2A: Збереження механічної енергії I: Кінетична енергія та гравітаційна потенційна енергія

Викладачі фізики часто призначають збереження енергетичних проблем, які з точки зору математичної складності дуже прості, щоб переконатися, що студенти можуть продемонструвати, що вони знають, що відбувається, і можуть правильно міркувати через проблему, не витрачаючи багато часу на математику. Хороша картинка до та після правильно зображує конфігурацію та стан руху в кожному з двох добре підібраних моментів у часі, має вирішальне значення для показу відповідного розуміння. Представлення залишку концептуального плюс-математичного розв'язку задачі, починаючи з твердження у вигляді рівняння про те, що енергія на зображенні до дорівнює енергії на зображенні після, продовжуючи до аналітичного розв'язку і, якщо числові значення надані, тільки після отримано аналітичне рішення, підставляючи значення одиницями, оцінюючи та записуючи результат майже так само важливо, як картинка. Проблема полягає в тому, що на цьому етапі курсу студенти часто думають, що це остаточна відповідь, яка має значення, а не спілкування міркувань, що призводить до відповіді. Крім того, вибрані проблеми часто настільки легкі, що студенти можуть прийти до правильної остаточної відповіді, не повністю розуміючи або не повідомляючи міркування, що призводить до цього. Студенти неприємно здивовані, виявивши, що правильні остаточні відповіді мало заробляють кредит за відсутності хорошої правильної картини до і після і добре написаного залишку рішення, яке починається з перших принципів, узгоджується з картинкою до і після, і веде логічно, без кроки опущені, до правильної відповіді. Зауважте, що студенти, які зосереджуються на правильному спілкуванні всього рішення, самостійно, на кожній домашній задачі, яку вони роблять, мають набагато більше шансів успішно зробити це на тесті, ніж ті, які «просто намагаються отримати правильну чисельну відповідь» на домашні завдання.

Механічна енергія

Енергія - це переносна фізична величина, яку можна сказати, має об'єкт. Якщо людина передає енергію матеріальній частинці, яка спочатку знаходиться в стані спокою, швидкість цієї частинки змінюється до значення, яке є показником того, скільки енергії було передано. Енергія має одиниці джоулів, скорочено Дж. Енергія не може бути виміряна безпосередньо, але коли енергія передається об'єкту або від об'єкта, деякі вимірні характеристики (або характеристики) цього об'єкта змінюються (змінюються) таким чином, що вимірювані значення цієї характеристики або ті характеристики (у поєднанні з одним або більше характеристик, таких як маса, які не змінюються ні на яку вимірювану величину) можуть бути використані для визначення того, скільки енергії було передано. Енергія часто класифікується, відповідно до якої вимірювані характеристики змінюються при передачі енергії. Іншими словами, ми класифікуємо енергію відповідно до того, як вона розкривається нам. Наприклад, коли вимірюваною характеристикою є температура, ми називаємо енергію тепловою енергією; коли вимірювана величина - швидкість, ми називаємо енергію кінетичною енергією. Хоча можна стверджувати, що існує лише одна форма або вид енергії, на жаргоні фізики ми називаємо енергію, яка розкриває себе в один бік один вид або форма енергії (наприклад, теплова енергія) і енергію, яка виявляє себе іншим способом інший вид або форма енергії (наприклад, кінетична енергія). У фізичних процесах часто відбувається, що змінюється спосіб розкриття енергії. Коли це відбувається, ми говоримо, що енергія перетворюється з одного виду енергії в інший.

Кінетична енергія - це енергія руху. Об'єкт у спокої не має руху; отже, він не має кінетичної енергії. Кінетична енергія K необертового жорсткого об'єкта в русі залежить від маси m і швидкості v об'єкта наступним чином:

$$K=\dfrac{1}{2}mV^2$$

Маса m об'єкта - це міра інерції об'єкта, властивої об'єкту тенденції до підтримки постійної швидкості. Інерція об'єкта - це те, що ускладнює переміщення цього об'єкта. Слова «маса» і «інерція» означають одне і те ж. Фізики зазвичай використовують слово «інерція», коли говорять про властивість в загальних понятійних термінях, і слово «маса», коли вони присвоюють йому значення або використовують його в рівнянні. Маса має одиниці кілограмів, скорочено кг. Швидкість v має одиниці метрів в секунду, скорочено м/с Перевірте одиниці в рівнянні 2-1:

$$K=\dfrac{1}{2}mV^2$$

Ліворуч у нас є кінетична енергія, яка має одиниці джоулів. Праворуч у нас є твір маси і квадрат швидкості. Таким чином, одиниці праворуч є$kg\dfrac{m^2}{s^2}$, і ми можемо зробити висновок, що джоуль є a$kg\dfrac{m^2}{s^2}$.

Потенційна енергія - це енергія, яка залежить від розташування матерії. Тут ми розглянемо один вид потенційної енергії:

The Гравітаційна потенційна енергія об'єкта поблизу поверхні землі - це енергія (щодо гравітаційної потенційної енергії, яку має об'єкт, коли він знаходиться на еталонному рівні приблизно, про мене згадується), яку об'єкт має, оскільки він «вгору високо» над еталонним рівнем, таким як земля, підлога або стільниця. При характеристиці відносної гравітаційної потенційної енергії об'єкта важливо вказати, що ви використовуєте для еталонного рівня. Використовуючи концепцію навколоземної гравітаційної потенційної енергії для вирішення проблеми фізики, хоча ви можете вибрати все, що хочете, як еталонний рівень, важливо дотримуватися одного і того ж еталонного рівня протягом всієї проблеми. Відносна гравітаційна потенційна енергія U _g об'єкта поблизу поверхні землі залежить від висоти об'єкта y над обраним еталонним рівнем, маси об'єкта m і величини g гравітаційного поля землі, яка до хорошого наближення має однакове значення$g=9.80\dfrac{N}{Kg}$ всюди біля поверхні землі, наступним чином:\[U_g=mgy\]

N in$g=9.80\dfrac{N}{Kg}$ розшифровується як ньютон, одиниця сили. (Сила - це постійний поштовх або тяга.) Оскільки це енергія, одиниці U _g - джоулі, а одиниці на правій стороні рівняння 2-2, при цьому висота y знаходиться в метрах, працюють, щоб бути ньютонами разів метрів. Таким чином, джоуль повинен бути ньютон-метром, і справді це так. Трохи вище ми показали, що джоуль - це а$kg\dfrac{m^2}{s^2}$. Якщо джоуль також Ньютон метр, то Ньютон повинен бути a$kg\dfrac{m^2}{s^2}$.

Особливий випадок збереження механічної енергії

Енергія дуже корисна для прогнозування фізичних процесів, оскільки вона ніколи не створюється і не руйнується. Щоб запозичити вирази з економіки, це означає, що ми можемо використовувати простий бухгалтерський облік або бухгалтерський облік, щоб робити прогнози щодо фізичних процесів. Наприклад, припустимо, що ми створюємо для цілей такого передбачення уявну межу, що охоплює частину Всесвіту. Тоді будь-яка зміна загальної кількості енергії всередині кордону буде точно відповідати передачі енергії через межу. Якщо загальна енергія всередині кордону збільшується на ΔE, то точно така ж кількість енергії ΔE повинна була бути перенесена через межу в область, укладену кордоном ззовні цієї області. І якщо загальна енергія всередині кордону зменшується на ΔE, то саме ця кількість енергії ΔE повинна була бути перенесена через межу з області, укладеної кордоном зсередини цієї області. Як не дивно, зберігаючи облік енергії в такій закритій частині Всесвіту, ми рідко, якщо коли-небудь знаємо або піклуємося про те, що таке загальна загальна кількість енергії. Досить стежити за змінами. Що може ускладнити облік, так це те, що існує стільки різних способів, якими енергія може проявлятися (те, що ми називаємо різними «формами» енергії), і немає простого лічильника енергії, який би розповідав нам, скільки енергії є в нашому закритому регіоні. Все-таки існують процеси, для яких облік енергії відносно простий. Наприклад, це відносно просто, коли немає (або мізерно малої) передачі енергії в або з тієї частини Всесвіту, яка нас цікавить, і коли існує мало форм енергії, для яких змінюється кількість енергії. Два види енергії, розглянуті вище (кінетична енергія жорсткого об'єкта, що не обертається, і гравітаційна потенційна енергія) є прикладами механічної енергії, яка контрастується, наприклад, з тепловою енергією. За певних умов загальна механічна енергія системи об'єктів не змінюється, навіть якщо конфігурація об'єктів робить. Це являє собою окремий випадок більш загального принципу збереження енергії. Умови, за яких загальна механічна енергія системи не змінюється:

1. Жодна енергія не передається в навколишнє середовище або з нього.
2. Жодна енергія не перетворюється в інші форми енергії (наприклад, теплова енергія).

Розглянемо пару процесів, при яких загальна механічна енергія системи не залишається колишньою:

Справа #1
Скеля скидається з висоти плечей. Він б'є об землю і доходить до повної зупинки.

«Система предметів» в даному випадку - це якраз скеля. Коли скеля падає, гравітаційна потенційна енергія постійно зменшується. Таким чином, кінетична енергія породи повинна постійно збільшуватися, щоб загальна енергія залишалася незмінною. При зіткненні з землею частина кінетичної енергії, отриманої породою, коли вона падає через простір, переноситься на землю, а решта перетворюється на теплову енергію та енергію, пов'язану зі звуком. Ні умова (ні передача, ні перетворення енергії), необхідні для того, щоб загальна механічна енергія системи залишалася незмінною, не виконується; отже, було б неправильно написати рівняння, що встановлює початкову механічну енергію породи (при вивільненні), рівну кінцевій механічній енергії породи ( після посадки).

Чи може ідея незмінної загальної кількості механічної енергії бути використана у випадку падаючого предмета? Відповідь - так. Труднощі, пов'язані з попереднім процесом, виникли при зіткненні з землею. Ви можете використовувати ідею незмінної загальної кількості механічної енергії, щоб сказати щось про скелі, якщо ви закінчите розгляд скелі, перш ніж вона потрапить на землю. Наприклад, враховуючи висоту, з якої він скидається, ви можете використовувати ідею незмінної загальної кількості механічної енергії, щоб визначити швидкість породи в останню мить перед тим, як вона вдариться про землю. «Останній момент перед тим, як» він потрапляє на землю, відповідає ситуації, коли скеля ще не торкнулася землі, але торкнеться землі через занадто малий для вимірювання проміжок часу, а отже, її можна знехтувати. Він настільки близько до землі, що відстань між ним і землею занадто мала, щоб виміряти і, отже, її можна знехтувати. Він настільки близько до землі, що додаткова швидкість, яку вона набере, продовжуючи падати на землю, занадто мала, щоб її виміряти, і, отже, її можна знехтувати. Загальна кількість механічної енергії не змінюється під час цього процесу. Правильно було б написати рівняння, що встановлює початкову механічну енергію породи (при вивільненні), рівну кінцевій механічній енергії породи (в останній момент перед зіткненням).

Справа #2
Блок, що контактує ні з чим, крім тротуару, ковзає по тротуару.

Загальна кількість механічної енергії не залишається колишнім, оскільки між блоком і тротуаром виникає тертя. У будь-якому випадку за участю тертя механічна енергія перетворюється в теплову енергію; отже, загальна кількість механічної енергії після ковзання не дорівнює загальній кількості механічної енергії до ковзання.

Застосування принципу збереження енергії для особливого випадку, коли механічна енергія системи не змінюється

Застосовуючи принцип збереження механічної енергії для особливого випадку, коли механічна енергія системи не змінюється, ви пишете рівняння, яке встановлює загальну механічну енергію об'єкта або об'єктів системи в одну мить, рівну загальній механічній енергії в іншу мить. вчасно. Успіх висить на відповідному виборі двох миттєвих дій. Принципал застосовується до всіх пар миттєвих часових інтервалів, протягом яких енергія не передається в систему або з неї, ні трансформується в немеханічні форми. Ви характеризуєте умови в першу мить за допомогою «До зображення», а умови в другу мить за допомогою «Після зображення». Застосовуючи принцип збереження механічної енергії для особливого випадку, коли механічна енергія системи не змінюється, ви записуєте рівняння, яке встановлює загальну механічну енергію на зображенні «До», рівну загальній механічній енергії на зображенні після. (В обох випадках «загальна» механічна енергія, про яку йде мова, - це кількість, яку система має відносно механічної енергії, яку вона мала б, якби всі об'єкти перебували в стані спокою на еталонному рівні.) Щоб зробити це ефективно, необхідно зробити ескіз перед зображенням та окремим зображенням після зображення. Після цього перший рядок у вирішенні проблеми, що включає незмінну загальну кількість механічної енергії, завжди читає

$$\text{energy before} =\text{energy after}$$

Ми можемо написати цей перший рядок більш символічно кількома різними способами:

$$E_1=E_2$$

або

$$E_i=E_f$$

або

$$E=E'$$

Перші дві версії використовують індекси для розрізнення енергій «перед картинкою» та «після зображення» і повинні бути прочитані «E-суб-один дорівнює E-sub-два» і «E-sub-i дорівнює E-sub-F». В останньому випадку символи i і f означають початковий і кінцевий. У остаточному варіанті основний символ додається до E, щоб відрізнити енергію «після зображення» від енергії «перед картинкою». Останнє рівняння має бути прочитано «E дорівнює E-prime». (Простий символ іноді використовується в математиці, щоб відрізнити одну змінну від іншої, і він іноді використовується в математиці для позначення похідної по відношенню до x, він ніколи не використовується для позначення похідної в цій книзі.) Непраймер/просте позначення - це позначення, яке буде використано в наступному прикладі:

Приклад 2.1

Скеля скидається з висоти 1,6 метра. Як швидко скеля падає безпосередньо перед тим, як вона потрапить на землю?

Рішення

Виберіть «перед картинкою», щоб відповідати моменту виходу породи, оскільки умови в цей момент вказані («падіння» вказує на те, що скеля була звільнена від спокою - її швидкість спочатку дорівнює нулю, задана початкова висота породи). Виберіть «після зображення», щоб відповідати останньому моменту перед тим, як скеля контактує з землею, оскільки питання стосується умови (швидкості) в цей момент.

Зверніть увагу, що одиниця виміру, 1 ньютон, скорочено як 1 N, є$1\dfrac{kg*m}{s^2}$. Отже, величина приповерхневого гравітаційного поля Землі також$g=9.80\dfrac{N}{kg}$ може бути виражена так,$g=9.80\dfrac{m}{s^2}$ як ми це зробили в прикладі для цілей розробки одиниць.

Рішення, представлене в прикладі, надає вам приклад того, що потрібно від учнів при вирішенні задач фізики. У випадках, коли оцінюється студентська робота, оцінюється саме рішення, а не лише остаточна відповідь. У наступному переліку розглядаються загальні вимоги до рішень, з посиланням на рішення прикладної задачі:

1. Ескіз (до і після картинки в прикладі).
Починайте кожне рішення з ескізу або ескізів, відповідних поставленої задачі. Використовуйте ескіз для визначення символів і, відповідно, для присвоєння значень символам. Ескіз допомагає вам у вирішенні проблеми і має важливе значення для донесення вашого рішення до читача. Зверніть увагу, що кожен ескіз зображує конфігурацію в певний момент часу, а не процес, який триває протягом певного інтервалу часу.

2. Напишіть «Поняття рівняння» ($E = E′$в прикладі).

3. Замініть величини в «Рівнянні концепції» більш конкретними уявленнями тих самих величин. Повторіть у міру необхідності.

У наведеному прикладі символ Е, що представляє сумарну механічну енергію на зображенні перед, замінюється на «що це таке», а саме на суму кінетичної енергії та$K+U$ потенційної енергії породи на зображенні перед. На цій же лінії$E′$ була замінена на те, що вона є, а саме, сума кінетичної енергії і потенційна енергія$K′ +U′$ на зображенні після. Величини, які, очевидно, є нульовими, мають похилі риски, проведені через них і опущені з наступних кроків.

Цей крок повторюється в наступному рядку ($mgy=\dfrac{1}{2}mV'^2$), в якому гравітаційна потенційна енергія на зображенні до$U$, була замінена на те, що вона є, а саме$mgy$, а праворуч кінетична енергія на зображенні після була замінена на те, що вона є, а саме,$\dfrac{1}{2}mV'^2$. Символ$m$, який з'являється на цьому кроці, визначається на схемі.

4. Вирішити проблему алгебраїчно. Студент зобов'язаний вирішити проблему шляхом алгебраїчного маніпулювання символами, а не підставляючи значення і одночасно оцінюючи і маніпулюючи ними. Причини того, що вчителі фізики вимагають від студентів, які проходять курси фізики на рівні коледжу, вирішувати проблеми алгебраїчно з точки зору символів, а не працювати з числами, є:

(а) Очікується, що викладачі фізики коледжу нададуть студенту досвід роботи на «наступному рівні» в абстрактних міркуваннях поза роботою з цифрами. Щоб отримати цей досвід, студенти повинні вирішувати завдання алгебраїчно з точки зору символів.

(b) Очікується, що студенти зможуть вирішити більш загальну проблему, в якій, тоді як певні величини повинні розглядатися так, ніби вони відомі, фактичні значення не даються. Рішення таких проблем часто використовуються в комп'ютерних програмах, які дають можливість користувачеві отримувати результати для багатьох різних значень «відомих величин». Фактичні значення присвоюються відомим величинам лише після того, як користувач програми надасть їх програмі як вхідні дані - довго після розв'язання алгебраїчної задачі.

(c) Багато проблем, більш складні, ніж наведений приклад, можуть бути легше вирішені алгебраїчно з точки зору символів. Досвід показує, що студенти, які звикли підставляти числові значення символами на самому ранньому етапі завдання, не в змозі вирішити більш складні завдання.

У прикладі алгебраїчне рішення починається з рядка$\dfrac{1}{2}mV'^2$. $m'$S, що з'являються з обох сторін рівняння, були скасовані (це алгебраїчний крок) у наданому розв'язку. Зауважте, що в прикладі, якби m не скасували, числову відповідь на задачу не міг бути визначений, оскільки значення для m не було дано. Наступні два рядки представляють додаткові кроки, необхідні в алгебраїчному розв'язанні для кінцевої швидкості$v′$. У кінцевому рядку алгебраїчного розв'язку ($v ′=\sqrt{2gy}$у прикладі) завжди є величина, яка вирішується для всіх сама по собі на лівій стороні рівняння, яка дорівнює виразу, що включає лише відомі величини з правого боку рівняння. Алгебраїчний розчин не є повним, якщо у виразі з правого боку з'являються невідомі величини (особливо шукана кількість). Написання кінцевого рядка алгебраїчного розв'язку у зворотному порядку, наприклад$\sqrt{2gy}=v′$, є нетрадиційним і, отже, неприпустимим. Якщо ваше алгебраїчне рішення природно призводить до цього, вам слід написати ще один рядок з алгебраїчною відповіддю, написаною в правильному порядку.

5. Замініть символи числовими значеннями на одиниці,$v'=\sqrt{2(9.80\dfrac{m}{s^2})1.6m}$ в прикладі; одиниці - це одиниці виміру:$\dfrac{m}{s^2}$ і$m$ в прикладі).

Ніяких обчислень на цьому етапі проводити не слід. Просто скопіюйте алгебраїчне рішення, але з символами, що представляють відомі величини, замінені числовими значеннями з одиницями. Використовуйте дужки і дужки в міру необхідності для наочності.

6. Напишіть остаточну відповідь одиницями ($v'=5.6\dfrac{m}{s}$в прикладі).

Чисельні оцінки повинні проводитися безпосередньо на калькуляторі та/або на скретч-папері. Неприпустимо захаращувати рішення арифметичними і проміжними числовими відповідями між попереднім кроком і цим кроком. Одиниці повинні бути опрацьовані і забезпечені остаточною відповіддю. Добре показати деякі кроки в розробці одиниць, але для простих випадків одиниці (не алгебраїчні рішення) можуть бути відпрацьовані у вашій голові. У наданому прикладі легко побачити, що, взявши квадратний корінь продукту$\dfrac{m}{s^2}$ і$m$, отримати,$\dfrac{m}{s}$ отже, ніяких додаткових кроків не було зображено.