2.5: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 35156

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\) International Standard Atmosphere

Після запуску просторового зонда в планетарну атмосферу були зібрані дані про температуру атмосфери. Його варіацію з висотою (\(h\)) можна наблизити наступним чином:

\[T = \dfrac{A}{1 + e^{\tfrac{h}{B}}},\label{eq2.5.1}\]

де\(A\) і\(B\) є константами, які потрібно визначити.

Якщо припустити, що газ поводиться як ідеальний газ, а атмосфера знаходиться в стані спокою, використовуючи наступні дані:

Температура при\(h = 1000\),\(T_{1000} = 250\ K\);
\(p_0 = 100000 \dfrac{N}{m^2}\);
\(\rho_0 = 1 \dfrac{Kg}{m^3}\);
\(T_0 = 300\ K\);
\(g = 10 \dfrac{m}{s^2}\).

визначити:

Значення\(A\) і\(B\), в тому числі їх єдності.
Закон варіації щільності і тиску з висотою відповідно\(\rho (h)\) і\(p (h)\) (не підставляйте жодне значення).
Значення щільності і тиску при\(h = 1000 m\).

Відповідь

Приймаємо наступні гіпотези:

(а) Газ є ідеальним газом.

(б) Він виконує рідинно-статичне рівняння.

Виходячи з гіпотези (а):

\[P = \rho RT.\label{eq2.5.2}\]

Виходячи з гіпотези (b):

\[dP = -\rho gdh.\label{eq2.5.3}\]

Виходячи з даних, наведених у заяві, і за допомогою Equation (\(\ref{eq2.5.2}\)):

\[R = \dfrac{P_0}{\rho_0 T_0} = 333.3 \dfrac{J}{(Kg \cdot K)}\]

Значення\(A\) і\(B\):
Використання заданої температури на висоті\(h = 0\)\((T_0 = 300\ K)\), і Рівняння (\(\ref{eq2.5.1}\)):
\[300 = \dfrac{A}{1 + e^0} = \dfrac{A}{2} \to A = 600 \ K.\]
Використання заданої температури на висоті\(h = 1000\) (\(T_{1000} = 250\ K\)), і Рівняння ( \(\ref{eq2.5.1}\)):
\[250 = \dfrac{A}{1 + e^{\tfrac{1000}{B}}} = \dfrac{600}{1 + e^{\tfrac{1000}{B}}} \to B = 2972\ m.\]
Закон варіації щільності та тиску з висотою:
Використання рівняння (\(\ref{eq2.5.2}\)) та рівняння (\(\ref{eq2.5.3}\)):
\[dP = -\dfrac{P}{RT} gdh.\label{eq2.5.7}\]
Інтеграція диференціального рівняння (\(\ref{eq2.5.7}\)) між\(P(h = 0)\) і\(P, h = 0\) і\(h\):
\[\int_{P_0}^{P} \dfrac{dP}{P} = \int_{h = 0}^{h} -\dfrac{g}{RT} dh.\label{eq2.5.8}\]
Введення рівняння (\(\ref{eq2.5.1}\)) у рівнянні (\(\ref{eq2.5.8}\)):
\[\int_{P_0}^{P} \dfrac{dP}{P} = \int_{h = 0}^{h} -\dfrac{g(1 + e^{\tfrac{h}{B}})}{RA} dh.\label{eq2.5.9}\]
Інтеграція рівняння (\(\ref{eq2.5.9}\)):
\[Ln \dfrac{P}{P_0} = -\dfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B) \to P = P_0 e^{-\tfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B)}.\label{eq2.5.10}\]
Використання рівняння (\(\ref{eq2.5.2}\)), Рівняння (\(\ref{eq2.5.1}\)) , і рівняння (\(\ref{eq2.5.10}\)):
\[\rho = \dfrac{P}{RT} = \dfrac{P_0 e^{-\tfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B)}}{R \tfrac{A}{1 + e^{\tfrac{h}{B}}}}\label{eq2.5.11}\]
Тиск і щільність на висоті 1000 м:
Використовуючи Рівняння (\(\ref{eq2.5.10}\)\(\ref{eq2.5.11}\)) і Рівняння (), дані для\(P_0\) і\(g\), і значення, отримані для\(R, A\), і\(B\):

\(\rho (h = 1000) = 1.0756 \tfrac{kg}{m^3}.\)
\(P(h = 1000) = 89632.5 Pa.\)