Search

4.4: Альтернативний маршрут
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/04%3A_%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D1%85_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BE%D0%BA_%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%83/4.04%3A_%D0%90%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%80%D1%88%D1%80%D1%83%D1%82
Ретельно думаючи про те, що це означає для функції, щоб бути обчислюваною і тільки те, що обчислення, ми знову зможемо показати існування формули, яка є істинною і ще не доказовою. Ідея полягає в тому...Ретельно думаючи про те, що це означає для функції, щоб бути обчислюваною і тільки те, що обчислення, ми знову зможемо показати існування формули, яка є істинною і ще не доказовою. Ідея полягає в тому, що сказати, що функція $f$ обчислюється на вході $k$ означає, що існує послідовність простих кроків, що призводить до правильного виведення $f \left( k \right)$ .
1.7: Структури
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/01%3A_%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.07%3A_%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8
Ми скажемо, що $\mathfrak{A}$ і $\mathfrak{B}$ ізоморфні і пишемо $\mathfrak{A} \cong \mathfrak{B}$ якщо є біекція $i : A \rightarrow B$ така, що для кожного постійного $c$ символу $\mathcal{L}$ ...Ми скажемо, що $\mathfrak{A}$ і $\mathfrak{B}$ ізоморфні і пишемо $\mathfrak{A} \cong \mathfrak{B}$ якщо є біекція $i : A \rightarrow B$ така, що для кожного постійного $c$ символу $\mathcal{L}$ $i \left( c^\mathfrak{A} \right) = c^\mathfrak{B}$ ,, для кожного $n$ -арного символу функції $f$ і для кожного $a_1, \ldots, a_n \in A$ $i \left( f^\mathfrak{A} \left( a_1, \ldots, a_n \right) \right) = f^\mathfrak{B} \left( i \left( a_1 \right), \ldots i \left( a_n \right) \right)$ , і для ко…
5.1: Вступ
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/05%3A_%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_-_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82/5.01%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF
Ось ескіз нашого плану досягнення теореми: Доказ першої теореми про неповноту по суті складається з побудови певного речення $\theta$ та помічення того, що за своєю природою $\theta$ є справжнім тве...Ось ескіз нашого плану досягнення теореми: Доказ першої теореми про неповноту по суті складається з побудови певного речення $\theta$ та помічення того, що за своєю природою $\theta$ є справжнім твердженням $\mathfrak{N}$ і твердженням, яке є недоказовим з наших аксіом. Ми закінчимо главу обговоренням другої теореми про неповноту Геделя, яка показує, що жоден досить сильний набір аксіом ніколи не може сподіватися довести власну послідовність.
1: Структури та мови
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/01%3A_%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8
2.2: Відрахування
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/2.02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F
\[\begin{align} &A \left( x \right) \\ &A \left( x \right) \land A \left( x \right) \\ &\left( A \left( x \right) \land A \left( x \right) \right) \rightarrow B \left( x, y \right) \\ &B \left( x, y \... $\begin{align} &A \left( x \right) \\ &A \left( x \right) \land A \left( x \right) \\ &\left( A \left( x \right) \land A \left( x \right) \right) \rightarrow B \left( x, y \right) \\ &B \left( x, y \right) \end{align}$ $\begin{align} &\left( A \left( x \right) \land A \left( x \right) \right) \rightarrow B \left( x, y \right) \\ &B \left( x, y \right) \rightarrow A \left( x \right) \\ &\left( A \left( x \right) \land A \left( x \right) \right) \rightarrow A \left( x \right) \end{align}$
6.1: Вступ до теорем про неповноту
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/06%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%82%D1%83/6.01%3A_%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%82%D1%83
Ідея побудови дійсно акуратна: ми можемо $\theta$ сказати, що не $\theta$ є доказовим з аксіом $A$ . $\theta$ У якомусь сенсі $\theta$ це не більше ніж химерна версія парадоксу брехуна, в якій ора...Ідея побудови дійсно акуратна: ми можемо $\theta$ сказати, що не $\theta$ є доказовим з аксіом $A$ . $\theta$ У якомусь сенсі $\theta$ це не більше ніж химерна версія парадоксу брехуна, в якій оратор стверджує, що оратор бреше, запрошуючи слухача вирішити, чи є це висловлювання правдою чи брехнею.
4.2: Складність формул
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/04%3A_%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D1%85_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BE%D0%BA_%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%83/4.02%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB
\[ \left( \forall x < t \right) \phi \: \text{means} \: \forall x \left( x < t \rightarrow \phi \right) \\ \left( \forall x \leq t \right) \phi \: \text{means} \: \forall x \left( \left( x < t \lor x ... $\left( \forall x < t \right) \phi \: \text{means} \: \forall x \left( x < t \rightarrow \phi \right) \\ \left( \forall x \leq t \right) \phi \: \text{means} \: \forall x \left( \left( x < t \lor x = t \right) \rightarrow \phi \right) \\ \left( \exists x < t \right) \phi \: \text{means} \: \exists x \left( x < t \land \phi \right) \\ \left( \exists x \leq t \right) \phi \: \text{means} \: \exists x \left( \left( x < t \lor x = t \right) \land \phi \right).$
2: Відрахування
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F
2.3: Логічні аксіоми
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/02%3A_%D0%92%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/2.03%3A_%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B0%D0%BA%D1%81%D1%96%D0%BE%D0%BC%D0%B8
\[\left[ \left( x_1 = y_1 \right) \land \left( x_2 = y_2 \right) \land \cdots \land \left( x_n = y_n \right) \right] \rightarrow \left( R \left( x_1, x_2, \ldots, x_n \right) \rightarrow R \rightarrow... $\left[ \left( x_1 = y_1 \right) \land \left( x_2 = y_2 \right) \land \cdots \land \left( x_n = y_n \right) \right] \rightarrow \left( R \left( x_1, x_2, \ldots, x_n \right) \rightarrow R \rightarrow R \left( y_1, y_2, \ldots, y_n \right) \right). \tag{E3}$
5.3: Представлені множини та функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/05%3A_%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BA%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_-_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82/5.03%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
Ми скажемо, що формула $\phi \left( x \right)$ з однією вільною змінною позитивно числівно визначається якщо, для кожної $a \in \mathbb{N}$ , якщо $\mathfrak{N} \models \phi \left( a \right)$ тоді\(...Ми скажемо, що формула $\phi \left( x \right)$ з однією вільною змінною позитивно числівно визначається якщо, для кожної $a \in \mathbb{N}$ , якщо $\mathfrak{N} \models \phi \left( a \right)$ тоді $N \vdash \phi \left( \bar{a} \right)$ . $\phi \left( x \right)$ Скажімо числівно визначається, якщо $\neg \phi \left( x \right)$ обидва $\phi \left( x \right)$ і позитивно числівно визначені.
1.4: Терміни та формули
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8/%D0%94%D1%80%D1%83%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D0%BA%D0%B8_(Leary_%D1%82%D0%B0_Kristiansen)/01%3A_%D0%A1%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B8/1.04%3A_%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8
Якщо формула $\psi$ містить підформулу $\left( \forall v \right) \left( \alpha \right)$ [означає, що рядок символів, що складають формулу, $\left( \forall v \right) \left( \alpha \right)$ є підрядк...Якщо формула $\psi$ містить підформулу $\left( \forall v \right) \left( \alpha \right)$ [означає, що рядок символів, що складають формулу, $\left( \forall v \right) \left( \alpha \right)$ є підрядком рядка символів, що складають $\psi$ ], ми скажемо, що область дії квантора $\forall$ є $\alpha$ .