cos (2 \omega t+\theta)+\cos (\theta)] \\ &=\underbrace{\dfrac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (\theta)}_{\begin{array}{c} \text {Time-independent} \\ \text{component} \end{array}} + \underbrace{\dfrac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (2 \omega t+\theta)}_{\begin{array}{c} \text{Time-varying periodic} \\ \text{component} \end{array}} \end{array} \nonumber \] Перша частина не залежить від часу і залежить лише від фазового кута\(\theta\), тоді як друга складова періодично змінюється з часом. Ретельний огляд Eq. \(\PageIndex{5}\)показує, що миттєва потужність змінного струму є синусоїдальною функцією, яка коливається між нулем і максимальним (або піковим) значенням\(i_{\max} \cdot V_{\max} \cdot \cos(\theta)\).

Середня електрична потужність

Середня електрична потужність визначається як кількість електричної енергії, переданої через межу, розділене на проміжок часу, за який відбувається передача. Математично середню електричну потужність за часовий проміжок\(t_{\mathrm{obs}}\) можна обчислити з рівняння.\[\dot{W}_{\text {avg, in}} = \frac{1}{t_{\text {obs}}} \int\limits_{0}^{t_{\text {obs}}} \dot{W}_{\text {electric, in}} \ dt \nonumber \] Якщо напруга і струм є постійними, як вони були б в системі постійного струму, середня потужність і миттєва потужність ідентичні. У системі змінного струму середня потужність буде розраховуватися протягом періоду часу для одного циклу миттєвої потужності (або двох циклів напруги та струму) наступним чином:\[\begin{aligned} \dot{W}_{\text {avg, in}} &= \frac{1}{t_{\text {obs}}} \int\limits_{0}^{t_{\text {obs}}} \dot{W}_{\text {electric, in}} \ dt \quad \text { where } \quad\quad\quad t_{\text {obs}}=t_{\text {period}}=\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{\omega} \\ &=\frac{1}{t_{\text {period}}} \int\limits_{0}^{t_{\text {period}}}\left[\frac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (\theta)\right] dt \quad\quad\quad \left| \begin{array}{l} \text { What happened to the } \\ \text { time-varying component? } \end{array} \right. \\ &=\frac{1}{t_{\text {period}}}\left[\frac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (\theta)\right] t_{\text {period}} = \frac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (\theta) \end{aligned} \nonumber \]

Це, нарешті, дає\[\dot{W}_{\text {avg, in}} = \frac{1}{2} i_{\max } \cdot V_{\max } \cdot \cos (\theta) \quad\quad\quad \begin{array}{c} \text {Average} \\ \text{AC electric power} \end{array} \nonumber \] Таким чином, середню потужність можна обчислити, знаючи максимальні (або пікові) значення для поточної напруги та кута\(\theta\). Зверніть увагу, що числова константа\(1 / 2\) залежить від форми сигналів напруги та струму, а не від конкретної частоти. Якби сигнали напруги та струму мали іншу форму, наприклад, пилкоподібну хвилю або квадратну хвилю, числова константа змінилася б.

7.8.2 Потужність змінного струму та ефективна напруга та струм

Що саме ми маємо на увазі, коли говоримо 110 змінного струму? Це максимальна (або пікова) напруга? Це середнє значення? Але середнє значення не матиме ніякого сенсу, оскільки середнє значення синусоїди, яка коливається навколо нуля, дорівнює нулю. Це може здатися вам дивним, але колись був час, коли електроенергія розподілялася за допомогою постійних напруг і струмів. На жаль для Томаса Едісона, який сприяв розподілу постійного струму, системи змінного струму виграли. Однак привид постійного струму все ще живе так, як ми говоримо про змінні напруги та струми. Виходить, що змінна напруга і струм повідомляються з точки зору їх ефективних значень, які пов'язані з еквівалентом постійного струму, який би доставляв таку ж середню потужність резистору.

Ефективне значення змінного струму\(i_{\text {eff}}\) дорівнює значенню постійного струму, який би доставляв таку ж середню потужність навантажувального резистора. Залежність між максимальним змінним струмом і ефективним значенням змінного струму розроблена нижче.

\[ \begin{aligned} \left. \dot{W}_{\text{electric, in}} \right|_{average, \ DC} \ &= \ \left. \dot{W}_{\text{electric, in}} \right|_{average, \ AC} \\ i_{\text{eff}}{ }^{2} \cancel{ R_{\text{load}} } &= \frac{1}{t_{\text{period}}} \int\limits_{0}^{t_{\text{period}}} i^2 \cancel{ R_{\text{load}} } \ dt = \frac{1}{t_{\text{period}}} \int\limits_{0}^{t_{\text{period}}} \left[i_{\max} \cos (\omega t + \theta) \right]^{2} \cancel{ R_{\text{load}} } \ dt \end{aligned} \nonumber \]

\[\begin{aligned} i_{\text {eff}}{ }^{2} &= i_{\max }{ }^{2} \left\{\frac{1}{t_{\text {period}}} \int\limits_{0}^{t_{\text {period}}} [\cos (\omega t+\theta)]^{2} \ dt\right\} \\ &=i_{\max }{ }^{2} \left\{\frac{1}{t_{\text {period}}} \int\limits_{0}^{t_{\text {period}}} \left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos (2 \omega t+2 \theta)\right] \ dt \right\} \\ &=\left\{\frac{1}{t_{\text {period}}} \left[\frac{1}{2}\left(t_{\text {period}}-0\right)+0\right]\right\}^{2} = \frac{i_{\max }{ }^{2}}{2} \end{aligned} \nonumber \]Таким чином, ми маємо кінцевий результат:\[i_{\text {eff}} = \frac{i_{\max }}{\sqrt{2}} \quad \text { Effective AC current } \nonumber \]

Якби струм, що змінюється в часі, мав іншу форму хвилі, ніж синусоїда, скажімо, квадратна хвиля або пилкоподібна хвиля, константа в чисельнику набула б іншого значення.

Аналогічно, ефективне значення змінної напруги\(V_{\text {eff}}\) дорівнює значенню постійної напруги, яка б доставляла таку ж середню потужність навантажувального резистора. Використовуючи розробку, подібну до ефективного струму, ми виявляємо, що:\[V_{\text {eff}} = \frac{V_{\max }}{\sqrt{2}} \quad \text { Effective AC voltage } \nonumber \] І це відповідь на питання, з якого ми почали - що таке\(110 \mathrm{AC}\) напруга? 110 вольт - ефективне значення\(\mathrm{AC}\) напруги. Таким чином, на осцилографі сигнал 110 змінного струму буде синусоїдою з максимальним значенням\(V_{\max }=110 \cdot \sqrt{2}=155.6\) вольт. Сигнал 220 змінного струму мав би максимальне значення\(311.1\) вольт.

Тепер, якщо ми переглянемо рівняння для середньої потужності змінного струму, ми можемо переписати його з точки зору ефективних значень:\[\begin{array}{l} \dot{W}_{\text {avg, in}} &=\dfrac{i_{\max } \cdot V_{\max }}{2} \cos (\theta) = \left(\dfrac{i_{\max }}{\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{V_{\max }}{\sqrt{2}}\right) \cos (\theta) \\ { } \\ &=\underbrace{i_{\text {eff}} \cdot V_{\text {eff}}}_{\begin{array}{c} \text{Apparent} \\ \text{Power} \end{array}} \cdot \underbrace{\cos (\theta)}_{\begin{array}{c} \text{Power} \\ \text{Factor} \end{array}} \quad\quad\quad\quad {\text {Average AC Power }} \end{array} \nonumber \] Таким чином, середня потужність змінного струму, передана на межі системи, є добутком ефективного струму, ефективної напруги і\(\cos (\theta)\).

Більш детальний розгляд середнього співвідношення потужності змінного струму, Eq. \(\PageIndex{10}\), показує, що це продукт видимої потужності та коефіцієнта потужності. Оскільки видима потужність насправді не є силою, їй часто дають одиниці вольт-підсилювачів. (Якщо ви подивитеся на табличку на великому електрообладнанні, ви часто побачите значення\(\mathrm{kV} \cdot \mathrm{A}\), повідомлені в кіловольт-амперах.) Коефіцієнт потужності може мати значення між\(0\)\(1\) і залежить від поведінки навантаження, зокрема імпедансу навантаження. Визначення фазового кута та коефіцієнта потужності для конкретної електричної системи є предметом курсів з аналізу ланцюгів, наприклад ES203 - Електричні системи, які більшість з вас прийматимуть пізніше. Для систем з чисто резистивним навантаженням коефіцієнт потужності один\([\theta=0\) і\(\cos (\theta)=1]\). У цьому тексті, якщо вам не скажуть інакше, ви можете припустити, що коефіцієнт потужності - це єдність. (Зверніть увагу, що це припущення завжди дає вам максимально можливу електроенергію для даної ситуації.)

7.8.3 Зберігання електричної енергії

Коли енергія передається в систему або з неї потоком електричного струму, що відбувається з цією енергією всередині системи? Відповідь на це питання залежить від того, що знаходиться всередині системи. У цьому розділі ми обмежимося пристроями, які зазвичай зустрічаються в електричних ланцюгах: резисторами, конденсаторами, індукторами та акумуляторами.

Для нашого обговорення ми будемо вважати, що наша система може зберігати енергію в шести різних формах:\[E_{\text {system}} = U + \underbrace{E_{MF}+E_{EF}}_{\text {Electrical Energy}} + \underbrace{E_{K, \text { trans}} + E_{K, \text { rot}} + E_{GP}}_{\text {Mechanical Energy}} \nonumber \]\[\begin{aligned} \text{where} \quad\quad\quad & \\ U &=\text { internal energy } \\ E_{EF} &=\text { energy stored in an electric field } \\ E_{MF} &=\text { energy stored in a magnetic field } \\ E_{K, \text { trans}} &=\text { translational kinetic energy } \\ E_{K, \text { rot}} &=\text { rotational kinetic energy } \\ E_{GP} &=\text { gravitational potential energy } \end{aligned} \nonumber \]

Новими гравцями в цій дискусії є енергія, що зберігається в електричному полі, і енергія, що зберігається в магнітному полі. У письмовій формі Eq. \(\PageIndex{11}\)з шістьма дискретними енергетичними термінами ми припустили, що енергетичні терміни незалежні один від одного. Цього буде достатньо для нашої дискусії тут; однак більш детальна презентація термодинаміки виявить, що існує багато ситуацій, коли електричні та внутрішні енергетичні терміни не є незалежними і повинні розглядатися як єдиний термін (J. Kestin, Курс термодинаміки, Blaisdell Publishing Co, Уолтем, Массачусетс, 1966, розділ 8.).

Якщо обмежитися замкнутою системою, то енергетичний баланс стає\[\frac{d}{dt}\left[U + E_{K, \text { trans}} + E_{K, \text { rot}} + E_{GP} + E_{EF}+E_{MF}\right] = \dot{Q}_{\text {net}, \text { in }} + \dot{W}_{\text {net}, \text { in}} \nonumber \] Тепер розглянемо кілька різних компонентів, які часто зустрічаються в електричній системі.

Резистор

Однією з найбільш основних складових електричного кола є резистор. Для наших цілей ми будемо вважати, що ідеальний резистор - це той, який задовольняє закону Ома,\(V_{R}=i R\) як показано на малюнку,\(\PageIndex{2}\) і не може зберігати енергію в електричних і магнітних полах.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Взаємозв'язок напруга-струм для ідеального резистора.

Якщо ми застосуємо збереження енергії до адіабатичного ідеального резистора, ми виявимо наступне:\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} E_{\text {resistor}} &= \dot{W}_{\text {net, in}} + \cancel{\dot{Q}_{\text {net, in}}}^{=0} \\ \frac{d}{dt} \left[U + \cancel{E_{K, \text { trans}}} + \cancel{E_{K, \text { rot}}} + \cancel{E_{\text {GP}}} + \cancel{E_{\text {MF}}} + \cancel{E_{EF}} \right] &= i \cdot \Delta V \quad \text { where } \Delta V=V_{R} \\ \frac{dU}{dt} &= i \cdot V_{R} = i \cdot(iR) \end{aligned} \nonumber \] Нарешті у нас є\[\frac{d E_{\text {resistor}}}{dt} = \frac{dU}{d }=i^{2} \cdot R \nonumber \] Так що електрична потужність, що подається на адіабатичний, ідеальний резистор призводить до збільшення внутрішньої енергії системи. Для кінцевого часового періоду зміна енергії резистора\[\Delta E_{\text {resistor}}=\Delta U=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}\left(i^{2} \cdot R\right) dt \quad \geq 0 \nonumber \] Зверніть увагу, що це незворотна передача енергії, оскільки зміна напрямку струму не зменшить внутрішню енергію системи.

Конденсатор

Другий базовий компонент схеми, який ми розглянемо, - конденсатор. Конденсатор складається з двох заряджених поверхонь, розділених діелектриком. Для наших цілей ідеальним конденсатором буде той, який може зберігати енергію лише в електричному полі всередині конденсатора і який задовольняє співвідношення напруга-струм, втілене на малюнку\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Взаємозв'язок напруга-струм для ідеального конденсатора.

Аналіз цієї цифри показує, що напруга на конденсаторі і струм пов'язані виразом:\[i=C \frac{dV_{C}}{d t} \nonumber \] де\(C\) ємність і вимірюється в фарад\((\mathrm{F})\) і\(1 \mathrm{~F} = (1 \mathrm{~A})(1 \mathrm{~s}) /(1 \mathrm{~V})\).

Застосовуючи збереження енергії до адіабатичного, ідеальний конденсатор дає наступне:\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} E_{\text {capacitor}} &= \dot{W}_{\text {net, in}} + \cancel{\dot{Q}_{\text {net, in}}}^{= 0} \\ \frac{d}{dt}\left[\cancel{U} + \cancel{E_{K, \text { trans}}} + \cancel{E_{K, \text { rot}}} + \cancel{E_{GP}} + E_{EF} + \cancel{E_{MF}} \right] &= i \cdot \Delta V \quad \text { where } \Delta V=V_{C} \\ \frac{d E_{EF}}{dt} &= i \cdot V_{C} = \left(C \frac{d V_{C}}{dt}\right) \cdot V_{C} \end{aligned} \nonumber \]

Нарешті, ми маємо\[\frac{d E_{\text {capacitor}}}{dt}=\frac{d E_{E F}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(C \frac{V_{C}{ }^{2}}{2}\right) \quad \text { where } E_{\text {capacitor }} \equiv C \frac{V_{C}{ }^{2}}{2} \nonumber \] Таким чином, миттєва електрична потужність, що подається на адіабатичний ідеальний конденсатор, призводить до зміни енергії, що зберігається в електричному полі всередині конденсатора. Якщо конденсатор піддається змінній напрузі, то усереднена за часом енергія, що зберігається в конденсаторі, розраховується шляхом підстановки ефективної напруги наступним чином. \[\left.E_{\text {capacitor}}\right|_{\text {average AC }} = C \frac{V_{C, \text { eff}}{ }^{2}}{2} \quad\quad \begin{gathered} \text { Average energy stored } \\ \text { in a capacitor driven by } \\ \text { an AC voltage. } \end{gathered} \nonumber \]Для кінцевого періоду часу зміна енергії конденсатора - це лише зміна енергії конденсатора:\[\Delta E_{\text {capacitor}} = \Delta E_{EF} = \frac{C}{2}\left(V_{C, 2}{ }^{2}-V_{C, 1}{ }^{2}\right) \nonumber \] Зверніть увагу, що на відміну від накопичення енергії в резисторі, енергія, що зберігається в адіабатичному конденсаторі, може як збільшуватися, так і зменшуватися.

Індуктор

Третій основний компонент схеми, який ми розглянемо, - це індуктор. Індуктор складається з циліндричної котушки дроту. Для наших цілей ідеальним індуктором буде той, який може зберігати енергію лише в магнітному полі всередині індуктора і задовольняє співвідношення напруга-струм, втілене на малюнку\(\PageIndex{4}\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Взаємозв'язок напруга-струм для ідеального індуктора.

Аналіз цього малюнка показує, що напруга на індукторі і струм пов'язані виразом:\[V_{L}=L \frac{di}{dt} \nonumber \] де\(L\) індуктивність і вимірюється в Генріс\((\mathrm{H})\) і\(1 \mathrm{H} = (1 \mathrm{~V})(1 \mathrm{~s}) / (1 \mathrm{~A})\).

Застосовуючи збереження енергії до адіабатичного, ідеального індуктора дає наступні результати:\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} E_{\text {inductor}} &= \dot{W}_{\text {net, in}} + \cancel{\dot{Q}_{\text {net, in}}}^{= 0} \\ \frac{d}{dt}\left[\cancel{U} + \cancel{E_{\text {K, trans}}} + \cancel{E_{K, \text { rot}}} + \cancel{E_{GP}} + \cancel{E_{EF}} + E_{MF}\right] &= i \cdot \Delta V \quad \text { where } \Delta V=V_{L} \\ \frac{d E_{MF}}{dt} &= i \cdot V_{L} = i \cdot\left(L \frac{di}{dt}\right) \end{aligned} \nonumber \]

Нарешті, ми маємо\[\frac{d E_{\text {Inductor}}}{dt} = \frac{d E_{MF}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(L \frac{i^{2}}{2}\right) \quad \text { where } \quad E_{\text {Inductor}} \equiv L \frac{i^{2}}{2} \nonumber \] Таким чином, електрична потужність, що подається на адіабатичний, ідеальний індуктор призводить до зміни енергії, що зберігається в магнітному полі всередині індуктора. Якщо індуктор піддається змінному струму, усереднена за часом енергія, що зберігається в енергії, розраховується шляхом підстановки ефективного струму наступним чином:\[\left.E_{\text {inductor}}\right|_{AC} = L \frac{i_{\text {eff}}{ }^{2}}{2} \quad\quad \begin{gathered} \text { Average energy stored } \\ \text { in an inductor driven } \\ \text { by an AC current } \end{gathered} \nonumber \] Для скінченного періоду часу зміна енергії індуктора - це лише зміна енергії індуктора:\[\Delta E_{\text {inductor}} = \Delta E_{MF} = \frac{L}{2}\left(i_{2}{ }^{2} - i_{1}{ }^{2}\right) \nonumber \] Зверніть увагу, що на відміну від енергії, що зберігається в резисторі, енергія, що зберігається в адіабатичному індукторі, може як збільшуватися, так і зменшуватися.

Акумулятор

Останній компонент, який ми розглянемо, - це акумулятор. Ідеальний акумулятор задовольнить співвідношення напруга-струм, показане на малюнку,\(\PageIndex{5}\) і не може зберігати енергію в електричному та магнітному полах.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Взаємозв'язок напруга-струм для ідеального акумулятора.

Якщо ми застосуємо збереження енергії до адіабатичної, ідеальної батареї, ми маємо результат, що\[\begin{aligned} \frac{d E_{\text {battery}}}{dt} &=\dot{W}_{\text {net, in}} + \cancel{ \dot{Q}_{\text {net, in}} }^{=0} \\ \frac{d}{dt}\left[U + \cancel{E_{K, \text { trans}}} + \cancel{E_{K, \text { rot}}} + \cancel{E_{GP}} + \cancel{E_{UF}} + \cancel{E_{EF}}\right] &= i \cdot \Delta V \quad\quad \text { where } \Delta V=\Delta V_{\text {cell}} \\ \frac{dU}{dt} &= i \cdot \Delta V_{\text {cell}} \end{aligned} \nonumber \] Отже, нарешті, ми маємо для адіабатичної, ідеальної батареї,\[\frac{d E_{\text {battery}}}{dt} = \frac{dU}{dt} = i \cdot \Delta V_{\text {cell}} \nonumber \] Таким чином, електроенергія, що подається до акумулятора, переходить у зміну внутрішньої енергії батареї.

Для скінченного часового інтервалу зміна енергії акумулятора пишеться наступним чином:\[\Delta E_{\text {battery}} = \Delta U = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \left(i \cdot \Delta V_{\text {cell}}\right) d t \nonumber \]

Зверніть увагу, що як і конденсатор, і індуктор і на відміну від резистора, внутрішня енергія ідеальної, адіабатичної батареї може як збільшуватися, так і зменшуватися.

7.8.4 Системи живлення змінного струму та сталого стану

Коли система подається з живленням змінного струму, миттєва потужність і, отже, швидкість передачі енергії на межі змінюється з часом періодичним чином. Наше стале припущення вимагає, щоб нічого в межах або на кордоні системи не змінювалося з часом. Це, здавалося б, заважає нам коли-небудь приймати стаціонарну поведінку, коли живлення змінного струму подається в систему. Однак наш світ сповнений систем, керованих потужністю змінного струму, які, здавалося б, працюють у стані «сталого стану».

Щоб вирішити цей очевидний конфлікт, ми можемо використати наш досвід із середньою потужністю електроенергії, яку ми розробили раніше в розділі 7.8.1. Якщо ми усереднюємо темп-форму рівняння збереження енергії, як ми це робили при знаходженні середньої електричної потужності, ми закінчимо рівнянням, яке виглядає точно так само, як вихідна швидкість форми рівняння збереження енергії. Єдина відмінність полягає в тому, що кожен термін був усереднений за часом. Якщо нас цікавить лише поведінка системи на часових шкалах, значно більших за 1 період сигналу змінного струму (\(1 / 60 \mathrm{~s}\)), усереднене за часом рівняння буде працювати так само, як і вихідне рівняння.

Тепер, коли ми говоримо, що система з живленням змінного струму працює в стаціонарних умовах, ми насправді говоримо, що в середньому система не змінюється з часом. Це означає, що середня потужність змінного струму не змінюється з часом. Це також означає, що все інше про систему, яка періодично змінювалася з часом, наприклад, накопичення енергії в конденсаторах та індукторах, не змінюється в середньому з часом.

Це явище насправді не є унікальним для електричної енергії. Якщо ви контролюєте крутний момент приводного вала, що виходить з вашого двигуна автомобіля, ви, ймовірно, виявите, що хоча швидкість обертання валу постійна, крутний момент буде змінюватися в залежності від кута вала, коли вал обертається. Це дає вал крутний момент, який періодично змінюється з часом. Таким чином, потужність вала може фактично коливатися, але ми просто повідомляємо середнє значення. Таким чином, навіть не знаючи цього, ми іноді посилаємося на «усереднені за часом» припущення сталого стану. Зрозуміло, що якби нам потрібно було проаналізувати поведінку системи за часовою шкалою, рівною періоду одного обертання вала, було б некоректно усереднювати коливання