13A: Вільне падіння, він же рух снаряда
- Page ID
- 74522
Рівняння постійного прискорення застосовуються з першої миті часу після того, як снаряд залишає пускову установку до останньої миті часу, перш ніж снаряд вдарить щось, наприклад, землю. Після того, як снаряд контактує з землею, земля чинить величезну силу на снаряд, викликаючи різку зміну прискорення снаряда протягом дуже короткого періоду часу, поки, у випадку снаряду, який не відскакує, і прискорення, і швидкість не стануть нульовими. Прийняти це нульове значення швидкості і підключити його до рівнянь постійного прискорення, позбавлених інформації про прискорення після заземлення - велика помилка. Насправді, в той останній момент часу, протягом якого рівняння постійного прискорення все ще застосовуються, коли снаряд знаходиться на рівні землі, але ще не контактував з землею, (якщо припустити, що рівень землі - найнижча висота, досягнута снарядом) величина швидкості снаряда є найбільшим значенням, наскільки далеко від нуля, як він коли-небудь отримує!
Розглянемо об'єкт у вільному падінні з ненульовою початковою швидкістю, спрямованою або горизонтально вперед; або як вперед, так і вертикально (вгору або вниз). Об'єкт буде рухатися вперед, вгору або вниз - можливо, вгору, а потім вниз - продовжуючи рухатися вперед. У всіх випадках вільного падіння рух об'єкта (зазвичай його називають снарядом, коли розглядається вільне падіння) відбувається в межах однієї вертикальної площини. Ми можемо визначити цю площину, щоб бути\(x\) -\(y\) площиною, визначаючи напрямок вперед, щоб бути\(x\) напрямок, а напрямок вгору -\(y\) напрямок.
Одна з цікавих речей про рух снаряда полягає в тому, що горизонтальний рух не залежить від вертикального руху. Нагадаємо, що при вільному падінні об'єкт постійно відчуває прискорення вниз,\(9.80\dfrac{m}{s^2}\) але не має горизонтального прискорення. Це означає, що якщо ви стріляєте снарядом так, щоб він наближався до стіни з певною швидкістю, він продовжуватиме наближатися до стіни з такою швидкістю, незалежно від того, чи рухається він також вгору та/або вниз, коли він наближається до стіни. Цікавим наслідком незалежності вертикального і горизонтального руху є той факт, що, нехтуючи опором повітря, якщо стріляти кулею горизонтально з, скажімо, висоти плеча, над рівною рівною землею, і в той момент, коли куля виходить з гармати, ви скидаєте другу кулю з тієї ж висоти, дві кулі будуть потрапляти в землю одночасно. Рух вперед випущеної кулі не впливає на її вертикальний рух.
Найпоширеніша помилка, яку люди роблять у вирішенні задач руху снарядів, - це поєднання\(y\) руху\(x\) і в одному стандартному рівнянні постійного прискорення. Не робіть цього. Розглядайте\(x\) -motion та\(y\) -motion окремо.
При вирішенні задач руху снаряда ми використовуємо незалежність горизонтального\((x)\) руху і\((y)\) вертикального руху, обробляючи їх окремо. Єдине, що є загальним як для\(x\) руху, так і для\(y\) руху, - це час. Ключем до вирішення багатьох завдань руху снарядів є знаходження загального часу «польоту». Для прикладу розглянемо наступний приклад.
Снаряд запускається зі швидкістю під кутом\(28^\circ\) вище горизонталі над рівною рівною землею з висоти\(2.0 m\) над рівнем землі.\(11 m/s\) Як далеко вперед він йде, перш ніж вдарити об землю? (Припустимо, що опір повітря незначний.)
Рішення
Перш ніж приступити до роботи, нам краще чітко встановити, що нас просять знайти. Ми визначаємо прямий напрямок як\(x\) напрямок, тому те, що ми шукаємо, є значенням\(x\). Більш конкретно, ми шукаємо відстань, виміряну вздовж землі, від цієї точки на землі безпосередньо під точкою, в якій снаряд залишає пускову установку, до точки на землі, куди потрапляє снаряд. Ця відстань відоме як дальність польоту снаряда. Він також відомий як дальність пускової установки для заданого кута запуску та дальність зниження дальності, пройденої снарядом.
Гаразд, тепер, коли ми знаємо, для чого ми вирішуємо, давайте почнемо. Початкова швидкість\(11 m/s\) при\(28^\circ\) над горизонталлю, а? Ух ой! У нас є дилема. Ключем до вирішення проблем руху снаряда є обробка\(x\) руху і\(y\) руху окремо. Але нам дається початкова швидкість vo яка є сумішшю двох з них. У нас немає іншого вибору, як розбити початкову швидкість на її\(x\) та\(y\) складові.
Тепер ми готові приступити до роботи. Ми почнемо з ескізу, який визначає нашу систему координат, таким чином встановлюючи початок і позитивні напрямки для\(x\) і\(y\).
Нагадаємо, що в задачах руху снарядів ми ставимося окремо до\(y\) руху\(x\) і руху. Почнемо з\(x\) руху. Це простіша частина, тому що немає прискорення.
х рух
\[x=v_{ox} t\label{13-1}\]
Зауважте, що для\(x\) -motion ми починаємо з рівняння постійного прискорення, яке дає позицію як функцію часу. (Уявіть, запустивши секундомір, в ту мить снаряд втратив контакт з пусковою установкою. Змінна часу t представляє показання секундоміра.) Як бачите, оскільки прискорення в\(x\) напрямку дорівнює нулю, рівняння швидко спрощується\(x=V_{0x}t\). Ми «застрягли» тут, тому що у нас є два невідомих,\(x\) і\(t\), і тільки одне рівняння. Прийшов час звернутися до\(y\) руху.
Повинно бути очевидним, що саме рух у дає час, снаряд починається на відомій висоті\((y = 2.0 m)\) і рух снаряда закінчується, коли снаряд досягає іншої відомої висоти, а саме,\(y = 0\).
y-рух
\[y=y_0+V_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_yt^2 \label{13-2}\]
Це рівняння говорить нам, що\(y\) значення в будь-який час\(t\) є початковим значенням y плюс деякі інші терміни, які залежать від\(t\). Він дійсний для будь-якого часу\(t\), починаючи з моменту запуску\(t = 0\), поки об'єкт знаходиться в русі снаряда. Зокрема, це застосовно до того особливого часу\(t\), останнього моменту перед тим, як об'єкт контактує з землею, той момент, який нас найбільше цікавить, час, коли\(y = 0\). Що ми можемо зробити, це підключити\(0\) і вирішити для цього особливого часу\(y\),\(t\) який, коли підключений до рівняння\(\ref{13-2}\), робить\(y\) бути\(0\). Коли ми переписуємо Рівняння\(\ref{13-2}\) з y встановленим на 0, символ\(t\) набуває нового значення. Замість того, щоб бути змінною, він стає особливим часом, часом, який робить\(y\) в фактичному рівнянні\(\ref{13-2}\)\((y=y=y_0+V_{0y}t+\dfrac{1}{2}a_yt^2)\) нуль.
\[0=y_0+V_{0y}t_{\ast}+\dfrac{1}{2}a_yt_{\ast}^2 \label{13-3}\]
Щоб підкреслити, що час у рівнянні\(\ref{13-3}\) є певним моментом у часі, а не змінним часом з моменту запуску, я\(t_{\ast}\) написав його, як читати «\(t\)зірка». Все в рівнянні\(\ref{13-3}\) є заданою, за винятком\(t_{\ast}\) того, що ми можемо вирішити рівняння\(\ref{13-3}\) для\(t_{\ast}\). Визнаючи, що рівняння\(\ref{13-3}\) є квадратним рівнянням,\(t_{\ast}\) ми спочатку перепишемо його у вигляді стандартного квадратного рівняння\(ax+bx^2+c=0\). Це дає:
\[\dfrac{1}{2}a_yt_{\ast}^2+V_{0y}t_{\ast}+y_0=0\]
Потім ми використовуємо квадратичну формулу\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), яка для розглянутого випадку виглядає як:
\[t_{\ast}=\dfrac{-V_{0y}\pm\sqrt{V_{0y}^2-4(\dfrac{1}{2}a_y)y_0}}{2(\dfrac{1}{2}a_y)}\]
що спрощує
\[t_{\ast}=\dfrac{-V_{0y}\pm\sqrt{V_{0y}^2-2a_yy_0}}{a_y}\]
Підстановка значень одиницями дає:
\[t_{\ast}=\dfrac{-4.65\dfrac{m}{s}\pm\sqrt{(-4.65\dfrac{m}{s})^2-2(-9.80\dfrac{m}{s^2})2.0m}}{-9.80\dfrac{m}{s^2}}\]
який оцінює
\(t_{\ast}=-0.321s\) і\(t_{\ast}=1.27s\)
Відкидаємо негативну відповідь, оскільки знаємо, що снаряд б'є об землю після запуску, а не до запуску.
Нагадаємо, що\(t_{\ast}\) це показання секундоміра при ударі снаряда об землю. Зауважте, що весь час він рухався вгору і вниз, снаряд рухався вперед відповідно до Equation\(\ref{13-1}\),\(x=V_{0x}t\). На цьому етапі все, що нам потрібно зробити, це підключити до\(t_{\ast}=1.27s\) рівняння\(\ref{13-1}\) та оцінити:
\[\begin{align*} x&=V_{0x}t_{\ast} \\[5pt] &=9.97\dfrac{m}{s}(1.27s) \\[5pt] &=13m \end{align*}\]
Це відповідь. Снаряд рухається\(13 m\) вперед, перш ніж вдариться об землю.