Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.1: Вступ до теорем про неповноту

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65429

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Припустимо, що\(A\) це сукупність аксіом мовою теорії чисел така, яка\(A\) є послідовною і досить простий, щоб ми могли вирішити, чи є дана формула елементом\(A\). Перша теорема про неповноту дасть речення, таке, що\(\mathfrak{N} \models \theta\) і\(\theta\), таким чином\(A \nvdash \theta\), показуючи нашу колекцію аксіом,\(A\) є неповним.

    Ідея побудови дійсно акуратна: ми можемо\(\theta\) сказати, що не\(\theta\) є доказовим з аксіом\(A\).\(\theta\) У якомусь сенсі\(\theta\) це не більше ніж химерна версія парадоксу брехуна, в якій оратор стверджує, що оратор бреше, запрошуючи слухача вирішити, чи є це висловлювання правдою чи брехнею. Завдання для нас полягає в тому, щоб з'ясувати, як отримати\(\mathcal{L}_{NT}\) -речення, щоб зробити твердження!

    Ви помітите, що є дві частини до\(\theta\). Перший полягає в тому, що\(\theta\) доведеться поговорити про колекцію чисел Геделя теорем\(A\). Це не проблема, оскільки у нас буде\(\Sigma\) -формула,\(Thm_A \left( f \right)\) яка є істинною (і, таким чином, доказовою з\(N\)) тоді і лише тоді, коли\(f\) є числом Геделя теореми\(A\). Те, що робить\(\theta\) складним, це те, що ми\(\theta\) хочемо бути\(Thm_A \left( \bar{a} \right)\), де\(a = \ulcorner \theta \urcorner\). У цьому сенсі нам потрібно\(\theta\) посилатися на себе. Показано, що ми можемо це зробити, буде зміст самодовідкової леми, про яку ми звертаємось у наступному розділі.

    Після доведення першої теореми про неповноту, ми обговоримо деякі наслідок та вдосконалення теореми, перш ніж перейти до обговорення другої теореми про неповноту, яка стверджує, що набір аксіом арифметики Пеано не може довести, що арифметика Пеано є послідовною, якщо (звичайно) Пеано Арифметика непослідовна, і в цьому випадку вона може довести що завгодно. Отже, наша мета довести, що у нас є повний, послідовний набір аксіом\(\mathfrak{N}\) - це мета, яка не може бути досягнута в межах логіки першого порядку.