Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.8: Енергозбереження

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75296

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    навчальні цілі

    • Обчисліть швидкість втечі об'єкта, враховуючи його кінетичну енергію та гравітаційну потенційну енергію

    Швидкість втечі - це необхідна початкова швидкість, необхідна об'єкту для переходу від початкової точки в гравітаційному потенційному полі до кінцевої точки, яка знаходиться нескінченно далеко. Передбачається, що швидкість руху об'єкта в кінцевій точці буде дорівнює нулю.

    зображення

    Аналіз швидкості втечі Ісаака Ньютона: На цьому малюнку об'єкти A і B не мають необхідної швидкості втечі, і тому вони повертаються на Землю після запуску. Об'єкти C і D теж не мають, вони досягають кругової та еліптичної орбіти відповідно. Об'єкт Е запускається з достатньою швидкістю втечі і тікає з Землі.

    Уявіть собі ситуацію, в якій космічний корабель, який не має рушійної установки, запускається відразу з планети. (Це спірне обговорення швидкості втечі для об'єктів з рушійними установками.) Припустимо, що єдиною значною силою, яка діє на космічний корабель, є сила тяжіння з планети. Швидкість втечі космічного корабля можна обчислити за допомогою простого аналізу збереження енергії. Гравітаційна потенційна енергія космічного корабля становить:

    \[\mathrm{U=−\dfrac{GMm}{r}}\]

    Де\(\mathrm{G}\) - універсальна гравітаційна константа (\(\mathrm{G=6.67⋅10^{−11}m^3kg^{−1}s^{−2}}\)),\(\mathrm{M}\) - маса планети,\(\mathrm{m}\) це маса космічного корабля, а\(\mathrm{r}\) також відстань космічного корабля від центру ваги планети.

    У кінцевій точці космічного корабля,\(\mathrm{r}\) йде в нескінченність. Як\(\mathrm{r}\) переходить до нескінченності, значення вираження енергії гравітаційного потенціалу переходить до 0.

    Кінетичну енергію космічного корабля можна дізнатися з:

    \[\mathrm{\dfrac{1}{2}mv^2}\]

    Де мм - маса космічного\(\mathrm{v}\) корабля і швидкість космічного корабля.

    У початковій точці космічного корабля швидкість повинна мати величину, рівну швидкості втечі (\(\mathrm{s_e}\)). Швидкість космічного корабля дорівнює 0 в кінцевій точці, а отже, його кінетична енергія також дорівнює 0.

    Підсумовуючи кінетичну енергію (\(\mathrm{K}\)\(\mathrm{U}\)) та потенційну енергію () космічного корабля у його початковому (\(\mathrm{i}\)) та кінцевому (\(\mathrm{f}\)) станах:

    \[\mathrm{(K+U)_i=\dfrac{1}{2}ms^2_e+\dfrac{−GMm}{r}}\]

    \[\mathrm{(K+U)_f=0+0}\]

    Завдяки збереженню енергії, початкова енергія повинна дорівнювати кінцевій енергії, і тому ми можемо вирішити для\(\mathrm{s_e}\):

    \[\mathrm{s_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}\]

    Цікаво, що якби космічний корабель впав на планету з точки нескінченно далекої, він отримав би кінцеву швидкість\(\mathrm{s_e}\) на планеті.

    Слід зазначити, що якщо об'єкт запускається з тіла, що обертається, такого як Земля, швидкість, з якою тіло обертається, вплине на необхідну швидкість, яку повинен мати об'єкт щодо поверхні тіла. Якщо ракета запускається тангенціально від екватора Землі в тому ж напрямку, в якому Земля обертається, їй буде потрібно менша швидкість щодо Землі, ніж якби вона була запущена в зворотному напрямку, щоб задовольнити вимоги до швидкості втечі.

    Крім того, помилкова думка, що транспортні засоби (такі як ракети) вимагають швидкості втечі, щоб залишити орбіту та подорожувати через зовнішній космос. Якщо транспортний засіб має рушійну установку, щоб забезпечити його енергією після того, як він покине поверхню планети, спочатку не потрібно відповідати вимогам до швидкості втечі.

    Ключові моменти

    • Передбачається, що швидкість руху об'єкта в кінцевій точці буде дорівнює нулю.
    • Необхідна швидкість втечі (se) (se) об'єкта для виходу з сферично симетричного тіла\(\mathrm{G}\) задається:\(\mathrm{s_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}\),\(\mathrm{M}\) де універсальна гравітаційна константа,\(\mathrm{r}\) - маса тіла та відстань об'єкта від центру ваги тіла.
    • Швидкість втечі - це необхідна швидкість, яку повинен мати об'єкт, щоб перейти від початкової точки в гравітаційному потенційному полі до кінцевої точки, яка знаходиться нескінченно далеко.
    • Швидкість, з якою тіло обертається, вплине на необхідну швидкість, яку повинен мати об'єкт щодо поверхні тіла.
    • Об'єктам, які мають рушійні установки, не потрібно досягати швидкості втечі.

    Ключові умови

    • рух: сила, що викликає рух.
    • потенційна енергія: Енергія, яку має об'єкт через його положення (у гравітаційному або електричному полі) або його стан (як розтягнута або стиснута пружина, як хімічний реагент або маючи масу спокою)
    • кінетична енергія: Енергія, якою володіє об'єкт через його рух, дорівнює половині маси тіла, що перевищує квадрат його швидкості.

    ЛІЦЕНЗІЇ ТА АВТОРСТВА

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ КОНТЕНТ, РАНІШЕ ДІЛИВСЯ

    CC ЛІЦЕНЗОВАНИЙ ВМІСТ, СПЕЦИФІЧНА АТРИБУЦІЯ